Resumen
La presente tesis es el resultado del trabajo realizado en el grupo de investigación dirigido por el Dr.
Marcos Rosenbaum junto con el Dr. José David Vergara y mi compañero el Dr. Albert Much durante
mis estudios de doctorado. Producto de este trabajo, publicamos un artı́culo de investigación [1],
además de otro que está sujeto a revisión [2].
Investigamos la construcción de una geometrı́a cuántica en el contexto de lo que podrı́a considerarse una
teorı́a efectiva emergente de la Gravedad Cuántica. Especı́ficamente, basados en los resultados obtenidos
por Lukierski y Woronowicz en [3], consideramos las simetrı́as cuánticas relativistas, descritas por pares
duales de álgebras de Hopf: el álgbera cuántica de Poincaré y el grupo cuántico de Poincaré, de manera
que es posible introducir el espacio-tiempo de Minkowski deformado en dos formas equivalentes; como
las traslaciones del álgebra cuántica de Poincaré o como el espacio cuántico (un módulo de Hopf)
descrito por el álgebra de Poincaré deformada tipo Lie de dos parámetros, A, que tiene dos únicos
elementos centrales, consecuencia de la Fórmula de Baltrametti-Blasi [4], no triviales, uno lineal O1 y
uno cuadrático O2 que hacen de ésta un álgebera de Lie no semisimple. Recurriendo al formalismo de
Dubois-Violette de la Geometrı́a Riemanniana Noconmutativa [5, 6, 7, 8, 9], empezamos con el álgebra
universal de formas diferenciales basada en el álgebra de Lie, A. Construimos las formas diferenciales
y las derivaciones internas y externas, las cuales representan los equivalentes noconmutativos de los
campos vectoriales en el caso de la Geometrı́a Diferencial clásica. Habiendo establecido los objetos
esenciales de este formalismo construimos la métrica cuántica asociada como un bimódulo central bajo
la acción de las derivaciones internas, de manera que su determinante cuántico es no nulo. Esto implica
la existencia de la inversa cuántica, que se puede calcular mediante la teorı́a de cuasi-determinantes de
Gel’fand [10], pero que en la práctica es muy difı́cil de obtener explı́citamente, de forma que tenemos
contracciones bien definidas. Mediante el cálculo explı́cito de las derivaciones externas e imponiendo las
condiciones de metricidad y de torsión cero, obtenemos los coeficientes asociados a la conexión lineal
vistos como elementos centrales al álgebra, A. Finalmente obtenemos el equivalente noconmutativo del
tensor de curvatura y hacemos una breve descripción de la “geometrı́a” asociada al álgebra de Lie, A.
Para la segunda parte de este trabajo, tomando como punto de partida el álgebra anteriormente descrita
introducimos un álgebra-C ∗ noconmutativa unitaria A = {U1 , U2 } por medio de la exponenciación de
sus generadores. El álgebra-C ∗ resultante está compuesta por dos subálgebras conmutativas B1 =
{U1 }, B2 = {U2 } cuyo producto se obtiene a partir de la Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff [11].
Mediante el Teorema de Segal [12] obtenemos la acción de estas subálgebras sobre un vector cı́clico
asociado a la construcción de Gel’fand-Naimark-Segal (GNS) [13] con la cual generamos el espacio
de Hilbert asociado al álgebra-C ∗ A de manera que obtenemos las representaciones irreducibles y los
estados puros asociados a las subálgebras descritas previamente. Por último, con el conjunto de estados
puros generamos el convex hull [14], y hacemos una descripción de la topologı́a no Hausdorff asociada
con este sistema.
