DYNAMIQUE DES SYSTÈMES LINÉAIRES (DSL)
Licence SPI & Physique — Synthèse des Cours, Modélisation et Fiche de Formules
Fiche 1 : Principes Généralistes & Convention de Linéarisation
La dynamique des systèmes étudie l'évolution temporelle et fréquentielle des systèmes physiques
(hydrauliques, mécaniques, électriques) régis par des équations différentielles (ED).
Convention de notation autour d'un point d'équilibre (Petites Variations)
Pour un système non linéaire régi par une grandeur physique Φ(t), l'étude dynamique locale s'effectue en
décomposant la variable en une valeur constante d'équilibre Φe (ou stationnaire) et une petite variation
temporaire φ(t) :
Φ(t) = Φe + φ(t) avec |φ(t)| ≪ Φe
Développement Limité de Taylor à l'ordre 1 (Linéarisé Tangent) : Pour toute fonction non linéaire f(Φ),
l'approximation au premier ordre s'écrit :
f(Φe + φ(t)) ≈ f(Φe) + [df/dΦ]|Φ=Φe · φ(t)
Système Hydraulique (Vanne/Cuve) : f(N) = √N ⇒ √(N0 + n(t)) ≈ √N0 + (1 / (2√N0)) · n(t)
Pendule / Rota non linéaire : sin(Θe + θ(t)) ≈ sin(Θe) + cos(Θe) · θ(t)
Si Θe = 0 : sin(θ) ≈ θ (Comportement Stable) | Si Θe = −π : sin(−π + θ) ≈ −θ (Comportement Instable)
Fiche 2 : Systèmes du 1er Ordre Linéarisés
Un système du 1er ordre est caractérisé par une seule variable d'état accumulatrice d'énergie (ex: volume d'eau
dans une cuve, charge d'un condensateur).
Équation Différentielle Canonique Fonction de Transfert G(p)
τ · (dn(t)/dt) + n(t) = G0 · de(t) G(p) = N(p) / De(p) = G0 / (1 + p/ω1) = G0
/ (1 + τ p)
où τ = 1 / ω1 est la constante de temps du système et
G0 le gain statique.
Réponses Temporelles & Fréquentielles
Expression Mathematique
Régime / Analyse Propriétés Remarquables
analytique
Réponse Indicielle (Échelon À t = τ, n(τ) = 63% de la valeur finale.
n(t) = G0 · D0 · (1 − e−t/τ)
D0) À t = 3τ, n(3τ) = 95% de la valeur finale.
Module : |G(jω)| = G0 / √(1 + (ω/ω1)2)
Harmonique G(jω) G(jω) = G0 / (1 + j (ω/ω1))
Phase : arg G(jω) = −atan(ω/ω1)
Coupure à ω1 avec atténuation de −3 dB et phase
Bode asymptotique pente −20 dB/décade pour ω ≫ ω1
de −45°.
Stabilité des systèmes du 1er ordre
Dynamique des Systèmes Linéaires — Fiches de Cours Page
Licence SPI & Physique — Synthèse des Cours, Modélisation et Fiche de Formules
Fiche 1 : Principes Généralistes & Convention de Linéarisation
La dynamique des systèmes étudie l'évolution temporelle et fréquentielle des systèmes physiques
(hydrauliques, mécaniques, électriques) régis par des équations différentielles (ED).
Convention de notation autour d'un point d'équilibre (Petites Variations)
Pour un système non linéaire régi par une grandeur physique Φ(t), l'étude dynamique locale s'effectue en
décomposant la variable en une valeur constante d'équilibre Φe (ou stationnaire) et une petite variation
temporaire φ(t) :
Φ(t) = Φe + φ(t) avec |φ(t)| ≪ Φe
Développement Limité de Taylor à l'ordre 1 (Linéarisé Tangent) : Pour toute fonction non linéaire f(Φ),
l'approximation au premier ordre s'écrit :
f(Φe + φ(t)) ≈ f(Φe) + [df/dΦ]|Φ=Φe · φ(t)
Système Hydraulique (Vanne/Cuve) : f(N) = √N ⇒ √(N0 + n(t)) ≈ √N0 + (1 / (2√N0)) · n(t)
Pendule / Rota non linéaire : sin(Θe + θ(t)) ≈ sin(Θe) + cos(Θe) · θ(t)
Si Θe = 0 : sin(θ) ≈ θ (Comportement Stable) | Si Θe = −π : sin(−π + θ) ≈ −θ (Comportement Instable)
Fiche 2 : Systèmes du 1er Ordre Linéarisés
Un système du 1er ordre est caractérisé par une seule variable d'état accumulatrice d'énergie (ex: volume d'eau
dans une cuve, charge d'un condensateur).
Équation Différentielle Canonique Fonction de Transfert G(p)
τ · (dn(t)/dt) + n(t) = G0 · de(t) G(p) = N(p) / De(p) = G0 / (1 + p/ω1) = G0
/ (1 + τ p)
où τ = 1 / ω1 est la constante de temps du système et
G0 le gain statique.
Réponses Temporelles & Fréquentielles
Expression Mathematique
Régime / Analyse Propriétés Remarquables
analytique
Réponse Indicielle (Échelon À t = τ, n(τ) = 63% de la valeur finale.
n(t) = G0 · D0 · (1 − e−t/τ)
D0) À t = 3τ, n(3τ) = 95% de la valeur finale.
Module : |G(jω)| = G0 / √(1 + (ω/ω1)2)
Harmonique G(jω) G(jω) = G0 / (1 + j (ω/ω1))
Phase : arg G(jω) = −atan(ω/ω1)
Coupure à ω1 avec atténuation de −3 dB et phase
Bode asymptotique pente −20 dB/décade pour ω ≫ ω1
de −45°.
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