Metodos matematicos de variable compleja

Funciones de una variable
compleja
a-
Nomeros IR
complejos


IQ#
Un numero
complejo es cualquier numero

de la Forma


2- =
a tio


donde a lo son números reales e i La parte real de
y e
imaginario
un

es la unidad
imaginarla numero
complejo Z se abrevian como




Ejemplo Re (z) e Imlz )
respectivamente
Al aprender a resolver una ecuación
cuadrática axrtloxt medio Por entonces
C = O
por ejemplo si 2- =
4-9 :

de la Formula cuadrática ,
se observa
que
las raves de la ecuación no son reales ,
Re ( z ) = 4 e Im (z ) =
-9
cuando el discriminante
Si no
complejas ,



d- _

Yac es
negativo Una constante real que es multipla
de la unidad denomina
imaginario se
Ecuaciones sencillas Por ejemplo
imaginario puro
como un numero .



Z Gi
imaginario
=
es un numero
puro
✗ 2+5=0 ✗ 7×1-4=0
y
Definición
tienen
no soluciones reales .
Dos números complejos son
iguales
Las de esta ultima ecuación reales
raves son si sus partes e
imaginarios
son
iguales
-




¿ ¥ +
y _




¿ DIZ -




Los romeros
complejos
Si se considera que
1-5=15.1-7 z ,
= X ,
+
y; y
Za = ✗a +
ya ¡
entonces podemos escribir las raves

como Son
iguales
-




¿
+
II. ti y
-




¿
_




i-I-t.tl Z ,
=
Zz Si



Terminología Re (E) =
Relza )
El numero la definición anterior
i de Imlz ) ,
=
Im ( za )

se denomina la unidad El
imaginarla •




numero real y de 2- ✗ it
y se denomina = * Un numero
complejo ✗
tyi = O SI

la parte real de Z Y el numero real ✗ ✗ 0 o
y y
= =




se denomina parte de Z
imaginarla

,*
Operaciones aritméticas Ejercicio
Los números Si encuentre
°




complejos se pueden Z ,
= 21-4 i
y
2- a
=-3 1-8 , ,




sumar restar multiplicar dividir
,
y , .




Si Z =
X t
Y i Ze Xe t
ya i a) Z, t Ze = -
l t 12 i
y
, , , ,




estas operaciones se definen como
sigue
b) 2- ,
•
2- a = ( -

G -


32

Suma :

Conjugado de un numero
complejo
Z , tza = (× ) ( ya ;)
+
+ i × +
,
g. .




(× ✗ e) (y Si
+ + +
ya ) i Z número complejo entonces el
=
, , es un ,
'
real
imaginarla número que se obtiene al cambiar el
signo
de su
parte se denomina complejo
imaginarla
Resta ! conjugado o
conjugado de 2-




Z , tza = (× +
y i ) ( xat Yai ) si 2- = ✗ ti entonces su
y
, ,
. .


=
(× ✗ e) + (y g) i
conjugado
-
-



, , es
'
real
imaginarla
E =
✗ -




iy
Multiplicación
o




.




Por
ejemplo
2- ,
•
Za = ( × ,
t
y ,
i ) (✗ a
+
ya i )
entonces
'

×, ✗ t i it i * Si Z 6 3 i E
×,
y ya
t t 6-3
ya
= ✗
y
= =
a , a ,


= (× ,
✗ a
-




y ya, ) + i ( ×,
ya +
y ,
✗ e)
* g, Z = -5 -
i entonces E = -5 ti

Division :
* Si 2- =
7 entonces 2- = 7

2-
za
= X.tyiij-X.la/-YiY-tiYiXz-XiY-
✗ 1- ya i
a Xe + y? × ? YE
'
(
Para

numero
cualquier
real )
Usando la definición
Las conocidas leyes conmutativas ,
asociativas
y
de la sum

distributivas son válidas para números complejos se demuestra Fácilmente
que
de de
el
conjugado una suma


