Seminario Páginas 1–2
2022
TEORIA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS
Herson Suárez
Seminario
Universidad Industrial de Santander
Noviembre, 2022
Palabras clave: Conjuntos, Sombreros, Boreliano, Jerarquı́a
ÍNDICE Problema: ¿Qué estrategia podrı́an utilizar los sujetos P1 , P2 , P3 , ... para
garantizar que muera a lo más un número finito de personas?
Índice 1
La siguiente puede ser una estrategia. Cada asignación posible de som-
1. Introducción 1 breros a personas puede representarse como una secuencia infinita de
ceros y unos. (Un cero en la k-ésima posición significa que el sombrero
2. Teorı́a descriptiva de Conjuntos 1 de Pk es azul y un uno significa que es rojo.) Definamos M el con-
2.1. Problema de los Sombreros . . . . . . . . . . . . . . . 1 junto de todas estas secuencias y denominaremos a M como ’órbitas’.
2.2. σ - Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Diremos que dos secuencias en M están en la misma órbita si y sólo si
difieren sólo en un número finito de posiciones. Por ejemplo, la secuen-
3. Conjuntos Borelianos 2 cia < 0, 0, 0, 0, ... > y la secuencia < 1, 0, 0, 0, ... > están en la misma
3.1. Jerarquı́a de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 órbita porque difieren sólo en la primera posición, por el contrario, la
secuencia < 0, 0, 0, 0, ... > y la secuencia < 1, 0, 1, 0, ... > están en
4. Conclusiones 2 órbitas diferentes porque difieren en un número infinito de posiciones.
Referencias 2
La estrategia consiste en que P1 , P2 , P3 , ... elijan de antemano un re-
presentante de cada órbita. (aquı́ se presupone el Axioma de Elección.)
Iniciado el juego, cada persona podrá ver los colores de las personas que
1. INTRODUCCIÓN tiene delante, pero estará privado de ver sólo los colores de un número fi-
La teorı́a descriptiva de conjuntos es el estudio de los subconjuntos nito de sombreros. Esto significa que, aunque la persona no sea capaz de
de la recta real y, más generalmente, de los subconjuntos de los espa- establecer que sombreros se han asignado, tendrá suficiente información
cios polacos (estructura topológica abstracta), esta teorı́a comienza con para determinar cuál es la órbita a la que pertenece dicha asignación de
la investigación de los espacios polacos y sus subconjuntos de Borel, en sombreros. Llamemos o a esta órbita.
consecuencia, se introduce la definición de álgebra de Borel, esta álge-
bra de un espacio topológico X consiste en la σ-álgebra más pequeña que Para completar la estrategia, basta con que cada persona utilice el
contiene los subconjuntos abiertos de X, donde cada conjunto de Borel representante preseleccionado de o para decidir con qué color respon-
de un espacio polaco se clasifica en la jerarquı́a de Borel en función de sabilizarse: Pk gritará ’azul’ si el representante de o tiene un cero en la
cuantas operaciones de unión y complementariedad se debe utilizar para k−ésima posición, y gritará ’rojo’ si el representante de o tiene un uno
obtener dicho conjunto mediante conjuntos abiertos. Un área de investi- en esa posición. Dado que el representante de o y la secuencia corres-
gación actual en teorı́a descriptiva de conjuntos estudia las relaciones de pondiente a la asignación de sombreros que de hecho ocurrió están en
equivalencia de Borel, donde, una relación de equivalencia de Borel en la mima órbita, sabemos que son distintos a lo más en un número finito
un espacio polaco X es un subconjunto de Borel de XxX que es una de posiciones. Ası́ que, siempre y cuando todos actúen de acuerdo con
relación de equivalencia en X. la estrategia, habrá sólo un número finito de personas que identifiquen
incorrectamente el color de su sombrero. En algún sentido hemos solu-
cionado el problema: hemos identificado una estrategia que garantiza que
2. TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS no haya infinitas muertes.
2.1. Problema de los Sombreros
El problema de los sombreros aparece en gran parte de los acertijos
clásicos de lógica para un caso finito ( 3 o 5 personas), para el caso
más general se tiene infinitas personas (P1 , P2 , P3 , ...) formando una fi-
la, donde P1 está detrás de P2 , P3 , ... Y P2 detrás de P3 , P4 , ..., y ası́
sucesivamente, además, Cada uno de ellos tiene puesto o bien un som-
brero rojo o bien un sombrero azul. Nadie conoce el color de su propio
sombrero, pero cada uno puede ver los colores de los sombreros de las
personas que tiene delante. A los que identifiquen correctamente el color
de su sombrero se les perdonará la vida; a los demás se les cortará la ca-
beza.
