TEMA-4 LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
1.1. DEFINICIONES.
➢ Cuando intentamos resolver la ecuación x2 + 1 = 0 o queremos calcular − 1 no hallamos
ninguna raíz real; para calcular sus raíces, tenemos que ampliar el conjunto de los números
reales y buscar un conjunto de números, en el cual todas las ecuaciones tengan solución, a
este conjunto le llamaremos el Conjunto de los Números Complejos, C.
En el conjunto de los números complejos encontraremos un número cuyo cuadrado sea -1,
que denotaremos por i .
❑ A "i" se le llama la unidad imaginaria. 𝑖 2 = −1 𝑜 𝑖 = √−1
❑ Todo número complejo, z, se puede expresar de la forma
z = a + b ·i con a, b R FORMA BINÓMICA
z = (a, b) FORMA CARTESIANA O EN FORMA DE PAR
❑ A "a" se le llama parte real del número complejo z. Re(z) = a
❑ A "b" se le llama parte imaginaria del número complejo z. Im(z) = b
❑ Se llama número imaginario a aquel número complejo cuya parte imaginaria sea distinta de
cero.
CASOS
➢ Si Re(z) = Im(z) = 0, entonces z es el número complejo 0.
➢ Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
➢ Si Re(z) = 0, entonces z es un número imaginario puro.
- 1 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
,➢ Los números reales están contenidos en el conjunto de los números complejos R C. Por lo
tanto, todos los números reales son complejos.
𝐶 = {𝑎 + 𝑏 · 𝑖 /𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅}
➢ Los números complejos o son reales o son imaginarios.
❑ Sean z = a + b · i y z' = a' + b' · i dos números complejos.
Se dice que z y z' son iguales si tienen iguales su parte real e imaginaria.
z = z' a = a' y b = b'
Ejemplo Calcula el valor de x e y para que z = 5x + 2𝑖 y z ’= 10 - c 𝑖 sean iguales
❑ Sea z = a + b · i un número complejo.
El opuesto de z, -z, es el número complejo que tiene opuestas sus partes reales e
imaginarias
op(z) = - z= - a - b i
❑ Sea z = a + b · i un número complejo.
El conjugado de z, 𝒛, es el número complejo que tiene la misma parte real que z y la parte
imaginaria, opuesta a la de z.
𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
➢ Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real
tiene dos soluciones imaginarias que son dos números complejos conjugados.
- 2 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
, 1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO.
❑ Para representar números complejos necesitamos un plano (dos dimensiones) que
llamaremos plano complejo. En el eje de abscisas se representa el eje real y en el eje de
ordenadas el eje imaginario.
❑ A cada número complejo z = a + b · i le hacemos corresponder el punto P (a, b) que se
llama afijo del número complejo.
❑ Dado el número complejo z = a + b · i, si unimos el afijo del número complejo, P (a, b), con el
→
origen de coordenadas O, obtenemos el vector 𝑂𝑃 que se llama vector asociado al número
complejo z.
A cada número complejo le corresponde un punto del plano complejo, y recíprocamente,
dado un punto del plano complejo existe un único número complejo del cual dicho punto es
afijo.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL OPUESTO Y CONJUGADO DE UN COMPLEJO.
➢ Los afijos de dos complejos opuestos son simétricos respecto del origen de
coordenadas.
➢ Los afijos de dos complejos conjugados son simétricos respecto del eje real.
- 3 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
1.1. DEFINICIONES.
➢ Cuando intentamos resolver la ecuación x2 + 1 = 0 o queremos calcular − 1 no hallamos
ninguna raíz real; para calcular sus raíces, tenemos que ampliar el conjunto de los números
reales y buscar un conjunto de números, en el cual todas las ecuaciones tengan solución, a
este conjunto le llamaremos el Conjunto de los Números Complejos, C.
En el conjunto de los números complejos encontraremos un número cuyo cuadrado sea -1,
que denotaremos por i .
❑ A "i" se le llama la unidad imaginaria. 𝑖 2 = −1 𝑜 𝑖 = √−1
❑ Todo número complejo, z, se puede expresar de la forma
z = a + b ·i con a, b R FORMA BINÓMICA
z = (a, b) FORMA CARTESIANA O EN FORMA DE PAR
❑ A "a" se le llama parte real del número complejo z. Re(z) = a
❑ A "b" se le llama parte imaginaria del número complejo z. Im(z) = b
❑ Se llama número imaginario a aquel número complejo cuya parte imaginaria sea distinta de
cero.
CASOS
➢ Si Re(z) = Im(z) = 0, entonces z es el número complejo 0.
➢ Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
➢ Si Re(z) = 0, entonces z es un número imaginario puro.
- 1 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
,➢ Los números reales están contenidos en el conjunto de los números complejos R C. Por lo
tanto, todos los números reales son complejos.
𝐶 = {𝑎 + 𝑏 · 𝑖 /𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅}
➢ Los números complejos o son reales o son imaginarios.
❑ Sean z = a + b · i y z' = a' + b' · i dos números complejos.
Se dice que z y z' son iguales si tienen iguales su parte real e imaginaria.
z = z' a = a' y b = b'
Ejemplo Calcula el valor de x e y para que z = 5x + 2𝑖 y z ’= 10 - c 𝑖 sean iguales
❑ Sea z = a + b · i un número complejo.
El opuesto de z, -z, es el número complejo que tiene opuestas sus partes reales e
imaginarias
op(z) = - z= - a - b i
❑ Sea z = a + b · i un número complejo.
El conjugado de z, 𝒛, es el número complejo que tiene la misma parte real que z y la parte
imaginaria, opuesta a la de z.
𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
➢ Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real
tiene dos soluciones imaginarias que son dos números complejos conjugados.
- 2 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
, 1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO.
❑ Para representar números complejos necesitamos un plano (dos dimensiones) que
llamaremos plano complejo. En el eje de abscisas se representa el eje real y en el eje de
ordenadas el eje imaginario.
❑ A cada número complejo z = a + b · i le hacemos corresponder el punto P (a, b) que se
llama afijo del número complejo.
❑ Dado el número complejo z = a + b · i, si unimos el afijo del número complejo, P (a, b), con el
→
origen de coordenadas O, obtenemos el vector 𝑂𝑃 que se llama vector asociado al número
complejo z.
A cada número complejo le corresponde un punto del plano complejo, y recíprocamente,
dado un punto del plano complejo existe un único número complejo del cual dicho punto es
afijo.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL OPUESTO Y CONJUGADO DE UN COMPLEJO.
➢ Los afijos de dos complejos opuestos son simétricos respecto del origen de
coordenadas.
➢ Los afijos de dos complejos conjugados son simétricos respecto del eje real.
- 3 -TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS
