Categoriale uitkomsten/variabelen, 2 groepen – Statistiek
Betrouwbaarheidsinterval voor twee onafhankelijke proporties
Het verschil in steekproefproporties (p1-p2) (= risicoverschil) is een puntschatter voor het verschil in
populatieproporties (1-2). Men wil de betrouwbaarheid/zekerheid van de puntschatter achterhalen. Dit
kan a.d.h.v. betrouwbaarheidsinterval. SPSS kan geen betrouwbaarheidsinterval uitrekenen voor een
proportie. Dit moet met de hand gedaan worden!
Adjusted Wald/Agresti-Coull betrouwbaarheidsinterval voor (1-2)
1 1 1 1
((𝑝
̃1 − 𝑝2 − 𝑍 ∗ √𝑝
̃) ̃(1 − 𝑝̃) ∗ ( + ) ; ((𝑝
̃1 − 𝑝2 + 𝑍 ∗ √𝑝
̃) ̃(1 − 𝑝̃) ∗ ( + )
2 𝑛
̃1 𝑛
̃2 2 𝑛
̃1 𝑛
̃2
𝑟̃𝑖 𝑍/2 2 𝑍/2 2 𝑟̃1 + 𝑟̃2
𝑝̃𝑖 = 𝑟̃𝑖 = 𝑟𝑖 + 𝑛̃𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑝̃ =
𝑛̃𝑖 4 2 𝑛
̃1 + 𝑛̃2
De aanpassing hangt af van de keuze van . Bij =0,05 geldt:
• 𝑍(2) = 1,96.
• 𝑍(2) 2 = 3,84 ≈ 4.
𝑍(2) 2
• = 1,92 ≈ 2.
2
2
𝑍/2
• = 0,96 ≈ 1.
4
VOORBEELD 1: Betrouwbaarheidsinterval voor twee onafhankelijke proporties.
Moeders die borstvoeding geven in de 10 dagen na een cholera infectie. Onderzoeksvraag: is er een
verschil in voorkomen van diarree tussen baby’s van moeders met een laag of hoog antilichaam titer?
Berekenen van het betrouwbaarheidsinterval voor 1-2 m.b.v. Adjusted Wald:
Het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in risico is (0,04;0,70). Met 95% zekerheid bevat dit
betrouwbaarheidsinterval het werkelijke verschil in risico’s op diarree bij kinderen van moeders met een
laag of hoog antilichaam titer.
1
, Werkwijze voor vergelijken van de waarde van H0 met betrouwbaarheidsinterval
Men kan ook het betrouwbaarheidsinterval gebruiken om te toetsen of twee proporties gelijk zijn. Echter
is het resultaat van het betrouwbaarheidsinterval niet altijd consistent met het resultaat van de Pearson’s
chi-kwadraat toets. Daarom gebruikt men formeel voor het toetsen of twee proporties gelijk zijn de de
Pearson’s chi-kwadraat toets.
H0: 1 = 2.
H1: 1 ≠ 2.
1. Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 100 * (1-)% met de formule.
2. Vergelijk de waarde overeenkomend met H0 met het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-)%.
• Indien de waarde overeenkomend met H0 niet in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
• Indien de waarde overeenkomend met H0 wel in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 geaccepteerd.
LET OP! De formules van het betrouwbaarheidsinterval gaan uit van een tweezijdige toets.
Pearson’s chi-kwadraat toets
De Pearson’s chi-kwadraat toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van twee of meer categoriale
uitkomsten en twee of meer onafhankelijke steekproeven/groepen (twee of meer kolommen en twee of
meer rijen). Het doel van de Pearson’s chi-kwadraat toets is het toetsen van een verschil in proporties
tussen onafhankelijke groepen.
Toetsingsgrootheid
Men vergelijkt de waargenomen frequenties in elke cel van een frequentietabel met de frequenties die
men zou verwachten o.b.v. H0 (Oij-Eij). Als dit verschil klein is, dan is de verwachting (H0) correct. Als dit
verschil groot is, dan is de verwachting niet correct. Als H0 perfect waar is, dan het verschil tussen de
waargenomen frequenties en de verwachtte frequenties 0. De toetsingsgrootheid is dan ook gelijk aan 0.
Oij = Waargenomen
2
2 (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 )2
2
frequentie.
𝑋 =∑ ∑
𝑖=1 𝑗=1 𝐸𝑖𝑗 Eij = Verwachtte
frequentie.
De toetsingsgrootheid wordt voor alle cellen individueel berekend en i = Aantal rijen.
vervolgens bij elkaar opgeteld. j = Aantal kolommen.
X2 volgt (bij benadering) een Chi-kwadraatverdeling met (i-1)(j-1) vrijheidsgraden.
Berekening van verwachtte frequenties (Eij)
De verwachtte waarden Eij in een cel worden berekend onder aanname van H0, met behulp van de rij- en
kolomtotalen:
𝑟𝑖𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 ∗ 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑂𝑖 ∗ 𝑂𝑗
𝐸𝑖𝑗 = =
𝑔𝑒ℎ𝑒𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑛
Dit zijn de aantallen die men verwacht idealiter zou verwachten als H0 waar is.
Voorwaarde
De verwachtte frequentie (Eij) moet minstens 5 zijn of minder dan 20% van de verwachtte waarden is
kleiner dan 5. Is dit niet het geval? Dan zijn er twee mogelijkheden:
• Er moet gekeken worden of klassen m.b.t. de onderzoekvraag samengevoegd kunnen worden.
• Fisher’s exacte toets.
