Mechanische Schwingungen:
● Beispiele für Schwingungen: in Musikinstrumenten schwingen Luftsäulen; beim
Wechselstrom schwingen Spannung und Stromstärke; Schaukel, Pendeluhr
● schwingungsfähige Systeme = Oszillatoren
● Schwingung: periodische Bewegung hin und her durch die Ruhelage
● Voraussetzungen einer Schwingung: 1.schwingungsfähiges System
(Hemmungspendel ist z.B. kein) 2. Auslenkung aus der Ruhelage 3. rücktreibende
Kraft.
● Periodendauer (Periode): Dauer für eine vollständige Hin- und Herbewegung. Ist die
Zeit zwischen 2 aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszuständen. Werden n
vollständige Schwingungen in der Zeit t ausgeführt, so gilt für T = Δt/n = 1/f
● Die Schwingungszahl (Anzahl der Perioden) pro Sekunde ist die Frequenz: f= n/Δt =
1/T
● Elongation y(t): momentane Auslenkung, Abstand von der Ruhelage.
● max. Auslenkung / Schwingungsweite aus der Ruhelage: Amplitude ŷ (größtes y(t))
● Die rücktreibende Kraft (z.B. Federspannkraft) ist stets zur Ruhelage hingerichtet und
ist im Umkehrpunkt am größten.
● Zwei Schwingungsformen:
konstanter Amplitude = ungedämpft.
abnehmende Amplitude = gedämpft.
harmonische Schwingung:
● Eine Schwingung, die durch eine Sinus-oder Cosinus-Kurve beschrieben werden
kann
● Eine projiziere gleichförmige Kreisbewegung und die Schwingung können in
derselben Weise mathematisch beschrieben werden
● Die Projektion der Kreisbewegung und die Projektion einer Schwingungsbewegung
(meistens Federpendel) verlaufen (zueinander) synchron.
● Daher gilt ŷ =r
● Phasenwinkel (bzw. Phase) φ = der Winkel, den der Radius zu einem bestimmten
Zeitpunkt mit der x-Achse einschließt. φ kennzeichnet also den augenblicklichen
Schwingungszustand.
● φ = w (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung bzw. Kreisfrequenz der
Schwingung) * t ; w [Einheit 1/s ] = 2𝜋/T = 2𝜋f
● Zeit-Elongation-Funktion der Schwingung:
y =ŷ * sin(φ) = ŷ * sin(w*t)= ŷ * sin(2𝜋/T*t)= sin(2𝜋f*t) (Bei 90° bzw. 270° y =ŷ bzw. y =- ŷ )
● Zeit-Geschwindigkeit-Funktion (1.Ableitung nach Kettenregel):
v = w* ŷ * cos(w*t)
● Zeit-Beschleunigung-Funktion (2. Ableitung) : a = - w^2 * ŷ * cos(w*t)
, ● wenn du mit π rechnest, dann wechsele zu RAD (z.B. mit *π auch außer Klammer)
𝑙
● wenn du ohne π rechnest, dann wechsele zu DEG (z.B. T = 2π 𝑔
)
Der Fadenpendel:
● Fadenpendel: Für kleine Winkel 𝛂( <10°) und punktförmige Pendelmasse ist die
rücktreibende Kraft der Elongation y proportional, sodass die Schwingung
harmonisch ist (die Projektion ist dann horizontal).
𝑙
● Für das Fadenpendel gilt: T = 2π 𝑔
𝐹𝑟
● Für den Auslenkwinkel gilt: 𝑡𝑎𝑛(β) = 𝐹𝑔
● Die Schwingungsdauer T ist unabhängig von der Masse und von der Amplitude. Aber
je länger der Faden, desto länger die Periodendauer. Je kleiner die Länge, desto
kürzere (schnellere) Frequenz : T ∼ 𝑙
● Der Fadenpendel eignet sich gut zur Bestimmung der Erdbeschleunigung: die
Erdbeschleunigung ist abhängig von der geografischen Breite. Sie nimmt vom
Äquator zu den Polen hin kontinuierlich zu. Hier ein typischer Ansatz:
● “Berechne v (in der Ruhelage) mit dem EES”:
𝐹𝑅 𝑎 (𝑣𝑜𝑟ℎ𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑛𝑒𝑛) 𝑎 ℎ
1.tan(α) = 𝐹𝑔
= 𝑔
2. arctan( 𝑔 ) = α 3.tan(α) = ŷ
; tan(α)*ŷ =h
4.Epot = Ekin 5. 𝑔 * ℎ * 2 = 𝑣
● Beispiele für Schwingungen: in Musikinstrumenten schwingen Luftsäulen; beim
Wechselstrom schwingen Spannung und Stromstärke; Schaukel, Pendeluhr
● schwingungsfähige Systeme = Oszillatoren
● Schwingung: periodische Bewegung hin und her durch die Ruhelage
● Voraussetzungen einer Schwingung: 1.schwingungsfähiges System
(Hemmungspendel ist z.B. kein) 2. Auslenkung aus der Ruhelage 3. rücktreibende
Kraft.
