TIBOS :
FUNCIONES
TEMA 1
concava
(convexa)
y = X
y
= - X
y = x y = x
y = x y = (x)
Y
- ...
Ys Ys Y
1
Ys
< <
< < <
X X
X X X
y = X y -
=
X
y =
3
X
y =
= x y =
4 y = -
1 y =
* y = -
y
Y
1 Ys Ys Y Ys Ys Ys Y
1
-d
- >
2x Six Ex -
jx
< <
zm
X
7
X X
ex
x
1nX
-
y =
e y =
InX
y =
y = -
Ys Ys Ys Ys
- <
X
-
<
X
x (
PROPIEDADES :
suma/resta < + c + a = + potencia >
(+ c)" = + asiko
c c
c)"
- -
0 = -
(+ = osiko
+ -
C = INDETERMINADO
(c k) 0
-
=
(a = INDETERMINADO
producto +(+ a)
]sik2 Sick
+ = +0 + 0
k = +
+ a)- ) = - c
k
- a
= 0
-
-(+ a) = - c
-
a) a) - = + c
O°= INDETERMINADO
IC .
0 = INDETERMINADO
1I = INDETERMINADO
cociente & O O
= 0 INDETERMINADO
=
K O
K = O
I
= co = INDETERMINADO
O I o
K -
= O = o
I o K
CALCULOS :
vertices Indeterminaciones
mas alto b
Es el punto mas bajo
-
o V =
2a
Belijoelexponentede mayor o a a
S
(suelen calcularse para las parabolas o
# pongo los valores de a b c
&
,
Elijo mayor grado
,
el exponente de
3
sustituyo valores de a, b C &
By Xv > los ,
craices) Hago x2, x para elegir el mayor y simplific
en la ecuacion
(Xv Yv)
⑬ As
,
Yu valore a O Factorizo (ono para simplificar
sustituyoel
,
O
& Sustituyo otra vez
M Hago m c m . .
a-c
Puntos de corte & Factorizo (ono
D Multiplico la expression por su conjugado (igual, cambiar de signo
Ejex (x 0) : -a
E2 Sustituyo
,
craices otra vez
3
M igualo go A(0) B(ni0) (para 2 ptos)
,
↳ dan 102ptos (n0) (para 1 pto)
Eje y :
(0 4)
,
⑫ SCCOso
sustitUyo
, continuidad en un punto discontinuidad en un punto
(el no debe de coincidir) >
- Evitable Cuando existe limite
:
My calculo los limites laterales > Limf(x) = mf(x) sol el
Xa- Xat
(se puede "arregiar")
el numer .
y denom dan o o
Ey Tiene que existir la funcion en ese punto
>
- limite
Inevitable : Cuando no existe el
Ys Yr ·
1 especie : existen los limites lat ·
pero son distintos
& -
o
im f(x) = Lim f(x) (e) no
< <
no coincide)
X X Xa- Xat
SI NO
LI = -as
no
(salto infinito 7
LLD = + c
O
& Tienen que coincidir
=im
ambos valores <fla) (salto finito > num ).
continuidad
· 2 especie : no existen alguno de los lim lat o ninguno
> en un punto clas a trozos ya que nos dan los ptos) .
· Pueden pedir que calculemos
continuidad (a secas) habra que las otras funciones
estudiar todos sus dominios
* cuando una funcion es continua el limite EXISTE (8) .
Si el numerador no vale o ,
lo igualo a O
Asintotas
· se calculan si me dan alguna funcion racional, con raices , logaritmos o trigonom . Hallar asintotas :
identificar las asintotas
·
no se calculan si medan una funcion polinomica o a trozos Estudiar asintotas : nacer limites para saber comose acerca la grafica
el numerad . No se anula (si se anula el num . tambien, nabra
un agujero y ser una indeterminacion, tampoco ser continua
1
S
·
n si nay AV .
&
=
no los limites laterales para detectar asintotas se utilizan en funciones racionales Id
*
o no dan
> X a >
Si hay A
=
a
los limites laterales para calcular la continuidad ... se usan en funciones a trozos > dan un numero
O
AV .
> den. = O O ~
L'Hopital
O
> INDETERMINADO > factorizo con > Ec 20
si/no
>
Ruffini
Las funciones CONTINUAS,
O
NO tienen A V
.