2
Betrouwbaarheidsinterval voor twee onafhankelijke proporties
Het verschil in steekproefproporties (p1-p2) (= risicoverschil) is een puntschatter voor het verschil in
populatieproporties (1-2). Men wil de betrouwbaarheid/zekerheid van de puntschatter achterhalen. Dit
kan a.d.h.v. betrouwbaarheidsinterval. SPSS kan geen betrouwbaarheidsinterval uitrekenen voor een
proportie. Dit moet met de hand gedaan worden!
Adjusted Wald/Agresti-Coull betrouwbaarheidsinterval voor (1-2)
1 1 1 1
((𝑝
̃1 − 𝑝2 − 𝑍 ∗ √𝑝
̃) ̃(1 − 𝑝̃) ∗ ( + ) ; ((𝑝
̃1 − 𝑝2 + 𝑍 ∗ √𝑝
̃) ̃(1 − 𝑝̃) ∗ ( + )
2 𝑛
̃1 𝑛
̃2 2 𝑛
̃1 𝑛
̃2
𝑟̃𝑖 𝑍/2 2 𝑍/2 2 𝑟̃1 + 𝑟̃2
𝑝̃𝑖 = 𝑟̃𝑖 = 𝑟𝑖 + 𝑛̃𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑝̃ =
𝑛̃𝑖 4 2 𝑛
̃1 + 𝑛̃2
De aanpassing hangt af van de keuze van . Bij =0,05 geldt:
• 𝑍(2) = 1,96.
• 𝑍(2) 2 = 3,84 ≈ 4.
𝑍(2) 2
• = 1,92 ≈ 2.
2
2
𝑍/2
• = 0,96 ≈ 1.
4
VOORBEELD 1: Betrouwbaarheidsinterval voor twee onafhankelijke proporties.
Moeders die borstvoeding geven in de 10 dagen na een cholera infectie. Onderzoeksvraag: is er een
verschil in voorkomen van diarree tussen baby’s van moeders met een laag of hoog antilichaam titer?
Berekenen van het betrouwbaarheidsinterval voor 1-2 m.b.v. Adjusted Wald:
Het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in risico is (0,04;0,70). Met 95% zekerheid bevat dit
betrouwbaarheidsinterval het werkelijke verschil in risico’s op diarree bij kinderen van moeders met een
laag of hoog antilichaam titer.
1
, Werkwijze voor vergelijken van de waarde van H0 met betrouwbaarheidsinterval
Men kan ook het betrouwbaarheidsinterval gebruiken om te toetsen of twee proporties gelijk zijn. Echter
is het resultaat van het betrouwbaarheidsinterval niet altijd consistent met het resultaat van de Pearson’s
chi-kwadraat toets. Daarom gebruikt men formeel voor het toetsen of twee proporties gelijk zijn de de
Pearson’s chi-kwadraat toets.
H0: 1 = 2.
H1: 1 ≠ 2.
1. Bereken het betrouwbaarheidsinterval van 100 * (1-)% met de formule.
2. Vergelijk de waarde overeenkomend met H0 met het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-)%.
• Indien de waarde overeenkomend met H0 niet in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
• Indien de waarde overeenkomend met H0 wel in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 geaccepteerd.
LET OP! De formules van het betrouwbaarheidsinterval gaan uit van een tweezijdige toets.
Pearson’s chi-kwadraat toets
De Pearson’s chi-kwadraat toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van twee of meer categoriale
uitkomsten en twee of meer onafhankelijke steekproeven/groepen (twee of meer kolommen en twee of
meer rijen). Het doel van de Pearson’s chi-kwadraat toets is het toetsen van een verschil in proporties
tussen onafhankelijke groepen.
Toetsingsgrootheid
Men vergelijkt de waargenomen frequenties in elke cel van een frequentietabel met de frequenties die
men zou verwachten o.b.v. H0 (Oij-Eij). Als dit verschil klein is, dan is de verwachting (H0) correct. Als dit
verschil groot is, dan is de verwachting niet correct. Als H0 perfect waar is, dan het verschil tussen de
waargenomen frequenties en de verwachtte frequenties 0. De toetsingsgrootheid is dan ook gelijk aan 0.
Oij = Waargenomen
2
2 (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗 )2
2
frequentie.
𝑋 =∑ ∑
𝑖=1 𝑗=1 𝐸𝑖𝑗 Eij = Verwachtte
frequentie.
De toetsingsgrootheid wordt voor alle cellen individueel berekend en i = Aantal rijen.
vervolgens bij elkaar opgeteld. j = Aantal kolommen.
X2 volgt (bij benadering) een Chi-kwadraatverdeling met (i-1)(j-1) vrijheidsgraden.
Berekening van verwachtte frequenties (Eij)
De verwachtte waarden Eij in een cel worden berekend onder aanname van H0, met behulp van de rij- en
kolomtotalen:
𝑟𝑖𝑗𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 ∗ 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑂𝑖 ∗ 𝑂𝑗
𝐸𝑖𝑗 = =
𝑔𝑒ℎ𝑒𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑛
Dit zijn de aantallen die men verwacht idealiter zou verwachten als H0 waar is.
Voorwaarde
De verwachtte frequentie (Eij) moet minstens 5 zijn of minder dan 20% van de verwachtte waarden is
kleiner dan 5. Is dit niet het geval? Dan zijn er twee mogelijkheden:
• Er moet gekeken worden of klassen m.b.t. de onderzoekvraag samengevoegd kunnen worden.
• Fisher’s exacte toets.
2