V
, Índice
I
Agradecimientos III
Resumen V
Introducción 1
Motivación 1
Organización de la Tesis 12
Capı́tulo 1. Álgebras-C ? . 15
1. Conceptos Preliminares 16
2. Teorema de Gel’fand-Naimark y Espacios Conmutativos 25
3. Espacios No Conmutativos 27
4. Estados y Representaciones. 29
Capı́tulo 2. Esquemas de Cuantización y Formalismos de la Geometrı́a Noconmutativa 45
1. Formalismos en Gravedad Cuántica. 45
2. Cuantización por Deformación. 49
3. Geometrı́a Noconmutativa de Alain Connes 53
4. Introducción al Formalismo de la Geometrı́a Noconmutativa de Dubois-Violette 60
Capı́tulo 3. Grupos Cuánticos 75
1. Álgebras de Hopf y Grupos Cuánticos 75
2. El Grupo de Poincaré. 83
3. El Álgebra Deformada de Hopf-Poincaré 88
4. Grupo Cuántico de Poincaré 90
5. Producto Estrella y Espacios Cuánticos 93
6. Covariancia Bajo Simetrı́as Torcidas de Poincaré 96
Capı́tulo 4. Gravedad Inducida del Espacio Tiempo por la Deformación del Grupo Cuántico de
Poincaré 101
1. Construcción de la Métrica como un Elemento Central al Álgebra de Lie 102
2. Determinante Cuántico 115
3. Inversa Cuántica 119
4. Derivaciones y Curvatura Pseudo-Riemanniana 125
Capı́tulo 5. Espacio de Hilbert para el Álgebra-C ∗ torcida de Poincaré 137
1. La Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff 137
2. El Teorema de Segal para Subálgebras Conmutativas. 143
3. Construcción de Gel’fand-Naimark-Segal y Observables Fı́sicos 152
VII
, 4. Estructura Topológica 156
Conclusiones y Lı́neas de Investigación Futuras 161
Apéndice A. La Fórmula de Baker-Hausdorff-Campbell 165
Bibliografı́a 170
, Introducción
Iniciamos presentando una motivación histórica, en donde se describen algunos de los formalismos
matemáticos más importantes que se han desarrollado hasta la fecha a fin de construir una teorı́a de
la gravitación cuántica. Se mencionan las virtudes y defectos de cada teorı́a y se muestra que hay un
común denominador en todas ellas, la noconmutatividad. Se analizan de manera breve dos de las gene-
ralizaciones más importantes de una Geometrı́a Clásica a una Geometrı́a Noconmutativa; la primera
debida a Alain Connes y la segunda desarrollada por Dubois-Violette et al. poniendo especial énfasis
en ésta última que es la teorı́a que se ha usado para producir los resultados presentados en este trabajo.
En la segunda parte de esta introducción se presenta la forma en la que está organizada la tesis y se da
una breve descripción del contenido encontrado en cada uno de los capı́tulos que la conforman.
Motivación
La Gravedad Cuántica es el campo de la Fı́sica Teórica que intenta cuantizar la Relatividad General y
lograr como meta última su unificación con las teorı́as de campo asociadas con las fuerzas fundamentales.
Por un lado la Teorı́a Cuántica de Campos describe a tres de las interacciones fundamentales de la
naturaleza: electromagnética, débil y fuerte. Mientras que la Relatividad General es la teorı́a de la
cuarta fuerza fundamental, la gravedad. En el contexto de la filosofı́a reduccionista de la Fı́sica, en
la cual ha habido gran éxito en construir teorı́as de unificación que describen una vasta cantidad de
fenómenos con el menor número de conceptos, el objetivo es lograr establecer una base matemática
unificada que describa el comportamiento de todas las fuerzas de la naturaleza.
Una de las razones por las cuales la Relatividad General y la Teorı́a Cuántica de Campos no son
compatibles es que la primera es una teorı́a fundamentalmente geométrica en tanto que las teorı́as de
campos no lo son. Esto ha obligado a los fı́sicos teóricos del siglo pasado y aún a los del siglo actual a
buscar una solución a este gran problema. Pero, ¿cuál es exactamente esta incompatibilidad? ¿cuáles
son las alternativas que se han desarrollado? Si bien estas y otras preguntas están siendo estudiadas
en muchos lugares, trataremos de poner los elementos del rompecabezas en perspectiva para entender
el porqué de la situación actual de la Fı́sica Teórica en el intento de construir una teorı́a cuántica de la
gravedad.
