Hoofdstuk 1 – Inleiding
Basisnotatis
Definitie 1.11 (Sonnotatie)
Gigivin di waardi voor x i ∈ R , voor i∈ N 0.
Voor n ∈ N 0 gildt
n
∑ x i=x 1 + x 2+ …+ x n
i=1
Gigivin di waardin x ij ∈ R , voor i , j∈ N 0 .
Voor n , m∈ N 0 gildt
n m
∑ ∑ xij=x 11 + x 12+ …+ x 1 m
i=1 j=1
+ x 21+ x 22 +…+ x 2 m
+…+ xn 1 + x n 2+ …+ x nm
Definitie 1.1 (calulteiten)
Voor n ∈ N gildt
n !=n ∙ ( n−1 ) ∙… ∙ 2∙ 1 voor n≠ 0
0 !=1
Definitie 1.1 (monninaties)
Voor n , k ∈ N mit k ≤ ngildt
(nk)= k ! ( n−k
n!
)!
Eigenslhap 1.11 (monninaties)
Voor n , k ∈ N mit k ≤ ngildt
(n0 )=(nn)=1
(nk)=(n−k
n
)
Stelling 1.11 (Binoniun van Newton)
Voor a , b ∈ R in n ∈ N gildt
n
()
0 ()
1 ( )
n−1 n ()
( a+ b ) = n an b0 + n an−1 b 1+ …+ n a1 b n−1+ n a0 bn
n
()
¿ ∑ n an−k bk
k=0 k
Di coëfciëntin bid di machtin van a in b in di i itdr kking noimt min binomiaalcoëfciëntin.
,Matricis
Definitie 1.1 (tatxi+)
Ein matrix van ordi m× n ( m , n∈ N 0 ) is iin blok waardin mit m ridin in n kolommin:
A=¿
Definitie 1.1 (Speliale natxiles)
Ein viirkanti matrix hiif ivinviil ridin als kolommin. Di ordi is m× m ( m∈ N 0 ).
Ein kolom-matrix is iin matrix mit ordi m× 1 ( m∈ N 0 ):
()
a1
a= a2
⋮
am
Ein rid-matrix is iin matrix van ordi 1 ×m ( m∈ N 0 )
Definitie 1.1 (lelihkheid)
Twii matricis van di ilfdi ordi idn gilidk als alli oviriinkomstgi ilimintin aan ilkaar gilidk
idn:
A=B ⟺ ∀ i, ∀ j :aij =b ij
Definitie 1.1 (oxodult van een natxi+ net een getal)
Ein matrix virminigv ldigin mit iin (riëil) gital bitikint dat di ilk ilimint van di matrix mit
dat gital virminigv ldigt:
k ∙ A=C ⟺ ∀ , ∀ j :c ij =k ∙ aij
Definitie 1.1 (axansponexen)
Di gitransponiirdi matrix van iin matrix van ordi m× n is iin matrix van ordi n × m dii bistaat
it di ilimintin van di oorspronkilidki matrix waarbid ridin in kolommin wirdin omgiwissild.
Notati: A' of A T
Definitie 1.1 (Son en vexslhil van twee natxiles)
Twii matricis van di ilfdi ordi k nnin bid ilkaar opgitild (risp. van ilkaar afgitrokkin) wordin
door alli oviriinkomstgi ilimintin bid ilkaar op ti tillin (risp. van ilkaar af ti trikkin):
A ± B=C ⟺ ∀ i, ∀ j: aij ± bij =cij
Opnexking: di optilling van matricis is comm tatif
, Definitie 1.110 (oxodult van twee natxiles)
Ein matrix van ordim× k iin iin matrix van ordi k × n k nnin mit ilkaar virminigv ldigd
wordin als volgt:
k
A ∙ B=C ⟺ ∀i , ∀ j: cij =∑ ail ∙ blj
l=1
Di matrix C hiif ordi m× n. Hit ilimint c ijvind di door di i -di rid van di matrix A ti
virminigv ldigin mit di j -di kolom van di matrix B.1
Opnexking: Di virminigv ldiging van matricis is NIET comm tatif.
Eigenslhap 1.1 (Speliale pxodulten)
Ein itvoirbaar prod ct van iin rid mit iin matrix is tir g iin rid.