(daigual a funcion) > lim = 0
no May AV casos especiales)
S
suelen decirme si es continua o no
si me dan una funcion a trozos .
la veces lo tengo que calcular
NO A O .
S1 A O
.
-
S
'Polinomios la A O
. ser , loigualo a O solo si me piden
# division
garae
el cociente donde corta el ejex
ruffini
A 0
>
> Hay Oblicua no nay A M
. > .
E sustituyo en y
= mx + b
V
V
funcion con el valor sustituido de
A H < X = I
Si A M
A0
. > y = 0
nay .
despues de igualar a o
Si me dan una funcion a trozos ,
estudio yb
puntos (x y) y pendiente y pidieran
ignal otro caso es que dieran
:
* , la m a
↳ (+ a) para funcion mas positiva divido numeros Si A M "a" que
May
la > los como la me piden siempre es UNA PENDIENTE (la "b"no es una ordenada
ignal
. ,
↳ (a) para la funcion mas negativa m = a (porque ambas son una pendiente
3x2
2x2) # sustituyo en la ecuacion y despejo b
· la ecuacion de la A O que . es mejor usar ,
es la que yo calculo con la division de
polinomios la general solo la uso cuando me dan el punto (x y) y , la pendiente (m)
como seria en este caso
Estudio completo de una funcion
·
Tipo de funcion Puntos
·
de corte
Dominio Derivadas
·
·
·
continuidad - extremos r y monotonia .
·
Periodicidad - puntos de inflexion y curvatura
Simetrias
Recorrido imagen
·
·
o conjunto
· Asintotas
·
DOMINIO : haver 0 el denominador < Domf(x) :
IR-Elo que have Oelden .
(para ejex)
simetrico (PAR) : cuando f(x) =
f(-x)
SIMETRIAS pongo (X) funcion y miro la funcion
·
solo en la los signos si sale igual
,
o no a con x
> asimetrico (IMPAR) : cuando f(x) + f( -
x)
/lo calculo cuando me dan una funcion que nocea a trozos y me piden estudiar las asintotas)
·
RECORRIDO
(para eje y)
FUNCIONES
TEMA 1
concava
(convexa)
y = X
y
= - X
y = x y = x
y = x y = (x)
Y
- ...
Ys Ys Y
1
Ys
< <
< < <
X X
X X X
y = X y -
=
X
y =
3
X
y =
= x y =
4 y = -
1 y =
* y = -
y
Y
1 Ys Ys Y Ys Ys Ys Y
1
-d
- >
2x Six Ex -
jx
< <
zm
X
7
X X
ex
x
1nX
-
y =
e y =
InX
y =
y = -
Ys Ys Ys Ys
- <
X
-
<
X
x (
PROPIEDADES :
suma/resta < + c + a = + potencia >
(+ c)" = + asiko
c c
c)"
- -
0 = -
(+ = osiko
+ -
C = INDETERMINADO
(c k) 0
-
=
(a = INDETERMINADO
producto +(+ a)
]sik2 Sick
+ = +0 + 0
k = +
+ a)- ) = - c
k
- a
= 0
-
-(+ a) = - c
-
a) a) - = + c
O°= INDETERMINADO
IC .
0 = INDETERMINADO
1I = INDETERMINADO
cociente & O O
= 0 INDETERMINADO
=
K O
K = O
I
= co = INDETERMINADO
O I o
K -
= O = o
I o K
CALCULOS :
vertices Indeterminaciones
mas alto b
Es el punto mas bajo
-
o V =
2a
Belijoelexponentede mayor o a a
S
(suelen calcularse para las parabolas o
# pongo los valores de a b c
&
,
Elijo mayor grado
,
el exponente de
3
sustituyo valores de a, b C &
By Xv > los ,
craices) Hago x2, x para elegir el mayor y simplific
en la ecuacion
(Xv Yv)
⑬ As
,
Yu valore a O Factorizo (ono para simplificar
sustituyoel
,
O
& Sustituyo otra vez
M Hago m c m . .