Figura 1: Problema clásico de lógica para un caso finito
Submitted to the University of Birmingham 1
2022
TEORIA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS
Herson Suárez
Seminario
Universidad Industrial de Santander
Noviembre, 2022
Palabras clave: Conjuntos, Sombreros, Boreliano, Jerarquı́a
ÍNDICE Problema: ¿Qué estrategia podrı́an utilizar los sujetos P1 , P2 , P3 , ... para
garantizar que muera a lo más un número finito de personas?
Índice 1
La siguiente puede ser una estrategia. Cada asignación posible de som-
1. Introducción 1 breros a personas puede representarse como una secuencia infinita de
ceros y unos. (Un cero en la k-ésima posición significa que el sombrero
2. Teorı́a descriptiva de Conjuntos 1 de Pk es azul y un uno significa que es rojo.) Definamos M el con-
2.1. Problema de los Sombreros . . . . . . . . . . . . . . . 1 junto de todas estas secuencias y denominaremos a M como ’órbitas’.
2.2. σ - Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Diremos que dos secuencias en M están en la misma órbita si y sólo si
difieren sólo en un número finito de posiciones. Por ejemplo, la secuen-
3. Conjuntos Borelianos 2 cia < 0, 0, 0, 0, ... > y la secuencia < 1, 0, 0, 0, ... > están en la misma
3.1. Jerarquı́a de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 órbita porque difieren sólo en la primera posición, por el contrario, la
secuencia < 0, 0, 0, 0, ... > y la secuencia < 1, 0, 1, 0, ... > están en
4. Conclusiones 2 órbitas diferentes porque difieren en un número infinito de posiciones.
Referencias 2
La estrategia consiste en que P1 , P2 , P3 , ... elijan de antemano un re-
presentante de cada órbita. (aquı́ se presupone el Axioma de Elección.)
Iniciado el juego, cada persona podrá ver los colores de las personas que
1. INTRODUCCIÓN tiene delante, pero estará privado de ver sólo los colores de un número fi-
La teorı́a descriptiva de conjuntos es el estudio de los subconjuntos nito de sombreros. Esto significa que, aunque la persona no sea capaz de
de la recta real y, más generalmente, de los subconjuntos de los espa- establecer que sombreros se han asignado, tendrá suficiente información
cios polacos (estructura topológica abstracta), esta teorı́a comienza con para determinar cuál es la órbita a la que pertenece dicha asignación de
la investigación de los espacios polacos y sus subconjuntos de Borel, en sombreros. Llamemos o a esta órbita.
consecuencia, se introduce la definición de álgebra de Borel, esta álge-
bra de un espacio topológico X consiste en la σ-álgebra más pequeña que Para completar la estrategia, basta con que cada persona utilice el
contiene los subconjuntos abiertos de X, donde cada conjunto de Borel representante preseleccionado de o para decidir con qué color respon-
de un espacio polaco se clasifica en la jerarquı́a de Borel en función de sabilizarse: Pk gritará ’azul’ si el representante de o tiene un cero en la
cuantas operaciones de unión y complementariedad se debe utilizar para k−ésima posición, y gritará ’rojo’ si el representante de o tiene un uno
obtener dicho conjunto mediante conjuntos abiertos. Un área de investi- en esa posición. Dado que el representante de o y la secuencia corres-
gación actual en teorı́a descriptiva de conjuntos estudia las relaciones de pondiente a la asignación de sombreros que de hecho ocurrió están en
equivalencia de Borel, donde, una relación de equivalencia de Borel en la mima órbita, sabemos que son distintos a lo más en un número finito
un espacio polaco X es un subconjunto de Borel de XxX que es una de posiciones. Ası́ que, siempre y cuando todos actúen de acuerdo con
relación de equivalencia en X. la estrategia, habrá sólo un número finito de personas que identifiquen
incorrectamente el color de su sombrero. En algún sentido hemos solu-
cionado el problema: hemos identificado una estrategia que garantiza que
2. TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS no haya infinitas muertes.
2.1. Problema de los Sombreros
El problema de los sombreros aparece en gran parte de los acertijos
clásicos de lógica para un caso finito ( 3 o 5 personas), para el caso
más general se tiene infinitas personas (P1 , P2 , P3 , ...) formando una fi-
la, donde P1 está detrás de P2 , P3 , ... Y P2 detrás de P3 , P4 , ..., y ası́
sucesivamente, además, Cada uno de ellos tiene puesto o bien un som-
brero rojo o bien un sombrero azul. Nadie conoce el color de su propio
sombrero, pero cada uno puede ver los colores de los sombreros de las
personas que tiene delante. A los que identifiquen correctamente el color
de su sombrero se les perdonará la vida; a los demás se les cortará la ca-
beza.
Figura 1: Problema clásico de lógica para un caso finito
Submitted to the University of Birmingham 1
