Exámenes de álgebra colección de varios años

SOLUCIÓN EXAMEN DE ALGEBRA
24-1-2000
CUESTIONES

1) Sea f : V  W , lineal. Demostrar que el núcleo y la imagen son subespacios vectoriales de V y
W, respectivamente.
i) ∀ x , y ∈ K erf, f x = f y = 0 ∈ W, ∀α, β ∈ , se cumple:
f αx + βy = αf x + βf y = 0  α x + β y ∈ K erf  K erf, es un s.v. de V.
ii) ∀ x , y ∈ Im f, ∃x ′ , y ′ ∈ V ╱f x ′ = x , e f y′ = y , ∀α, β ∈ , se cumple:
f αx ′ + βy ′ = αf x ′ + βf y ′ = α x + β y , luego: α x + β y ∈ Im f,  Im f es un s.v. de W.



1 n n2 n3
n n2 n3 1
2) Hallar el valor de n, sabiendo que: = 80 3 , n ∈ ℕ
2 3
n n 1 n
n3 1 n n2
1 n n2 n3 1 n n2 n3
0 0 1 − n4
n n2 n3 1 0 0 0 1 − n4
= 1 = 0 1 − n4 0 =
n2 n3 1 n 0 0 1 − n4 0
1 − n4 0 0
n3 1 n n2 0 1 − n4 0 0

= −1 − n 4  3 = 80 3  n 4 − 1 = 80,  n = 3
(1) A cada fila le restamos la anterior multiplicada por n.



3) Estudiar para qué valores de a ∈ ℝ es diagonalizable en ℝ la matriz:
2 −2 6
A= 0 a 4−a
0 a −a


2 − λ −2 6
a−λ 4−a
detA − λI = 0 a−λ 4−a = 2 − λ = 2 − λλ 2 − 4a = 0 
a −a − λ
0 a −a − λ
λ = 2, λ = ±2 a
2 −2 6
i) Si a = 0, λ = 0 (doble), rgA = rg 0 0 4 = 2,
0 0 0
como m(λ = 0 + rgA = 2 + 2 = 4 ≠ 3 = dimℝ 3  la matriz A no es diagonalizable.