a-c
Puntos de corte & Factorizo (ono
D Multiplico la expression por su conjugado (igual, cambiar de signo
Ejex (x 0) : -a
E2 Sustituyo
,
craices otra vez
3
M igualo go A(0) B(ni0) (para 2 ptos)
,
↳ dan 102ptos (n0) (para 1 pto)
Eje y :
(0 4)
,
⑫ SCCOso
sustitUyo
, continuidad en un punto discontinuidad en un punto
(el no debe de coincidir) >
- Evitable Cuando existe limite
:
My calculo los limites laterales > Limf(x) = mf(x) sol el
Xa- Xat
(se puede "arregiar")
el numer .
y denom dan o o
Ey Tiene que existir la funcion en ese punto
>
- limite
Inevitable : Cuando no existe el
Ys Yr ·
1 especie : existen los limites lat ·
pero son distintos
& -
o
im f(x) = Lim f(x) (e) no
< <
no coincide)
X X Xa- Xat
SI NO
LI = -as
no
(salto infinito 7
LLD = + c
O
& Tienen que coincidir
=im
ambos valores <fla) (salto finito > num ).
continuidad
· 2 especie : no existen alguno de los lim lat o ninguno
> en un punto clas a trozos ya que nos dan los ptos) .
· Pueden pedir que calculemos
continuidad (a secas) habra que las otras funciones
estudiar todos sus dominios
* cuando una funcion es continua el limite EXISTE (8) .
Si el numerador no vale o ,
lo igualo a O
Asintotas
· se calculan si me dan alguna funcion racional, con raices , logaritmos o trigonom . Hallar asintotas :
identificar las asintotas
·
no se calculan si medan una funcion polinomica o a trozos Estudiar asintotas : nacer limites para saber comose acerca la grafica
el numerad . No se anula (si se anula el num . tambien, nabra
un agujero y ser una indeterminacion, tampoco ser continua
1
S
·
n si nay AV .
&
=
no los limites laterales para detectar asintotas se utilizan en funciones racionales Id
*
o no dan
> X a >
Si hay A
=
a
los limites laterales para calcular la continuidad ... se usan en funciones a trozos > dan un numero
O
AV .
> den. = O O ~
L'Hopital
O
> INDETERMINADO > factorizo con > Ec 20
si/no
>
Ruffini
Las funciones CONTINUAS,
O
NO tienen A V
.
(daigual a funcion) > lim = 0
no May AV casos especiales)
S
suelen decirme si es continua o no
si me dan una funcion a trozos .
la veces lo tengo que calcular
NO A O .
S1 A O
.
-
S
'Polinomios la A O
. ser , loigualo a O solo si me piden
# division
garae
el cociente donde corta el ejex
ruffini
A 0
>
> Hay Oblicua no nay A M
. > .
E sustituyo en y
= mx + b
V
V
funcion con el valor sustituido de
A H < X = I
Si A M
A0
. > y = 0
nay .
despues de igualar a o
Si me dan una funcion a trozos ,
estudio yb
puntos (x y) y pendiente y pidieran
ignal otro caso es que dieran
:
* , la m a
↳ (+ a) para funcion mas positiva divido numeros Si A M "a" que
May
la > los como la me piden siempre es UNA PENDIENTE (la "b"no es una ordenada
ignal
. ,
↳ (a) para la funcion mas negativa m = a (porque ambas son una pendiente
3x2
2x2) # sustituyo en la ecuacion y despejo b
· la ecuacion de la A O que . es mejor usar ,
es la que yo calculo con la division de
polinomios la general solo la uso cuando me dan el punto (x y) y , la pendiente (m)
como seria en este caso
Estudio completo de una funcion
·
Tipo de funcion Puntos
·
de corte
Dominio Derivadas
·
·
·
continuidad - extremos r y monotonia .
·
Periodicidad - puntos de inflexion y curvatura
Simetrias
Recorrido imagen
·
·
o conjunto
· Asintotas
·
DOMINIO : haver 0 el denominador < Domf(x) :
IR-Elo que have Oelden .
(para ejex)
simetrico (PAR) : cuando f(x) =
f(-x)
SIMETRIAS pongo (X) funcion y miro la funcion
·
solo en la los signos si sale igual
,
o no a con x
> asimetrico (IMPAR) : cuando f(x) + f( -
x)
/lo calculo cuando me dan una funcion que nocea a trozos y me piden estudiar las asintotas)
·
RECORRIDO
(para eje y)
