C h a p t e r 1 2 - G r a v i t a t i o n - Q u e s t i o n s - 1 6 t o 2 2
1C h a p t e r 1 2 - G r a v i t a t i o n - Q u e s t i o n s - 1 6 t o 2 2
1 2 . 1 6
C a n t h e e x p r e s s i o n f o r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y U g ( y ) = m g y b e u s e d t o a n a l y z e h i g h - a l t i t u d e m o t i o n ? W h y o r w h y n o t ?
A n s w e r
N o , o n e c a n n o t . T h e e x p r e s s i o n f o r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y U g ( y ) = m g y i s o n l y a c c u r a t e w h e n t h e h e i g h t y i s m u c h l e s s t h a n t h e r a d i u s o f t h e E a r t h , R E . T h e c o r r e c t e x p r e s s i o n f o r t h e p o t e n t i a l e n e r g y i s :
1 2 . 1 6
A n s w e r
1 2 . 1 7
A n s w e r
1 2 . 1 8
A n s w e r
1 2 . 1 9
A n s w e r
2 . 2 0
A n s w e r
1 2 . 2 1
A n s w e r
1 2 . 2 2
A n s w e r
U=− G=R+ y( E)M m E− G1+R( E)M m E(R Ey)−1 C h a p t e r 1 2 - G r a v i t a t i o n - Q u e s t i o n s - 1 6 t o 2 2
2E x p a n d i n g ;
T h e p o t e n c i a l e n e r g y i s a p p r o x i m a t e l y l i n e a r , i n t h e s a m e m a n n e r a s U = m g y , o n l y w h e n :
S o , U g ( y ) = m g y i s o n l y v a l i d w h e n :
1 2 . 1 7
E v e n t h o u g h t h e M o o n d o e s n o t h a v e a n a t m o s p h e r e , t h e t r a j e c t o r y o f a p r o j e c t i l e n e a r i t s s u r f a c e i s o n l y a p p r o x i m a t e l y a p a r a b o l a . T h i s i s b e c a u s e t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y n e a r t h e s u r f a c e o f t h e M o o n i s o n l y a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t . D e s c r i b e a s p r e c i s e l y a s y o u c a n t h e a c t u a l s h a p e o f a p r o j e c t i l e ’ s p a t h o n t h e M o o n , e v e n o n e t h a t t r a v e l s a l o n g d i s t a n c e o v e r t h e s u r f a c e o f t h e M o o n
A n s w e rU=− G1−++....R( E)M m E(R Ey
21
R( E)2y2)
(R Ey)2
y<< R E
1C h a p t e r 1 2 - G r a v i t a t i o n - Q u e s t i o n s - 1 6 t o 2 2
1 2 . 1 6
C a n t h e e x p r e s s i o n f o r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y U g ( y ) = m g y b e u s e d t o a n a l y z e h i g h - a l t i t u d e m o t i o n ? W h y o r w h y n o t ?
A n s w e r
N o , o n e c a n n o t . T h e e x p r e s s i o n f o r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y U g ( y ) = m g y i s o n l y a c c u r a t e w h e n t h e h e i g h t y i s m u c h l e s s t h a n t h e r a d i u s o f t h e E a r t h , R E . T h e c o r r e c t e x p r e s s i o n f o r t h e p o t e n t i a l e n e r g y i s :
1 2 . 1 6
A n s w e r
1 2 . 1 7
A n s w e r
1 2 . 1 8
A n s w e r
1 2 . 1 9
A n s w e r
2 . 2 0
A n s w e r
1 2 . 2 1
A n s w e r
1 2 . 2 2
A n s w e r
U=− G=R+ y( E)M m E− G1+R( E)M m E(R Ey)−1 C h a p t e r 1 2 - G r a v i t a t i o n - Q u e s t i o n s - 1 6 t o 2 2
2E x p a n d i n g ;
T h e p o t e n c i a l e n e r g y i s a p p r o x i m a t e l y l i n e a r , i n t h e s a m e m a n n e r a s U = m g y , o n l y w h e n :
S o , U g ( y ) = m g y i s o n l y v a l i d w h e n :
1 2 . 1 7
E v e n t h o u g h t h e M o o n d o e s n o t h a v e a n a t m o s p h e r e , t h e t r a j e c t o r y o f a p r o j e c t i l e n e a r i t s s u r f a c e i s o n l y a p p r o x i m a t e l y a p a r a b o l a . T h i s i s b e c a u s e t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y n e a r t h e s u r f a c e o f t h e M o o n i s o n l y a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t . D e s c r i b e a s p r e c i s e l y a s y o u c a n t h e a c t u a l s h a p e o f a p r o j e c t i l e ’ s p a t h o n t h e M o o n , e v e n o n e t h a t t r a v e l s a l o n g d i s t a n c e o v e r t h e s u r f a c e o f t h e M o o n
A n s w e rU=− G1−++....R( E)M m E(R Ey
21
R( E)2y2)
(R Ey)2
y<< R E
