Résumé Espaces vectoriels normés

Chapitre 07 : Espaces Vectoriels Normés Fiche de Révision (Exhaustive)


1. Normes et Distances — Négligeabilité (o) : un = o(αn ) ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N, n ≥
N =⇒ ∥un ∥ ≤ ε|αn |.
Définition (Norme). Une application N : E → R est une — Équivalence (∼, suites réelles) : un ∼ vn ⇐⇒
norme sur E si : un − vn = o(vn ). Si vn → ℓ ̸= 0, alors un → ℓ.
1. Positivité : ∀x ∈ E, N (x) ≥ 0.
2. Séparation : N (x) = 0 =⇒ x = 0E . Lemme (Caractérisation séquentielle des normes). Toute
3. Homogénéité : ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, N (λx) = |λ|N (x). suite convergeant vers 0 pour N1 converge vers 0 pour
4. Inéga. triangulaire : N (x + y) ≤ N (x) + N (y). N2 ⇐⇒ ∃α > 0, N2 ≤ αN1 .
Conséquence : |N (x) − N (y)| ≤ N (x − y). Vecteur unitaire :
x est unitaire si ∥x∥ = 1. Définition (Normes équivalentes). N1 et N2 sont équiva-
lentes s’il existe a, b > 0 tels que aN1 (x) ≤ N2 (x) ≤ bN1 (x).
Définition (Distance). Une distance sur un ensemble A En dimension finie, toutes les normes sont équiva-
vérifie : positivité, séparation (d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y), sy- lentes (la notion de borné et de convergence devient intrin-
métrie et inégalité triangulaire (d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)). sèque et se fait coordonnée par coordonnée).
Distance associée à une norme : d(x, y) = ∥x − y∥.

Définition (Distance à un ensemble et Diamètre).
3. Topologie Générale
— Distance à un ensemble : Pour A ̸= ∅, d(x, A) =
inf{d(x, a) | a ∈ A}. (L’application x 7→ d(x, A) est 1-
Définition (Voisinage et Ouvert).
lipschitzienne).
— Diamètre : δ(A) = sup{d(x, y) | (x, y) ∈ A2 }. — Voisinage (V(a)) : Contient une boule ouverte B(a, r).
Toute intersection finie de voisinages est un voisinage.
Proposition (Normes Usuelles).
pP — Espace séparé : 2 points distincts admettent toujours
— Sur Kn : ∥x∥1 =
P
|xi |, ∥x∥2 = |xi |2 , ∥x∥∞ = des voisinages disjoints.
max |xi |. — Ouvert : Partie qui est un voisinage de chacun de ses
Rb
— Sur C([a, b], K) : ∥f ∥1 = a
|f (t)|dt, ∥f ∥2 = points.
qR
b
a
|f (t)|2 dt, ∥f ∥∞ = sup[a,b] |f (t)|.
P pP Théorème (Opérations Topologiques).
— Sur K[X] : N1 (P ) = |ak |, N2 (P ) = |ak |2 ,
N∞ (P ) = sup |ak |. pP — Ouverts : Stables par union quelconque et intersection
— Sur matrices : ∥A∥2 = |aij |2 , colnorm, rownorm. finie. Un produit fini d’ouverts est un ouvert.
— Norme produit : N (x1 , . . . , xp ) = maxi Ni (xi ). — Fermés (complémentaires d’ouverts) : Stables par
intersection quelconque et union finie. Un produit fini
Définition (Boules, Convexité et Bornes). de fermés est un fermé.
— Boules : B(a, r) (ouverte), Bf (a, r) (fermée), S(a, r)
(sphère, S = Bf \ B). Théorème (Suites et Ouverts). Si xn → x, tout ouvert
— Convexe : ∀x, y ∈ A, [x, y] ⊂ A. Une intersection de contenant x (ou voisinage de x) contient tous les termes de
convexes est convexe. Les boules sont convexes. la suite à partir d’un certain rang (apcr).
— Borné : A est bornée ⇐⇒ ∃K, ∀x ∈ A, ∥x∥ ≤ K ⇐⇒
le diamètre δ(A) est fini ⇐⇒ A est incluse dans une Définition (Intérieur, Adhérence, Frontière). Soit A ⊆ E.
boule.
— Intérieur (Å) : Le plus grand ouvert inclus dans A. (On
Théorème (Espace B(I, E)). L’ensemble B(I, E) des ap- ˚
plications bornées de I dans E est un espace vectoriel, et a Å = Å).
∥f ∥∞ = supI ∥f (t)∥E y est une norme. — Adhérence (Adh(A) ou A) : Le plus petit fermé conte-
nant A. (On a A = A).
— Monotonie : A ⊂ B =⇒ Å ⊂ B̊ et A ⊂ B.
2. Suites & Comparaisons ˚ {
z }|
— Dualité : E \ A = E \ A et E \ Å = E \ A.
Théorème (Suites convergentes). — Frontière : Fr(A) = A \ Å (C’est un fermé. A, Fr(A) et
— xn → ℓ ⇐⇒ lim ∥xn − ℓ∥ = 0. l’intérieur du complémentaire forment une partition).
— L’ensemble des suites convergentes est un K-espace vec- — Densité : A est dense dans E si A = E ⇐⇒ tout ouvert
toriel. La limite est unique et linéaire. non vide rencontre A ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∃an ∈ A, an → x.
— Toute suite convergente est bornée.
— Toute suite extraite converge vers la même limite ℓ. Théorème (Caractérisation séquentielle des fermés).

Définition (Valeur d’adhérence). x est une valeur d’adhé- — x ∈ A ⇐⇒ ∃(an ) ∈ AN telle que an → x.
rence de (un ) si x est la limite d’une sous-suite extraite. Si — A est fermé ⇐⇒ toute suite d’éléments de A qui
(un ) converge, elle possède une unique valeur d’adhérence. converge dans E a sa limite dans A.

Définition (Relations asymptotiques). Soit (un ) ∈ E N et Définition (Topologie relative). Soit A ⊂ E. U ⊂ A est
(αn ) ∈ RN . un ouvert relatif (resp. fermé relatif ) de A s’il existe un
— Domination (O) : un = O(αn ) ⇐⇒ ∃K, ∀n ≥ ouvert U ′ (resp. fermé F ′ ) de E tel que U = A ∩ U ′ (resp.
p, ∥un ∥ ≤ K|αn |. U = A ∩ F ′ ). Un fermé relatif d’un compact est compact.


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