Voor a ' mit ordi 1 ×m in B mit ordi m× nhiif hit prod ct a ' . B ordi 1 ×n.
Ein itvoirbaar prod ct van iin matrix mit iin kolom is tir g iin kolom.
Voor A mit ordi m× nin b mit ordi n ×1 hiif hit prod ct A . b ordi m× 1
Ein itvoirbaar prod ct vaniin rid mit iin kolom is iin gital.
Voor a ' mit ordi 1 ×m in b mit ordi n ×1 hiif hit prod ct a ' . b ordi 1 ×1
Definitie 1.111 (Smnnetxislhe natxiles)
Ein symmitrischi matrix is iin viirkanti matrix dii gilidk is aan idn gitransponiirdi, of
A=A '
Di driihoik bovin in ondir di hoofddiagonaal idn ilkaars spiigilbiild.
tethode 1.11 (Detexninant van natxi+ oxde 2 ×2)
Di ditirminant van iin viirkanti matrix A van ordi 2 ×2 kan birikind wordin als volgt:
det A=| A|=a11 a22−a 12 a21 .
tethode 1.1 (Detexninant van natxi+ van oxde 3 ×3 – Regel van Saxxus)
Di ditirminant van iin viirkanti matrix A van ordi 3 ×3 kan birikind wordin als volgt:
det A=| A|=a11 a22 a33+ a12 a23 a 31+ a13 a 21 a32−a13 a 22 a31−a11 a23 a32−a 12 a21 a33
Economischi toipassingin
Definitie 1.11 (papitalisatie)
Wanniir di iin startkapitaal A gid rindi n daar biligt aan iin daarlidksi intiristvoit r, dan kan
hit iindbidrag na n daar birikind wordin als
S= A ∙ ( 1+r )n
Dit bidrag noimt min hit gikapitalisiirdi bidrag of di slotwaardi of iindwaardi.
Min gibr ikt miistal di notati u=1+ r voor di kapitalisatifactor.
Opnexking: Bid positivi intiristvoitin al di kapitalisatifactor altdd grotir idn dan 1
Basisnotatis
Definitie 1.11 (Sonnotatie)
Gigivin di waardi voor x i ∈ R , voor i∈ N 0.
Voor n ∈ N 0 gildt
n
∑ x i=x 1 + x 2+ …+ x n
i=1
Gigivin di waardin x ij ∈ R , voor i , j∈ N 0 .
Voor n , m∈ N 0 gildt
n m
∑ ∑ xij=x 11 + x 12+ …+ x 1 m
i=1 j=1
+ x 21+ x 22 +…+ x 2 m
+…+ xn 1 + x n 2+ …+ x nm
Definitie 1.1 (calulteiten)
Voor n ∈ N gildt
n !=n ∙ ( n−1 ) ∙… ∙ 2∙ 1 voor n≠ 0
0 !=1
Definitie 1.1 (monninaties)
Voor n , k ∈ N mit k ≤ ngildt
(nk)= k ! ( n−k
n!
)!
Eigenslhap 1.11 (monninaties)
Voor n , k ∈ N mit k ≤ ngildt
(n0 )=(nn)=1
(nk)=(n−k
n
)
Stelling 1.11 (Binoniun van Newton)
Voor a , b ∈ R in n ∈ N gildt
n
()
0 ()
1 ( )
n−1 n ()
( a+ b ) = n an b0 + n an−1 b 1+ …+ n a1 b n−1+ n a0 bn
n
()
¿ ∑ n an−k bk
k=0 k
Di coëfciëntin bid di machtin van a in b in di i itdr kking noimt min binomiaalcoëfciëntin.
,Matricis
Definitie 1.1 (tatxi+)
Ein matrix van ordi m× n ( m , n∈ N 0 ) is iin blok waardin mit m ridin in n kolommin:
A=¿
Definitie 1.1 (Speliale natxiles)
Ein viirkanti matrix hiif ivinviil ridin als kolommin. Di ordi is m× m ( m∈ N 0 ).
