ESTADÍSTICA
Universitat de Barcelona. Facultat de Biologia.
Grau en Ciències Biomèdiques
Alejandro J. Ferrando Torres
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
Índex
0. INTRODUCCIÓ A L'ESTADÍSTICA...................................................................................................4
1.- Què és i per què necessitem l'estadística?.............................................................................................4
2.- El mètode estadístic.................................................................................................................................. 5
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA............................................................................................................6
1.- Població, mostra i variables..................................................................................................................... 6
2.- Visualització de dades.............................................................................................................................. 6
3.- Resums numèrics...................................................................................................................................... 8
3. ESTADÍSTICA ANALÍTICA I PROBABILITAT............................................................................. 12
1.- Teoria de la Probabilitat.........................................................................................................................12
2.- Aplicacions de la probabilitat a la biomedicina................................................................................. 15
3.- Models probabilístics discrets...............................................................................................................16
4.- Principals famílies de models probabilístics discrets........................................................................20
5.- Propietats reproductives........................................................................................................................ 24
6.- Models probabilístics continus............................................................................................................. 25
7.- Principals famílies de models probabilístics continus...................................................................... 30
8.- Teorema del Límit Central.....................................................................................................................34
4. INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ESTADÍSTICA.................................................................... 37
1.- Introducció a la inferència.....................................................................................................................37
2.- Estimació de paràmetres........................................................................................................................39
3.- Interpretació dels intervals.................................................................................................................... 42
4.- Elements d'un interval de confiança.................................................................................................... 43
5.- IC per a la mitjana d'una distribució Normal amb variància desconeguda....................................44
6.- IC per a la diferència de mitjanes de dues distribucions Normals independents......................... 46
7.- IC per al quocient de variàncies de dues distribucions Normals independents............................ 47
8.- IC per a la diferència de mitjanes de dues distribucions Normals aparellades............................. 48
9.- Interval per a una proporció: aproximació asimptòtica.....................................................................50
10.- Càlcul de la mida mostral.....................................................................................................................51
5. CONTRAST D'HIPÒTESIS................................................................................................................ 52
1.- Introducció al contrast dhipòtesis........................................................................................................52
2.- Tipus d'hipòtesis..................................................................................................................................... 53
3.- Estadístics de contrast............................................................................................................................53
4.- Tipus d'errors...........................................................................................................................................54
5.- Regió crítica............................................................................................................................................. 55
6.- Valor P...................................................................................................................................................... 57
7.- Relació amb els intervals de confiança.................................................................................................58
2
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
6. CONTRAST D'HIPÒTESIS PER A DADES CONTÍNUES.............................................................59
1.- Esquema de contrastos...........................................................................................................................59
2.- Per a una distribució Normal amb variància coneguda (test Z)........................................................59
3.- Per a una distribució Normal amb variància desconeguda (test T)..................................................60
4.- Comparació de grups..............................................................................................................................61
5.- Contrast per a igualtat de variàncies poblacionals (test F)................................................................61
6.- Contrast per a igualtat de mitjanes amb variàncies iguals (test T per a dues poblacions
independents)................................................................................................................................................ 62
7.- Contrast per a igualtat de mitjanes amb variàncies diferents (test de Welch)............................... 62
8.- Esquema de mostres aparellades.......................................................................................................... 63
9.- Altres observacions.................................................................................................................................64
10.- Proves no paramètriques robustes......................................................................................................64
7. CONTRAST D'HIPÒTESIS PER A DADES CATEGÒRIQUES..................................................... 66
1.- Contrast asimptòtic per a una proporció (test Z)................................................................................66
2.- Contrast asimptòtic per a dues proporcions (test Z).......................................................................... 67
3.- Altres versions......................................................................................................................................... 68
4.- Prova Chi-quadrat de la bondat de l'ajust........................................................................................... 68
5.- Taules de contingència........................................................................................................................... 70
7.- Violació de les condicions del contrast................................................................................................73
8.- Odds-ràtio i risc relatiu.......................................................................................................................... 74
8. CORRELACIÓ I REGRESSIÓ............................................................................................................ 77
1.- Introducció...............................................................................................................................................77
2.- Tipus de regressió................................................................................................................................... 77
3.- Ajustament d'una regressió lineal........................................................................................................ 77
4.- Prediccions...............................................................................................................................................78
5.- Interpretació del pendent de la recta................................................................................................... 79
6.- Bondat de l'ajust lineal........................................................................................................................... 79
7.- Inferència sobre regressió......................................................................................................................81
8.- Associació i causalitat............................................................................................................................ 82
9.- Linealització.............................................................................................................................................82
3
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
0. INTRODUCCIÓ A L'ESTADÍSTICA
1.- Què és i per què necessitem l'estadística?