● Periodendauer (Periode): Dauer für eine vollständige Hin- und Herbewegung. Ist die
Zeit zwischen 2 aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszuständen. Werden n
vollständige Schwingungen in der Zeit t ausgeführt, so gilt für T = Δt/n = 1/f
● Die Schwingungszahl (Anzahl der Perioden) pro Sekunde ist die Frequenz: f= n/Δt =
1/T
● Elongation y(t): momentane Auslenkung, Abstand von der Ruhelage.
● max. Auslenkung / Schwingungsweite aus der Ruhelage: Amplitude ŷ (größtes y(t))
● Die rücktreibende Kraft (z.B. Federspannkraft) ist stets zur Ruhelage hingerichtet und
ist im Umkehrpunkt am größten.
● Zwei Schwingungsformen:
konstanter Amplitude = ungedämpft.
abnehmende Amplitude = gedämpft.
harmonische Schwingung:
● Eine Schwingung, die durch eine Sinus-oder Cosinus-Kurve beschrieben werden
kann
● Eine projiziere gleichförmige Kreisbewegung und die Schwingung können in
derselben Weise mathematisch beschrieben werden
● Die Projektion der Kreisbewegung und die Projektion einer Schwingungsbewegung
(meistens Federpendel) verlaufen (zueinander) synchron.
● Daher gilt ŷ =r
● Phasenwinkel (bzw. Phase) φ = der Winkel, den der Radius zu einem bestimmten
Zeitpunkt mit der x-Achse einschließt. φ kennzeichnet also den augenblicklichen
Schwingungszustand.
● φ = w (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung bzw. Kreisfrequenz der
Schwingung) * t ; w [Einheit 1/s ] = 2𝜋/T = 2𝜋f
● Zeit-Elongation-Funktion der Schwingung:
y =ŷ * sin(φ) = ŷ * sin(w*t)= ŷ * sin(2𝜋/T*t)= sin(2𝜋f*t) (Bei 90° bzw. 270° y =ŷ bzw. y =- ŷ )
● Zeit-Geschwindigkeit-Funktion (1.Ableitung nach Kettenregel):
v = w* ŷ * cos(w*t)
● Zeit-Beschleunigung-Funktion (2. Ableitung) : a = - w^2 * ŷ * cos(w*t)
, ● wenn du mit π rechnest, dann wechsele zu RAD (z.B. mit *π auch außer Klammer)
𝑙
● wenn du ohne π rechnest, dann wechsele zu DEG (z.B. T = 2π 𝑔
)
Der Fadenpendel:
● Fadenpendel: Für kleine Winkel 𝛂( <10°) und punktförmige Pendelmasse ist die
rücktreibende Kraft der Elongation y proportional, sodass die Schwingung
harmonisch ist (die Projektion ist dann horizontal).
𝑙
● Für das Fadenpendel gilt: T = 2π 𝑔
𝐹𝑟
● Für den Auslenkwinkel gilt: 𝑡𝑎𝑛(β) = 𝐹𝑔
● Die Schwingungsdauer T ist unabhängig von der Masse und von der Amplitude. Aber
je länger der Faden, desto länger die Periodendauer. Je kleiner die Länge, desto
kürzere (schnellere) Frequenz : T ∼ 𝑙
● Der Fadenpendel eignet sich gut zur Bestimmung der Erdbeschleunigung: die
Erdbeschleunigung ist abhängig von der geografischen Breite. Sie nimmt vom
Äquator zu den Polen hin kontinuierlich zu. Hier ein typischer Ansatz:
● “Berechne v (in der Ruhelage) mit dem EES”:
𝐹𝑅 𝑎 (𝑣𝑜𝑟ℎ𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑛𝑒𝑛) 𝑎 ℎ
1.tan(α) = 𝐹𝑔
= 𝑔
2. arctan( 𝑔 ) = α 3.tan(α) = ŷ
; tan(α)*ŷ =h
4.Epot = Ekin 5. 𝑔 * ℎ * 2 = 𝑣
