T-toets: vergelijken van twee (gepaarde en ongepaarde) gemiddelden –
Statistiek
T-verdeling tabel
De t-verdeling tabel is tweezijdig. Dit houdt in dat bij een bepaalde en df een t-waarde wordt gegeven
die geldt voor zowel de linker- als de rechterkant van de t-verdeling. Het oppervlak onder de t-verdeling
aan beide uiteinden is gelijk aan .
Manieren van t-toetsen
Er zijn drie manieren van toetsen voor de t-toets. Er zijn twee aannames die men moet doen om de t-toets
te mogen gebruiken:
De variabele is normaal verdeeld in de populatie.
De waarnemingen zijn onafhankelijk van elkaar.
Berekenen van de p-waarde en deze vergelijken met
1. Bereken de toetsingsgrootheid m.b.v. de formule.
2. Zoek aan de hand van df en T de bijbehorende p-waarde op in de t-verdeling tabel of lees het af via
SPSS (in SPSS is de p-waarde altijd tweezijdig). Indien je te maken hebt met eenzijdig toetsen, moet
je de gevonden p-waarde nog delen door twee.
3. Vergelijk de gevonden p-waarde met .
Indien p < wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
Indien p > wordt H0 geaccepteerd.
Significatie/Overschrijdingskans/p-waarde = De kans dat in de
verdeling gegeven door de nulhypothese de waarde van de
toetsingsgrootheid wordt behaald of overschreden. Geeft aan hoe
extreem de gevonden waarde voor de toetsingsgrootheid in de
verdeling onder de nulhypothese is.
Vergelijk toetsingsgrootheid met kritieke waarde
1. Zoek de toetsingsgrootheid van de kritieke waarde (T*) op in de t-verdeling tabel m.b.v. en df.
2. Bereken de toetsingsgrootheid m.b.v. de formule.
3. Vergelijk de toetsingsgrootheid van de kritieke waarde (T*) met de toetsingsgrootheid van
berekende waarde (T).
Indien de toetsingsgrootheid (T) verder van 0 ligt
dan de kritieke waarde (T*), wordt H0 verworpen
en H1 geaccepteerd. |T| > T*.T|T| > T*. > T*.
Indien de toetsingsgrootheid (T) dichter bij 0 ligt
dan de kritieke waarde (T*), wordt H0
geaccepteerd. |T| > T*.T|T| > T*.≤ T*.
Vergelijk de waarde van H0 met betrouwbaarheidsinterval Meest informatieve methode
s t ∗s
1. Bereken het 100*(1-)% betrouwbaarheidsinterval met ( X́ −t α / 2, n−1 ; X́ + α / 2 ,n−1 ).
√n √n
2. Vergelijk de waarde overeenkomend met H0 met het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-)%.
Indien de waarde overeenkomend met H0 niet in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
Indien de waarde overeenkomend met H0 wel in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 geaccepteerd.
1
, t a/ 2 ,n−1 vind je in de t-verdeling tabel. t a/ 2 ,n−1 hangt af van df en :
Hoe kleiner het aantal waarnemingen in de steekproef (n) is, hoe groter t a/ 2 ,n−1 is, hoe breder het
interval.
Hoe kleiner , hoe groter t a/ 2 ,n−1, hoe breder het interval is.
Als je het betrouwbaarheidsinterval berekend, dan weet je met 100*(1-)% zekerheid waar het
gemiddelde ligt. Als de waarde van je nulhypothese (H0) niet binnen dit betrouwbaarheidsinterval valt, dan
is dit geen aannemelijke waarde voor het werkelijke gemiddelde. De H 0 wordt dan verworpen.
Gepaarde waarnemingen
Er wordt per onderzoekseenheid (mens, tablet, dier, etc.) twee metingen verricht onder verschillende
condities. Men verkrijgt gepaarde waarnemingen. Vervolgens berekent men de verschilscore tussen de
twee metingen binnen elke onderzoekseenheid.
