Factoriële proeven – Statistiek
Factoriële proefopzet
Men gebruikt een factoriële proef om meerdere factoren tegelijk te bestuderen.
Kenmerken van een factoriële proefopzet zijn:
Continue uitkomst.
Meer dan één factor.
Er is sprake van een volledig factorieel model: waarnemingen in alle combinaties van alle niveaus van de
factoren.
Voordelen van een factoriële proefopzet:
Een factoriële proefopzet is efficiënt.
Als men geïnteresseerd is in het effect van twee factoren op een eigenschap van een groep, dan is
het handig om dit in één proefopzet te combineren.
Een factoriële proefopzet geeft meer informatie. De power is groter.
2-weg ANOVA
De 2-weg variantie-analyse wordt gebruikt wanneer er sprake is van een continue uitkomstvariabele en
men twee factoren wil vergelijken. Het design van de 2-weg ANOVA is gebalanceerd. Dit betekent dat alle
combinaties van factoren in de proef aanwezig zijn. Men wil achterhalen of beide factoren interacties
aangaan en daardoor invloed hebben op de uitkomstvariabele. Om 2-weg ANOVA te mogen gebruiken
moet worden aangenomen dat:
De waarnemingen in de steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar.
Dit is niet mogelijk om te checken, want dit hoort bij de proefopzet.
De populatie varianties zijn gelijk/homogeen.
Check: de steekproefvarianties van alle groepen zijn ongeveer gelijk (boxplot, histogram,
standaarddeviaties vergelijken).
De waarnemingen in de populatie zijn bij benadering normaal verdeeld (in elke combinatie van
factoren)/De residuen zijn normaal verdeeld.
Check: de waarnemingen in de steekproef kunnen uit een normale verdeling komen (boxplot,
histogram, Q-Q-plot).
Mogelijkheden 2-weg ANOVA
Factor A is uitgezet op de X-as. Factor B is uitgezet op de Y-as.
Hoofdeffect A.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft geen effect. Hierdoor
zullen de lijnen over elkaar heen vallen.
Hoofdeffect B.
Factor A heeft geen effect. Factor B heeft een effect. Hierdoor
zullen de lijnen horizontaal verlopen.
Hoofdeffect A en B, geen interactie.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft een effect. De
effecten hebben geen onderlinge interactie met elkaar/zijn
onafhankelijk van elkaar. Hierdoor zullen de lijnen parallel
aan elkaar verlopen.
Hoofdeffect A en B, wel interactie.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft een effect. De
1
, effecten hebben onderlinge interactie met elkaar/zijn afhankelijk van elkaar. Hierdoor zullen de
lijnen niet parallel verlopen.
Model 2-weg ANOVA
uitkomst =constant + factor A+ factor B+ factor A∗factor B+ residu
H0 en H1
Er wordt onderzocht of er een interactie-effect is. Er wordt getoetst of het effect van
factor A afhankelijk is van het effect van factor B (en andersom). Hiervoor worden de
volgende hypotheses opgesteld:
H0: Er is geen interactie tussen factor A en factor B. De lijnen zullen parallel
aan elkaar verlopen.
H1: Er is een interactie tussen factor A en factor B.
Als uit 2-weg ANOVA blijkt dat H0 verworpen wordt/er een significant interactie-effect
is, dan kan men niets zeggen over de hoofdeffecten van factor A en factor B.
Als uit 2-weg ANOVA blijkt dat H0 niet verworpen wordt/er geen significant interactie-effect is, dan kan
men gaan toetsen of er een effect is van A (ongeacht van het effect van B) en of er een effect is van B
(ongeacht het effect van A). Hiervoor worden de volgende hypotheses opgesteld (voor elke factor):
H0: 1 = 2 = 3.
Er is geen effect van factor A/B op de uitkomst.
H1 .
Er is wel een effect van factor A/B op de uitkomst. Het gemiddelde van ten minste één groep is
anders dan het gemiddelde van de andere groepen.
Formules 2-weg ANOVA
De afwijking van een waarneming t.o.v. het overall gemiddelde (Y ijk −Ý ) kan worden verklaard in twee
termen:
Afwijking van het groepsgemiddelde t.o.v. het overall gemiddelde: (
i = Factor A.
Y´ ij −Ý ¿. Het effect kan worden opgesplitst in de effecten voor de j = Factor B.
factor A, factor B en interactie: k = Waarneming binnen de
Factor A effect: (Y i−Ý ). groep.
Factor B effect: (Y j−Ý ). a = Aantal groepen m.b.t.
Interactie-effect: (Y´ ij −Ý i + Y´ j+ Ý ¿ factor A.
Afwijking van een waarneming t.o.v. het groepsgemiddelde: b = Aantal groepen m.b.t.
´
(Y ¿¿ ijk−Y ij )¿ factor B.
n = Totaal aantal
Uiteindelijk kan de volgende formule worden opgesteld: waarnemingen.
SST =SS A + SS B + SS AB + SS E
ANOVA tabel
Bron SS df MS F
A SSA a-1 MSA = SSA / dfA F = MSA / MSE
B SSB b-1 MSB = SSB / dfB F = MSB / MSE
Interactie (A*B) SSAB (a-1)(b-1) MSAB = SSAB / dfAB F = MSAB / MSE
Residu/Error SSE n-(ab) MSE = SSE / dfE
Totaal* SST n-1
2
Factoriële proefopzet
Men gebruikt een factoriële proef om meerdere factoren tegelijk te bestuderen.
