TEMA-5 GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. VECTOR LIBRE.
• Sea R2 (el plano real) y sean A y B dos puntos del plano A, B R 2 .
❑ Se llama vector fijo al segmento orientado AB cuyos extremos se dan en un cierto orden,
al primer extremo se le llama origen del vector, (A), y al segundo extremo se le llama
extremo del vector, (B), y se le denota por 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
• En un vector, además del punto origen y de los puntos extremos tenemos que considerar los
siguientes elementos:
a) Módulo del vector, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, |𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |., es la longitud del
segmento determinado por los puntos A y B.
b) Dirección del vector 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es la recta
determinada por A y B y las rectas paralelas a
ésta.
c) Sentido del vector 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ., es el recorrido desde
el punto de origen al punto extremo.
➢ Un vector fijo está caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido.
❑ Dos vectores tienen la misma
dirección si se encuentran en la misma
recta o en rectas paralelas.
❑ Llamamos coordenadas de un vector fijo, 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de origen A (a1, a2) y extremo B (b1, b2), a los
números que se obtienen al restar a las coordenadas del extremo las del origen
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 )
𝑨𝑩
Ejemplo
T
❑ El módulo del vector fijo 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝒆𝒔 |𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 )𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 )𝟐
Demostración
Aplico el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ATB para calcular la longitud del segmento
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |:
|𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2
= (𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2 ⇒ |𝐴𝐵
- 1 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
,❑ Se llama vector nulo,𝟎
⃗ , a aquel que tiene el mismo origen y extremo.
❑ Se llama vector opuesto de 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Si las componentes del vector 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑥, −𝑦) ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵𝐴
❑ Se llaman vectores equipolentes a aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
La equipolencia de vectores se aprecia gráficamente si al unir sus orígenes y sus extremos
obtenemos un paralelogramo.
Ejemplo
❑ Dado un vector fijo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, llamamos vector libre al conjunto formado por todos los vectores
equipolentes a 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ y se denota por {𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ } 𝑜 𝑣.
➢ Un vector libre puede representarse por uno de los vectores fijos de la clase de equivalencia
que lo definen.
❑ Al conjunto de todos los vectores libres del plano lo representamos por 𝑽𝟐 .
❑ Dado un punto A, el vector de origen O (origen de coordenadas) y de extremo A, 𝑶𝑨
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es el
vector de posición del punto A.
❑ Al representante de un vector libre que tiene su origen en el origen de coordenadas lo
llamamos representante canónico de dicho vector o vector de posición del punto extremo.
• Dado un punto A del plano, y un vector libre 𝑣 , existe un único representante de 𝑣 con origen
en A.
- 2 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
, Proposición
• Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de
los vectores libres del plano.
Demostración
- Si 𝑣 = (𝑎, 𝑏) es el representante canónico de un vector libre, el extremo de dicho representante
canónico determina un punto del plano, A, que tendrá por coordenadas A(a, b).
- Dado un punto A, el vector de posición del punto A, 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ es el representante canónico de un
determinado vector libre.
❑ Las coordenadas de un vector libre 𝒗 ⃗ son las coordenadas de uno cualquiera de sus
representantes vectores fijos 𝑣 = (𝑎, 𝑏).
❑ El módulo de un vector libre 𝒗 ⃗ es el módulo de uno cualquiera de sus representantes
vectores fijos |𝑣 | = √𝑎 + 𝑏
2 2
2. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.
2.1. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
❑ Dado un número real k y un vector 𝑢
⃗ = (𝑎, 𝑏) definimos el producto de k por 𝑢
⃗ como otro
vector que viene dado por: 𝑘·𝑢 ⃗ = (𝑘 · 𝑎, 𝑘 · 𝑏)
Ejemplo
- 3 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
, PROPIEDADES
1) 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene la misma dirección que 𝑢
⃗.
2) Si k > 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene el mismo sentido que 𝑢
⃗ , y su módulo |𝑘 · 𝑢
⃗ | = 𝑘 · |𝑢
⃗|
3) Si k < 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene el sentido opuesto que 𝑢
⃗ , y su módulo |𝑘 · 𝑢
⃗ | = |𝑘| · |𝑢
⃗|
4) Si k = 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ = ⃗0
5) Si k = -1, 𝑘 · 𝑢 ⃗ , es el vector opuesto de 𝑢
⃗ = −𝑢 ⃗.
6) Si 𝑢
⃗ = ⃗0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ⃗ = ⃗0
𝑘·𝑢
2.2. SUMA DE VECTORES.
❑ Dados dos vectores 𝑢
⃗ = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑣 = (𝑐, 𝑑), definimos la suma de 𝑢
⃗ 𝑦 𝑣 de la forma:
⃗ + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
𝑢
➢ Geométricamente, para obtener el vector suma 𝑢⃗ + 𝑣 podemos obtenerlo de dos formas:
1) Tomamos los representantes de los vectores con el mismo origen y trazo paralelas desde
los extremos, construyendo un paralelogramo, la suma de los dos vectores será la
diagonal que se corresponde con el vector que tiene su origen en el origen de los dos
vectores.
2) Tomamos el representante de 𝑣 que tiene su origen en el extremo de 𝑢 ⃗ y el vector
suma 𝑢
⃗ + 𝑣 será el vector que tiene por origen el de 𝑢
⃗ y como extremo el de 𝑣.
- 4 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. VECTOR LIBRE.
