Apuntes TEMA-2 MATEMÁTICAS 1° BACH

TEMA-2 ÁLGEBRA
0. NÚMEROS COMBINATORIOS.
0.1 FACTORIAL DE UN NÚMERO.

❑ Dado un número natural n, el factorial de n, 𝒏!, es el producto de n por todos los números
naturales menores que él.
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 − 1) · (𝑛 − 2) · … · 3 · 2 · 1
➢ Las permutaciones de n elementos representa el número de formas en que se pueden colocar
n objetos.

PROPIEDADES
1) 0! = 1
2) 1! = 1
3) 𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)!

Ejemplo 3!

0.2 NÚMEROS COMBINATORIOS.

❑ Dados dos números naturales n y r, con 𝑟 ≤ 𝑛 , se llama número combinatorio “n sobre r”, y
𝑛
se escribe ( ), a
𝑟
𝑛 𝑛!
( )=
𝑟 𝑟! · (𝑛 − 𝑟)!
7
Ejemplo ( )
5

➢ Las combinaciones de n elementos tomados de r en r representa el número de formas de
elegir r elementos sin repetir de un conjunto de n elementos.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS.
𝑛 𝑛 𝑛
1) ( ) = 1 4) ( ) = ( )
0 𝑟 𝑛−𝑟
5 5! 5! 5! 5 5
Ejemplo ( ) = (5−0)!·0! = = =1 Ejemplo ( ) = ( )
0 5!⋅1 5! 2 3

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1
2) ( ) = 1 5) ( ) + ( )=( )
𝑛 𝑟 𝑟+1 𝑟+1
5 5! 5! 5! 6 6 7
Ejemplo ( ) = (5−5)!·5! = = =1 Ejemplo ( ) + ( ) = ( )
5 1·5! 5!
3 4 4
𝑛
3) ( ) = 𝑛
1
5 5! 5! 5·4!
Ejemplo ( ) = (5−1)!·1! = = =5
1 4!⋅1! 4!·1




- 1 –ÁLGEBRA

,0.3. TRÍÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA.

1) Todas las filas comienzan y terminan en 1

2) Todas las filas son simétricas.

3) Cada número se obtiene sumando los dos que tienen encima, excepto los extremos, que
son 1.


1. BINOMIO DE NEWTON.
❑ La potencia de un polinomio 𝑷(𝒙)𝒏 , es una forma abreviada de escribir el producto del
polinomio 𝑃(𝑥) n veces.
𝑃(𝑥)𝑛 = 𝑃(𝑥) · …(𝑛 · 𝑃(𝑥)

➢ La fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando
números combinatorios.

❑ La fórmula de Newton
𝑛
𝑛 𝑛
(𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑟 · 𝑏𝑟 =
𝑟
𝑟=0
𝑛 𝑛 𝑛 2 𝑛 𝑛−1 𝑛
= ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 · 𝑏 + ( ) 𝑎𝑛−2 · 𝑏 + ⋯ + ( ) 𝑎·𝑏 + ( ) 𝑏𝑛
0 1 2 𝑛−1 𝑛


Ejemplo (𝑥 + 3)4




Ejemplo (2𝑥 − 𝑥 2 )5




- 2 –ÁLGEBRA

, PRODUCTOS NOTABLES.

➢ El cuadrado de una suma de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de cada término
más el doble producto de los dos términos.
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏

➢ El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de cada
término menos el doble producto de los dos términos.
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏

➢ La diferencia de los cuadrados de dos términos es igual al producto de su suma por su diferencia.
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏)

➢ El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término por el doble
producto de los términos dos a dos.
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 + 2 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐




➢ El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el cubo del
segundo término más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del
primero por el cuadrado del segundo.
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 3 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏 + 3 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 2




➢ El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el cubo del
segundo término menos el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del
primero por el cuadrado del segundo.
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑏 3 − 3 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏 + 3 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 2




➢ La suma de cubos de dos términos es igual a la suma de los dos términos por la suma de sus
cuadrados menos su producto.
(
a 3 + b 3 = (a + b )  a 2 − a  b + b 2 )



➢ La diferencia de cubos de dos términos es igual a la diferencia de los dos términos por la suma
de sus cuadrados más su producto.
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎2 + 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏 2 )




- 3 –ÁLGEBRA