Kenmerken van een factoriële proefopzet zijn:
Continue uitkomst.
Meer dan één factor.
Er is sprake van een volledig factorieel model: waarnemingen in alle combinaties van alle niveaus van de
factoren.
Voordelen van een factoriële proefopzet:
Een factoriële proefopzet is efficiënt.
Als men geïnteresseerd is in het effect van twee factoren op een eigenschap van een groep, dan is
het handig om dit in één proefopzet te combineren.
Een factoriële proefopzet geeft meer informatie. De power is groter.
2-weg ANOVA
De 2-weg variantie-analyse wordt gebruikt wanneer er sprake is van een continue uitkomstvariabele en
men twee factoren wil vergelijken. Het design van de 2-weg ANOVA is gebalanceerd. Dit betekent dat alle
combinaties van factoren in de proef aanwezig zijn. Men wil achterhalen of beide factoren interacties
aangaan en daardoor invloed hebben op de uitkomstvariabele. Om 2-weg ANOVA te mogen gebruiken
moet worden aangenomen dat:
De waarnemingen in de steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar.
Dit is niet mogelijk om te checken, want dit hoort bij de proefopzet.
De populatie varianties zijn gelijk/homogeen.
Check: de steekproefvarianties van alle groepen zijn ongeveer gelijk (boxplot, histogram,
standaarddeviaties vergelijken).
De waarnemingen in de populatie zijn bij benadering normaal verdeeld (in elke combinatie van
factoren)/De residuen zijn normaal verdeeld.
Check: de waarnemingen in de steekproef kunnen uit een normale verdeling komen (boxplot,
histogram, Q-Q-plot).
Mogelijkheden 2-weg ANOVA
Factor A is uitgezet op de X-as. Factor B is uitgezet op de Y-as.
Hoofdeffect A.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft geen effect. Hierdoor
zullen de lijnen over elkaar heen vallen.
Hoofdeffect B.
Factor A heeft geen effect. Factor B heeft een effect. Hierdoor
zullen de lijnen horizontaal verlopen.
Hoofdeffect A en B, geen interactie.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft een effect. De
effecten hebben geen onderlinge interactie met elkaar/zijn
onafhankelijk van elkaar. Hierdoor zullen de lijnen parallel
aan elkaar verlopen.
Hoofdeffect A en B, wel interactie.
Factor A heeft een effect. Factor B heeft een effect. De
1
, effecten hebben onderlinge interactie met elkaar/zijn afhankelijk van elkaar. Hierdoor zullen de
lijnen niet parallel verlopen.
Model 2-weg ANOVA
uitkomst =constant + factor A+ factor B+ factor A∗factor B+ residu
H0 en H1
Er wordt onderzocht of er een interactie-effect is. Er wordt getoetst of het effect van
factor A afhankelijk is van het effect van factor B (en andersom). Hiervoor worden de
volgende hypotheses opgesteld:
H0: Er is geen interactie tussen factor A en factor B. De lijnen zullen parallel
aan elkaar verlopen.
H1: Er is een interactie tussen factor A en factor B.
Als uit 2-weg ANOVA blijkt dat H0 verworpen wordt/er een significant interactie-effect
is, dan kan men niets zeggen over de hoofdeffecten van factor A en factor B.
Als uit 2-weg ANOVA blijkt dat H0 niet verworpen wordt/er geen significant interactie-effect is, dan kan
men gaan toetsen of er een effect is van A (ongeacht van het effect van B) en of er een effect is van B
(ongeacht het effect van A). Hiervoor worden de volgende hypotheses opgesteld (voor elke factor):
H0: 1 = 2 = 3.
Er is geen effect van factor A/B op de uitkomst.
H1 .
Er is wel een effect van factor A/B op de uitkomst. Het gemiddelde van ten minste één groep is
anders dan het gemiddelde van de andere groepen.
Formules 2-weg ANOVA
De afwijking van een waarneming t.o.v. het overall gemiddelde (Y ijk −Ý ) kan worden verklaard in twee
termen:
Afwijking van het groepsgemiddelde t.o.v. het overall gemiddelde: (
i = Factor A.
Y´ ij −Ý ¿. Het effect kan worden opgesplitst in de effecten voor de j = Factor B.
factor A, factor B en interactie: k = Waarneming binnen de
Factor A effect: (Y i−Ý ). groep.
Factor B effect: (Y j−Ý ). a = Aantal groepen m.b.t.
Interactie-effect: (Y´ ij −Ý i + Y´ j+ Ý ¿ factor A.
Afwijking van een waarneming t.o.v. het groepsgemiddelde: b = Aantal groepen m.b.t.
´
(Y ¿¿ ijk−Y ij )¿ factor B.
n = Totaal aantal
Uiteindelijk kan de volgende formule worden opgesteld: waarnemingen.
SST =SS A + SS B + SS AB + SS E
ANOVA tabel
Bron SS df MS F
A SSA a-1 MSA = SSA / dfA F = MSA / MSE
B SSB b-1 MSB = SSB / dfB F = MSB / MSE
Interactie (A*B) SSAB (a-1)(b-1) MSAB = SSAB / dfAB F = MSAB / MSE
Residu/Error SSE n-(ab) MSE = SSE / dfE
Totaal* SST n-1
2