• Sea R2 (el plano real) y sean A y B dos puntos del plano A, B R 2 .
❑ Se llama vector fijo al segmento orientado AB cuyos extremos se dan en un cierto orden,
al primer extremo se le llama origen del vector, (A), y al segundo extremo se le llama
extremo del vector, (B), y se le denota por 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
• En un vector, además del punto origen y de los puntos extremos tenemos que considerar los
siguientes elementos:
a) Módulo del vector, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, |𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |., es la longitud del
segmento determinado por los puntos A y B.
b) Dirección del vector 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es la recta
determinada por A y B y las rectas paralelas a
ésta.
c) Sentido del vector 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ., es el recorrido desde
el punto de origen al punto extremo.
➢ Un vector fijo está caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido.
❑ Dos vectores tienen la misma
dirección si se encuentran en la misma
recta o en rectas paralelas.
❑ Llamamos coordenadas de un vector fijo, 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de origen A (a1, a2) y extremo B (b1, b2), a los
números que se obtienen al restar a las coordenadas del extremo las del origen
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 )
𝑨𝑩
Ejemplo
T
❑ El módulo del vector fijo 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝒆𝒔 |𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 )𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 )𝟐
Demostración
Aplico el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ATB para calcular la longitud del segmento
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |:
|𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2
= (𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2 ⇒ |𝐴𝐵
- 1 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
,❑ Se llama vector nulo,𝟎
⃗ , a aquel que tiene el mismo origen y extremo.
❑ Se llama vector opuesto de 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Si las componentes del vector 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑥, −𝑦) ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵𝐴
❑ Se llaman vectores equipolentes a aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
La equipolencia de vectores se aprecia gráficamente si al unir sus orígenes y sus extremos
obtenemos un paralelogramo.
Ejemplo
❑ Dado un vector fijo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, llamamos vector libre al conjunto formado por todos los vectores
equipolentes a 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ y se denota por {𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ } 𝑜 𝑣.
➢ Un vector libre puede representarse por uno de los vectores fijos de la clase de equivalencia
que lo definen.
❑ Al conjunto de todos los vectores libres del plano lo representamos por 𝑽𝟐 .
❑ Dado un punto A, el vector de origen O (origen de coordenadas) y de extremo A, 𝑶𝑨
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es el
vector de posición del punto A.
❑ Al representante de un vector libre que tiene su origen en el origen de coordenadas lo
llamamos representante canónico de dicho vector o vector de posición del punto extremo.
• Dado un punto A del plano, y un vector libre 𝑣 , existe un único representante de 𝑣 con origen
en A.
- 2 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
, Proposición
• Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de
los vectores libres del plano.
Demostración
- Si 𝑣 = (𝑎, 𝑏) es el representante canónico de un vector libre, el extremo de dicho representante
canónico determina un punto del plano, A, que tendrá por coordenadas A(a, b).
- Dado un punto A, el vector de posición del punto A, 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ es el representante canónico de un
determinado vector libre.
❑ Las coordenadas de un vector libre 𝒗 ⃗ son las coordenadas de uno cualquiera de sus
representantes vectores fijos 𝑣 = (𝑎, 𝑏).
❑ El módulo de un vector libre 𝒗 ⃗ es el módulo de uno cualquiera de sus representantes
vectores fijos |𝑣 | = √𝑎 + 𝑏
2 2
2. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.
2.1. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
❑ Dado un número real k y un vector 𝑢
⃗ = (𝑎, 𝑏) definimos el producto de k por 𝑢
⃗ como otro
vector que viene dado por: 𝑘·𝑢 ⃗ = (𝑘 · 𝑎, 𝑘 · 𝑏)
Ejemplo
- 3 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
, PROPIEDADES
1) 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene la misma dirección que 𝑢
⃗.
2) Si k > 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene el mismo sentido que 𝑢
⃗ , y su módulo |𝑘 · 𝑢
⃗ | = 𝑘 · |𝑢
⃗|
3) Si k < 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ tiene el sentido opuesto que 𝑢
⃗ , y su módulo |𝑘 · 𝑢
⃗ | = |𝑘| · |𝑢
⃗|
4) Si k = 0, 𝑘 · 𝑢
⃗ = ⃗0
5) Si k = -1, 𝑘 · 𝑢 ⃗ , es el vector opuesto de 𝑢
⃗ = −𝑢 ⃗.
6) Si 𝑢
⃗ = ⃗0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ⃗ = ⃗0
𝑘·𝑢
2.2. SUMA DE VECTORES.
❑ Dados dos vectores 𝑢
⃗ = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑣 = (𝑐, 𝑑), definimos la suma de 𝑢
⃗ 𝑦 𝑣 de la forma:
⃗ + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
𝑢
➢ Geométricamente, para obtener el vector suma 𝑢⃗ + 𝑣 podemos obtenerlo de dos formas:
1) Tomamos los representantes de los vectores con el mismo origen y trazo paralelas desde
los extremos, construyendo un paralelogramo, la suma de los dos vectores será la
diagonal que se corresponde con el vector que tiene su origen en el origen de los dos
vectores.
2) Tomamos el representante de 𝑣 que tiene su origen en el extremo de 𝑢 ⃗ y el vector
suma 𝑢
⃗ + 𝑣 será el vector que tiene por origen el de 𝑢
⃗ y como extremo el de 𝑣.
- 4 –TEORÍA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
