Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a Aeronáutica y del Espacio
Apellido 1 Nombre
Apellido 2 DNI
Dinámica de sistemas Curso: 21/22 Fecha: 29-10-2021
Sea la referencia inercial O1 x1 y1 z1 (sólido [1]), en la que O1 z1 es vertical ascendente. El sólido [2] de
la figura está formado por: a) un disco DG de centro G, masa m y radio R; b) un disco DC de centro C,
sin masa y radio R; c) una varilla GC, sin masa y de longitud 2R. Los discos están unidos rı́gidamente a
los extremos de la varilla por sus centros y son perpendiculares a la misma. El sólido se dispone con los
dos discos en contacto con el plano O1 x1 y1 , de forma que el contacto de DG con dicho plano en I es con
rozamiento de coeficiente infinito (sin deslizamiento) mientras que el del disco DC con el plano en I ! es liso.
Se considera el sistema auxiliar siguiente Gx0 y0 z0
(en cuya base habrá que proyectar obligatoriamente z1
ç
0
los vectores que intervengan en el problema) tal que
z0
Gx0 coincide con el eje de la varilla y tiene el sentido
DC
de CG y Gz0 es vertical ascendente (véase la figura). O1 1 y1
Para definir la posición de [2] respecto a [1] se uti- C DG 2
lizan las cuatro coordenadas generalizadas siguien- N
R
θ R G j
y0
-
-
tes: θ es el ángulo que forma I ! I con O1 x1 ; ϕ es
m
ξ
-
-
h
m
el ángulo que forma un radio fijo del disco DG con vøttö I !
2 N
R 0 x j
la parte negativa de Gz ; (ξ, η) son las coordenadas
0
ϕ å 0
M
D
cartesianas de G en el plano O1 x1 y1 . En el instante
5m
x1 η v I
|jsö
łz
inicial (t = 0) se tiene que ξ = η = 0, θ = ϕ = j
Ty
0, θ̇ = θ̇0 , ϕ̇ = ϕ̇0 .
Para el estudio del movimiento [2]/[1], se pide:
1. Expresar la velocidad v I21 del punto de contacto de DG con el citado plano en función de las coordenadas
y velocidades generalizadas. (0.5 p)
2. Establecer las ecuaciones resultantes de imponer la condición de no deslizamiento del disco DG sobre
el plano. Comprobar que utilizando estas ecuaciones se puede expresar v G 21 en función solo de θ, ϕ y
sus derivadas temporales (usar esta expresión de v G21 para los apartados 4 y 5). (0.5 p)
3. Expresar cuántas y cuales son las componentes incógnitas de fuerzas y momentos de ligadura que hace
el plano sobre [2] en cada punto de contacto. (0.5 p)
[2]
4. Calcular el momento cinético H̄I del sólido en el punto I y expresarlo mediante sus componentes. (1
p)
5. Plantear la ecuación de cantidad de movimiento y expresarla mediante sus componentes. (1.5 p)
6. Plantear la ecuación de momento cinético en el punto móvil I y expresarla mediante sus componentes.
¿Cómo afecta a dicha ecuación el hecho de que I sea móvil? (3.5 p)
7. Calcular las funciones ϕ(t) y θ(t). (1 p)
8. Calcular la trayectoria que describe el punto G en [1]. (1.5 p)
NOTA: Solo se puntuarán las partes cuyas respuestas estén recogidas en este cuadro de forma
simplificada y que estén suficientemente justificadas en las hojas adicionales.
v I21 = (ξ˙ cos θ + η̇ sin θ)%ı + (−ξ˙ sin θ + η̇ cos θ − Rϕ̇)%
Condiciones de 0 = ξ˙ cos θ + η̇ sin θ
no deslizamiento 0 = −ξ˙ sin θ + η̇ cos θ − Rϕ̇
1!DG 1!DG
R = X I %ı + Y I % + Z I %k MI = 0
1!DC 1!DC
Z I %k
!
R = M I! = 0
! "
[2]
HI = mR2 − 23 ϕ̇%ı + 14 θ̇ %k
Ecs. cantidad movimiento: En las hojas
Ecs. momento cinético: En las hojas
ϕ(t) = ϕ̇0 t θ(t) = θ̇0 t
! "
ξ(t) = R ϕ̇θ̇ 0 cos(θ̇0 t) − 1 η(t) = R ϕ̇θ̇ 0 sin(θ̇0 t)
0 0
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Dinámica de sistemas Curso: 21/22 Fecha: 29-10-2021
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la figura está formado por: a) un disco DG de centro G, masa m y radio R; b) un disco DC de centro C,
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los extremos de la varilla por sus centros y son perpendiculares a la misma. El sólido se dispone con los
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Para definir la posición de [2] respecto a [1] se uti- C DG 2
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1. Expresar la velocidad v I21 del punto de contacto de DG con el citado plano en función de las coordenadas
y velocidades generalizadas. (0.5 p)
2. Establecer las ecuaciones resultantes de imponer la condición de no deslizamiento del disco DG sobre
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5. Plantear la ecuación de cantidad de movimiento y expresarla mediante sus componentes. (1.5 p)
6. Plantear la ecuación de momento cinético en el punto móvil I y expresarla mediante sus componentes.
¿Cómo afecta a dicha ecuación el hecho de que I sea móvil? (3.5 p)
7. Calcular las funciones ϕ(t) y θ(t). (1 p)
8. Calcular la trayectoria que describe el punto G en [1]. (1.5 p)
NOTA: Solo se puntuarán las partes cuyas respuestas estén recogidas en este cuadro de forma
simplificada y que estén suficientemente justificadas en las hojas adicionales.
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