Matched case-control study
Deze methode wordt gebruikt om gepaarde waarnemingen te krijgen uit twee
onafhankelijke groepen. Twee onafhankelijke groepen hebben
normaalgesproken verschillende eigenschappen die van invloed zouden kunnen
zijn op de uitkomst. Om dit tegen te gaan, definieert men paren met zo veel
mogelijk dezelfde eigenschappen. Hierdoor lijken de experimentele eenheden
binnen een paar meer op elkaar dan de experimentele eenheden uit
verschillende paren. Vervolgens kan men dat ene verschil analyseren, omdat er
geen relevante andere verschillen binnen één paar aanwezig zijn.
Subtiele effecten zijn in een matched case-control study beter zichtbaar dan wanneer men twee
onafhankelijke groepen gebruikt.
Individuele match = Eén case wordt gematcht met één of meerdere controles.
Frequentie matching = Een groep cases wordt gematcht met een groep controles.
Cross-over trial
Men verkrijgt twee uitkomsten per onderzoekseenheid. De uitkomsten zijn gecorreleerd aan elkaar, omdat
ze afkomstig zijn van dezelfde onderzoekseenheid. De onderzoekseenheid is zijn eigen controle. Iedere
onderzoekseenheid wordt één keer blootgesteld aan een bepaalde conditie.
T-toets voor gepaarde waarnemingen
De gepaarde t-toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van een continue uitkomst en gepaarde
waarnemingen. Om de gepaarde t-toets te mogen gebruiken moet worden aangenomen dat:
De verschilscores in de populatie zijn bij benadering normaal verdeeld.
Check: de verschilscores in de steekproef kunnen uit een normale verdeling komen (boxplot (één
boxplot van de verschilscores), histogram).
De waarnemingen aan verschillende individuen zijn onafhankelijk.
Dit is niet mogelijk om te checken, want dit hoort bij de proefopzet.
In SPSS wordt gepaarde waarnemingen in dezelfde rij gezet.
Toetsingsgrootheid: T
De toetsingsgrootheid voor de gepaarde t-toets is:
2
Statistiek
T-verdeling tabel
De t-verdeling tabel is tweezijdig. Dit houdt in dat bij een bepaalde en df een t-waarde wordt gegeven
die geldt voor zowel de linker- als de rechterkant van de t-verdeling. Het oppervlak onder de t-verdeling
aan beide uiteinden is gelijk aan .
Manieren van t-toetsen
Er zijn drie manieren van toetsen voor de t-toets. Er zijn twee aannames die men moet doen om de t-toets
te mogen gebruiken:
De variabele is normaal verdeeld in de populatie.
De waarnemingen zijn onafhankelijk van elkaar.
Berekenen van de p-waarde en deze vergelijken met
1. Bereken de toetsingsgrootheid m.b.v. de formule.
2. Zoek aan de hand van df en T de bijbehorende p-waarde op in de t-verdeling tabel of lees het af via
SPSS (in SPSS is de p-waarde altijd tweezijdig). Indien je te maken hebt met eenzijdig toetsen, moet
je de gevonden p-waarde nog delen door twee.
3. Vergelijk de gevonden p-waarde met .
Indien p < wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
Indien p > wordt H0 geaccepteerd.
Significatie/Overschrijdingskans/p-waarde = De kans dat in de
verdeling gegeven door de nulhypothese de waarde van de
toetsingsgrootheid wordt behaald of overschreden. Geeft aan hoe
extreem de gevonden waarde voor de toetsingsgrootheid in de
verdeling onder de nulhypothese is.
Vergelijk toetsingsgrootheid met kritieke waarde
1. Zoek de toetsingsgrootheid van de kritieke waarde (T*) op in de t-verdeling tabel m.b.v. en df.
2. Bereken de toetsingsgrootheid m.b.v. de formule.
3. Vergelijk de toetsingsgrootheid van de kritieke waarde (T*) met de toetsingsgrootheid van
berekende waarde (T).
Indien de toetsingsgrootheid (T) verder van 0 ligt
dan de kritieke waarde (T*), wordt H0 verworpen
en H1 geaccepteerd. |T| > T*.T|T| > T*. > T*.