La estadística es defineix com: «Disciplina que estudia la variabilitat, així com el procés aleatori que
la genera seguint les lleis de la probabilitat». Ens és útil quan cal fer un estudi sobre una població
determinada. Població: «Tot el conjunt d'individus i totes les possibles observacions d'interès en un
estudi determinat». És complicat estudiar una població en conjunt, per la qual cosa se solen
seleccionar candidats per a l'estudi que siguin representatius de la població objectiu, cosa que es
coneix com mostra.
Per exemple; es vol estudiar la mitjana de la pressió arterial diastòlica de Catalunya. Aquest paràmetre
es defineix com un paràmetre poblacional, que és una característica inherent de la pròpia població,
una cosa conjunta i comuna que no és realista. Per a un estudi en profunditat, se seleccionen diverses
mostres, on analitzarem els paràmetres mostrals o estadístics. Per a la selecció de les mostres
esmentades, intervé l'atzar, per la qual cosa caldrà intentar ajustar els resultats al màxim, i és aquí on
entra l'estadística.
La incertesa és l'estat de manca de seguretat sobre el coneixement, caracteritzat pel dubte.
L'estadística ens proporciona eines per ajudar-nos a prendre decisions en situacions d'incertesa o
d'aleatorietat. Ofereix tècniques per a:
❖ Descriure i presentar resultats experimentals (estadística descriptiva).
❖ Analitzar, interpretar i ajudar en la presa de decisions i obtenció de conclusions quan les
dades de l'experiment estan influenciades per incerteses aleatòries (inferència estadística).
❖ Les tècniques d'inferència estadística tenen el seu fonament matemàtic a la Teoria de la
Probabilitat.
A les ciències biomèdiques, constantment es plantegen preguntes que s'han de respondre sobre la
base de dades experimentals (p. ex. Quin nivell de protecció ens proporciona una vacuna? Una
malaltia té més mortalitat entre homes o dones?).
Per verificar una hipòtesi, seleccionem la mostra i recollim les dades. Cal considerar que les
repeticions de l'experiment donen lloc a diferents valors mostrals (incertesa per l'elecció de la
mostra). A més a més, la mesura de la mostra té influència en el resultat observat. Per això, per a un
estudi correcte, cal conèixer les probabilitats de cometre errors.
Idealment, l'estadística ens ha de proporcionar les regles basades en les dades per prendre la decisió
correcta abans d'un experiment. També ha d'emetre una mesura de la probabilitat d'error quan
prenem una decisió concreta (les dades no poden ser ambigües).
4
Universitat de Barcelona. Facultat de Biologia.
Grau en Ciències Biomèdiques
Alejandro J. Ferrando Torres
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
Índex
0. INTRODUCCIÓ A L'ESTADÍSTICA...................................................................................................4
1.- Què és i per què necessitem l'estadística?.............................................................................................4
2.- El mètode estadístic.................................................................................................................................. 5
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA............................................................................................................6
1.- Població, mostra i variables..................................................................................................................... 6
2.- Visualització de dades.............................................................................................................................. 6
3.- Resums numèrics...................................................................................................................................... 8
3. ESTADÍSTICA ANALÍTICA I PROBABILITAT............................................................................. 12
1.- Teoria de la Probabilitat.........................................................................................................................12
2.- Aplicacions de la probabilitat a la biomedicina................................................................................. 15
3.- Models probabilístics discrets...............................................................................................................16
4.- Principals famílies de models probabilístics discrets........................................................................20
5.- Propietats reproductives........................................................................................................................ 24
6.- Models probabilístics continus............................................................................................................. 25
7.- Principals famílies de models probabilístics continus...................................................................... 30
8.- Teorema del Límit Central.....................................................................................................................34
4. INTRODUCCIÓ A LA INFERÈNCIA ESTADÍSTICA.................................................................... 37
1.- Introducció a la inferència.....................................................................................................................37
2.- Estimació de paràmetres........................................................................................................................39
3.- Interpretació dels intervals.................................................................................................................... 42
4.- Elements d'un interval de confiança.................................................................................................... 43
5.- IC per a la mitjana d'una distribució Normal amb variància desconeguda....................................44
6.- IC per a la diferència de mitjanes de dues distribucions Normals independents......................... 46
7.- IC per al quocient de variàncies de dues distribucions Normals independents............................ 47
8.- IC per a la diferència de mitjanes de dues distribucions Normals aparellades............................. 48
9.- Interval per a una proporció: aproximació asimptòtica.....................................................................50
10.- Càlcul de la mida mostral.....................................................................................................................51
5. CONTRAST D'HIPÒTESIS................................................................................................................ 52
1.- Introducció al contrast dhipòtesis........................................................................................................52
2.- Tipus d'hipòtesis..................................................................................................................................... 53
3.- Estadístics de contrast............................................................................................................................53
4.- Tipus d'errors...........................................................................................................................................54
5.- Regió crítica............................................................................................................................................. 55