Leyes conmutativas :
{ Z t Zr Zat Z dos complejos la
=
, , números es


(E) ( za ) = (za ) ( Zi ) suma de los conjugados :




Leyes asociativas
:{ Z 1- (Zat -2s) (z 1- 2- a) Es + -2,1--27 É + E
= =
, ,



Z ,
( Za -23) =
(Z ,
-22 ) Zz



( Zat 3)
0



Ley distributiva . Z, 2- =
-2,2-21--2,2-3

,Tambien las
siguientes
-22€
tienen
Xitiy-oxz-iy-tre.se
se I. = € .
=




propiedades iya Za Zz ✗ a ti
ya ✗a -




É
2


1) ZFEA E =
×,
= ✗ ix
ya
+
iy ✗
iy ya
-
,
-
- =
, a , _
, a ,




ixya
y 'all
i
✗
ixayr +
- -


a




) ZTZA É Er =
,
•




( ✗✗a 1-
y ya ) i ( ✗ × ya )
=
t y
-




, , a ,




" E-
"
⇐ =




E
xi +
yi

xixztzyiY-tyixz-X.LI
=




Las definiciones de multiplicación XÍT ya It ye
'

suma ✗
y
muestran que la suma el producto de un
y
numero
complejo F-
y
su
conjugado E son tambien
números reales .
Ejemplo

2- + E = ( ✗ + ¡
g) + ( × -

i
g) =
zx Si Z ,
= 2-3 i
y
Za = 4+6 i




(
iy ) ( iy )
2- •
E =
× + •
✗ -

Encuentre


izytixy a)
'

¡ ya 8-1--8
.
= × -
-
← = + -12-12-1
Za 16+36 161-36
= ' '
× t
y
=
-10--21 i
La diferencia de un numero
complejo -52 52


conjugado número
2- su
y
es un
imaginario puro
=
5- -
1-2 i

( iy) ( iy )
z - E = ✗ +
-


✗ - 26 26



=
✗ ti × ti Zi
y y y
- -
-




d) 1- = 1- •
E- =




como ✗ = Re ( Z) = Im ( z) entonces Z, Zi Zi
y y
usando los resultados anteriores tenemos
1- . 273cL =



Re ( z ) ( z)
2-tzz-y.IM ZEE 2- si 2+3 :
= =




4i-6.ir?I?i-q..a-
=
=




Podemos abordar la división .
de dos romeros


complejos 2- zz Usando la definición del
,
y
del
conjugado complejo iy 2t3¿- 2,433L
numero Si E. = × + = = =
,
, ,
y
Za ✗a ti 4-9 i
ya
=




=
It ? i

, Interpretación geométrica
Esto es :
Un numíero complejo Z = x t
y
i se determina
Unicamente medio de un ordenado / Z t za l E l Z l t I Za
por par , ,


de números reales (✗
iy) El
primero y
•




Este resultado
segundo elemento de cada par ordenado se conoce como


corresponden respectivamente real
, ,
a la
parte la desigualdad triangular .




la del
y
a
imaginarla numero
complejo

Por ejemplo r T
Z , 1- 2- a
/
( 2 ,
-

3) corresponde al complejo Z =
2-3 : /
/ z ,



2- =
2-3 : determina el par ordenado Cz ,
-
3) !
Asi se asocia un numero
complejo 2-
yi con
= ✗ t


un
punto -




Cxiy ) de un plano de coordenadas .




y
a



eje
" •



imaginario
y,
2- = ×
,
t
iy ,




D


Eje real × ×
↳ ,




El
plano coordenada ilustrado en la
Figura se denomina
plano complejo o simplemente el plano Z




Definición
El modulo o valor absoluto de 2- ✗ ti se derrota
y
=




por
12-1 , es el numero real




lxrtyT-dzz-lasuma.de
12-1 =




los vectores Z 2- a es el vector
,
y
Z ,
t Zz o




Para el triangulo indicado en la
figura se sabe que
la
longitud del lado del
triangulo correspondiente al
vector Z ,
t Zz no puede ser mas
grande que
la suma

de los dos lados restantes .