Indien de toetsingsgrootheid (T) dichter bij 0 ligt
dan de kritieke waarde (T*), wordt H0
geaccepteerd. |T| > T*.T|T| > T*.≤ T*.
Vergelijk de waarde van H0 met betrouwbaarheidsinterval Meest informatieve methode
s t ∗s
1. Bereken het 100*(1-)% betrouwbaarheidsinterval met ( X́ −t α / 2, n−1 ; X́ + α / 2 ,n−1 ).
√n √n
2. Vergelijk de waarde overeenkomend met H0 met het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-)%.
Indien de waarde overeenkomend met H0 niet in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 verworpen en H1 geaccepteerd.
Indien de waarde overeenkomend met H0 wel in het betrouwbaarheidsinterval van 100*(1-
)% ligt, wordt H0 geaccepteerd.
1
, t a/ 2 ,n−1 vind je in de t-verdeling tabel. t a/ 2 ,n−1 hangt af van df en :
Hoe kleiner het aantal waarnemingen in de steekproef (n) is, hoe groter t a/ 2 ,n−1 is, hoe breder het
interval.
Hoe kleiner , hoe groter t a/ 2 ,n−1, hoe breder het interval is.
Als je het betrouwbaarheidsinterval berekend, dan weet je met 100*(1-)% zekerheid waar het
gemiddelde ligt. Als de waarde van je nulhypothese (H0) niet binnen dit betrouwbaarheidsinterval valt, dan
is dit geen aannemelijke waarde voor het werkelijke gemiddelde. De H 0 wordt dan verworpen.
Gepaarde waarnemingen
Er wordt per onderzoekseenheid (mens, tablet, dier, etc.) twee metingen verricht onder verschillende
condities. Men verkrijgt gepaarde waarnemingen. Vervolgens berekent men de verschilscore tussen de
twee metingen binnen elke onderzoekseenheid.
Matched case-control study
Deze methode wordt gebruikt om gepaarde waarnemingen te krijgen uit twee
onafhankelijke groepen. Twee onafhankelijke groepen hebben
normaalgesproken verschillende eigenschappen die van invloed zouden kunnen
zijn op de uitkomst. Om dit tegen te gaan, definieert men paren met zo veel
mogelijk dezelfde eigenschappen. Hierdoor lijken de experimentele eenheden
binnen een paar meer op elkaar dan de experimentele eenheden uit
verschillende paren. Vervolgens kan men dat ene verschil analyseren, omdat er
geen relevante andere verschillen binnen één paar aanwezig zijn.
Subtiele effecten zijn in een matched case-control study beter zichtbaar dan wanneer men twee
onafhankelijke groepen gebruikt.
Individuele match = Eén case wordt gematcht met één of meerdere controles.
Frequentie matching = Een groep cases wordt gematcht met een groep controles.
Cross-over trial
Men verkrijgt twee uitkomsten per onderzoekseenheid. De uitkomsten zijn gecorreleerd aan elkaar, omdat
ze afkomstig zijn van dezelfde onderzoekseenheid. De onderzoekseenheid is zijn eigen controle. Iedere
onderzoekseenheid wordt één keer blootgesteld aan een bepaalde conditie.
T-toets voor gepaarde waarnemingen
De gepaarde t-toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van een continue uitkomst en gepaarde
waarnemingen. Om de gepaarde t-toets te mogen gebruiken moet worden aangenomen dat:
De verschilscores in de populatie zijn bij benadering normaal verdeeld.
Check: de verschilscores in de steekproef kunnen uit een normale verdeling komen (boxplot (één
boxplot van de verschilscores), histogram).
De waarnemingen aan verschillende individuen zijn onafhankelijk.
Dit is niet mogelijk om te checken, want dit hoort bij de proefopzet.
In SPSS wordt gepaarde waarnemingen in dezelfde rij gezet.
Toetsingsgrootheid: T
De toetsingsgrootheid voor de gepaarde t-toets is:
2