6.- Valor P...................................................................................................................................................... 57
7.- Relació amb els intervals de confiança.................................................................................................58
2
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
6. CONTRAST D'HIPÒTESIS PER A DADES CONTÍNUES.............................................................59
1.- Esquema de contrastos...........................................................................................................................59
2.- Per a una distribució Normal amb variància coneguda (test Z)........................................................59
3.- Per a una distribució Normal amb variància desconeguda (test T)..................................................60
4.- Comparació de grups..............................................................................................................................61
5.- Contrast per a igualtat de variàncies poblacionals (test F)................................................................61
6.- Contrast per a igualtat de mitjanes amb variàncies iguals (test T per a dues poblacions
independents)................................................................................................................................................ 62
7.- Contrast per a igualtat de mitjanes amb variàncies diferents (test de Welch)............................... 62
8.- Esquema de mostres aparellades.......................................................................................................... 63
9.- Altres observacions.................................................................................................................................64
10.- Proves no paramètriques robustes......................................................................................................64
7. CONTRAST D'HIPÒTESIS PER A DADES CATEGÒRIQUES..................................................... 66
1.- Contrast asimptòtic per a una proporció (test Z)................................................................................66
2.- Contrast asimptòtic per a dues proporcions (test Z).......................................................................... 67
3.- Altres versions......................................................................................................................................... 68
4.- Prova Chi-quadrat de la bondat de l'ajust........................................................................................... 68
5.- Taules de contingència........................................................................................................................... 70
7.- Violació de les condicions del contrast................................................................................................73
8.- Odds-ràtio i risc relatiu.......................................................................................................................... 74
8. CORRELACIÓ I REGRESSIÓ............................................................................................................ 77
1.- Introducció...............................................................................................................................................77
2.- Tipus de regressió................................................................................................................................... 77
3.- Ajustament d'una regressió lineal........................................................................................................ 77
4.- Prediccions...............................................................................................................................................78
5.- Interpretació del pendent de la recta................................................................................................... 79
6.- Bondat de l'ajust lineal........................................................................................................................... 79
7.- Inferència sobre regressió......................................................................................................................81
8.- Associació i causalitat............................................................................................................................ 82
9.- Linealització.............................................................................................................................................82
3
, Universitat de Barcelona | Estadística. Grau en Ciències Biomèdiques | Alejandro J. Ferrando Torres
0. INTRODUCCIÓ A L'ESTADÍSTICA
1.- Què és i per què necessitem l'estadística?
La estadística es defineix com: «Disciplina que estudia la variabilitat, així com el procés aleatori que
la genera seguint les lleis de la probabilitat». Ens és útil quan cal fer un estudi sobre una població
determinada. Població: «Tot el conjunt d'individus i totes les possibles observacions d'interès en un
estudi determinat». És complicat estudiar una població en conjunt, per la qual cosa se solen
seleccionar candidats per a l'estudi que siguin representatius de la població objectiu, cosa que es
coneix com mostra.
Per exemple; es vol estudiar la mitjana de la pressió arterial diastòlica de Catalunya. Aquest paràmetre
es defineix com un paràmetre poblacional, que és una característica inherent de la pròpia població,
una cosa conjunta i comuna que no és realista. Per a un estudi en profunditat, se seleccionen diverses
mostres, on analitzarem els paràmetres mostrals o estadístics. Per a la selecció de les mostres
esmentades, intervé l'atzar, per la qual cosa caldrà intentar ajustar els resultats al màxim, i és aquí on
entra l'estadística.
La incertesa és l'estat de manca de seguretat sobre el coneixement, caracteritzat pel dubte.
L'estadística ens proporciona eines per ajudar-nos a prendre decisions en situacions d'incertesa o
d'aleatorietat. Ofereix tècniques per a:
❖ Descriure i presentar resultats experimentals (estadística descriptiva).
❖ Analitzar, interpretar i ajudar en la presa de decisions i obtenció de conclusions quan les
dades de l'experiment estan influenciades per incerteses aleatòries (inferència estadística).
❖ Les tècniques d'inferència estadística tenen el seu fonament matemàtic a la Teoria de la
Probabilitat.
A les ciències biomèdiques, constantment es plantegen preguntes que s'han de respondre sobre la
base de dades experimentals (p. ex. Quin nivell de protecció ens proporciona una vacuna? Una
malaltia té més mortalitat entre homes o dones?).
Per verificar una hipòtesi, seleccionem la mostra i recollim les dades. Cal considerar que les
repeticions de l'experiment donen lloc a diferents valors mostrals (incertesa per l'elecció de la
mostra). A més a més, la mesura de la mostra té influència en el resultat observat. Per això, per a un
estudi correcte, cal conèixer les probabilitats de cometre errors.
Idealment, l'estadística ens ha de proporcionar les regles basades en les dades per prendre la decisió
correcta abans d'un experiment. També ha d'emetre una mesura de la probabilitat d'error quan
prenem una decisió concreta (les dades no poden ser ambigües).
4