Ein kolom-matrix is iin matrix mit ordi m× 1 ( m∈ N 0 ):
()
a1
a= a2
⋮
am
Ein rid-matrix is iin matrix van ordi 1 ×m ( m∈ N 0 )
Definitie 1.1 (lelihkheid)
Twii matricis van di ilfdi ordi idn gilidk als alli oviriinkomstgi ilimintin aan ilkaar gilidk
idn:
A=B ⟺ ∀ i, ∀ j :aij =b ij
Definitie 1.1 (oxodult van een natxi+ net een getal)
Ein matrix virminigv ldigin mit iin (riëil) gital bitikint dat di ilk ilimint van di matrix mit
dat gital virminigv ldigt:
k ∙ A=C ⟺ ∀ , ∀ j :c ij =k ∙ aij
Definitie 1.1 (axansponexen)
Di gitransponiirdi matrix van iin matrix van ordi m× n is iin matrix van ordi n × m dii bistaat
it di ilimintin van di oorspronkilidki matrix waarbid ridin in kolommin wirdin omgiwissild.
Notati: A' of A T
Definitie 1.1 (Son en vexslhil van twee natxiles)
Twii matricis van di ilfdi ordi k nnin bid ilkaar opgitild (risp. van ilkaar afgitrokkin) wordin
door alli oviriinkomstgi ilimintin bid ilkaar op ti tillin (risp. van ilkaar af ti trikkin):
A ± B=C ⟺ ∀ i, ∀ j: aij ± bij =cij
Opnexking: di optilling van matricis is comm tatif
, Definitie 1.110 (oxodult van twee natxiles)
Ein matrix van ordim× k iin iin matrix van ordi k × n k nnin mit ilkaar virminigv ldigd
wordin als volgt:
k
A ∙ B=C ⟺ ∀i , ∀ j: cij =∑ ail ∙ blj
l=1
Di matrix C hiif ordi m× n. Hit ilimint c ijvind di door di i -di rid van di matrix A ti
virminigv ldigin mit di j -di kolom van di matrix B.1
Opnexking: Di virminigv ldiging van matricis is NIET comm tatif.
Eigenslhap 1.1 (Speliale pxodulten)
Ein itvoirbaar prod ct van iin rid mit iin matrix is tir g iin rid.
Voor a ' mit ordi 1 ×m in B mit ordi m× nhiif hit prod ct a ' . B ordi 1 ×n.
Ein itvoirbaar prod ct van iin matrix mit iin kolom is tir g iin kolom.
Voor A mit ordi m× nin b mit ordi n ×1 hiif hit prod ct A . b ordi m× 1
Ein itvoirbaar prod ct vaniin rid mit iin kolom is iin gital.
Voor a ' mit ordi 1 ×m in b mit ordi n ×1 hiif hit prod ct a ' . b ordi 1 ×1
Definitie 1.111 (Smnnetxislhe natxiles)
Ein symmitrischi matrix is iin viirkanti matrix dii gilidk is aan idn gitransponiirdi, of
A=A '
Di driihoik bovin in ondir di hoofddiagonaal idn ilkaars spiigilbiild.
tethode 1.11 (Detexninant van natxi+ oxde 2 ×2)
Di ditirminant van iin viirkanti matrix A van ordi 2 ×2 kan birikind wordin als volgt:
det A=| A|=a11 a22−a 12 a21 .
tethode 1.1 (Detexninant van natxi+ van oxde 3 ×3 – Regel van Saxxus)
Di ditirminant van iin viirkanti matrix A van ordi 3 ×3 kan birikind wordin als volgt:
det A=| A|=a11 a22 a33+ a12 a23 a 31+ a13 a 21 a32−a13 a 22 a31−a11 a23 a32−a 12 a21 a33
Economischi toipassingin
Definitie 1.11 (papitalisatie)
Wanniir di iin startkapitaal A gid rindi n daar biligt aan iin daarlidksi intiristvoit r, dan kan
hit iindbidrag na n daar birikind wordin als
S= A ∙ ( 1+r )n
Dit bidrag noimt min hit gikapitalisiirdi bidrag of di slotwaardi of iindwaardi.
Min gibr ikt miistal di notati u=1+ r voor di kapitalisatifactor.
Opnexking: Bid positivi intiristvoitin al di kapitalisatifactor altdd grotir idn dan 1