Sin embargo, para dar respuesta a esta cuestión, debemos volver, en primer lugar, hasta 1948. En este
año Feynman termina la formulación de la Integral de Trayectoria de la Mecánica Cuántica [15]. Esta
formulación abandona la idea de la dualidad onda-partı́cula, que contiene problemas tanto conceptuales
como filosóficos, y la sustituye por una interpretación de historias multiples, la cual establece que cada
partı́cula recorre todos los caminos posibles para ir de un punto a otro, es decir, incluye la posibilidad
de que en su dinámica una partı́cula recorra todas las trayectorias posibles hasta llegar a su destino y
no sólo la trayectoria que observamos al medir. No obstante, la probabilidad de recorrer uno u otro
1
La presente tesis es el resultado del trabajo realizado en el grupo de investigación dirigido por el Dr.
Marcos Rosenbaum junto con el Dr. José David Vergara y mi compañero el Dr. Albert Much durante
mis estudios de doctorado. Producto de este trabajo, publicamos un artı́culo de investigación [1],
además de otro que está sujeto a revisión [2].
Investigamos la construcción de una geometrı́a cuántica en el contexto de lo que podrı́a considerarse una
teorı́a efectiva emergente de la Gravedad Cuántica. Especı́ficamente, basados en los resultados obtenidos
por Lukierski y Woronowicz en [3], consideramos las simetrı́as cuánticas relativistas, descritas por pares
duales de álgebras de Hopf: el álgbera cuántica de Poincaré y el grupo cuántico de Poincaré, de manera
que es posible introducir el espacio-tiempo de Minkowski deformado en dos formas equivalentes; como
las traslaciones del álgebra cuántica de Poincaré o como el espacio cuántico (un módulo de Hopf)
descrito por el álgebra de Poincaré deformada tipo Lie de dos parámetros, A, que tiene dos únicos
elementos centrales, consecuencia de la Fórmula de Baltrametti-Blasi [4], no triviales, uno lineal O1 y
uno cuadrático O2 que hacen de ésta un álgebera de Lie no semisimple. Recurriendo al formalismo de
Dubois-Violette de la Geometrı́a Riemanniana Noconmutativa [5, 6, 7, 8, 9], empezamos con el álgebra
universal de formas diferenciales basada en el álgebra de Lie, A. Construimos las formas diferenciales
y las derivaciones internas y externas, las cuales representan los equivalentes noconmutativos de los
campos vectoriales en el caso de la Geometrı́a Diferencial clásica. Habiendo establecido los objetos
esenciales de este formalismo construimos la métrica cuántica asociada como un bimódulo central bajo
la acción de las derivaciones internas, de manera que su determinante cuántico es no nulo. Esto implica
la existencia de la inversa cuántica, que se puede calcular mediante la teorı́a de cuasi-determinantes de
Gel’fand [10], pero que en la práctica es muy difı́cil de obtener explı́citamente, de forma que tenemos
contracciones bien definidas. Mediante el cálculo explı́cito de las derivaciones externas e imponiendo las
condiciones de metricidad y de torsión cero, obtenemos los coeficientes asociados a la conexión lineal
vistos como elementos centrales al álgebra, A. Finalmente obtenemos el equivalente noconmutativo del
tensor de curvatura y hacemos una breve descripción de la “geometrı́a” asociada al álgebra de Lie, A.
Para la segunda parte de este trabajo, tomando como punto de partida el álgebra anteriormente descrita
introducimos un álgebra-C ∗ noconmutativa unitaria A = {U1 , U2 } por medio de la exponenciación de
sus generadores. El álgebra-C ∗ resultante está compuesta por dos subálgebras conmutativas B1 =
{U1 }, B2 = {U2 } cuyo producto se obtiene a partir de la Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff [11].
Mediante el Teorema de Segal [12] obtenemos la acción de estas subálgebras sobre un vector cı́clico
asociado a la construcción de Gel’fand-Naimark-Segal (GNS) [13] con la cual generamos el espacio
de Hilbert asociado al álgebra-C ∗ A de manera que obtenemos las representaciones irreducibles y los
estados puros asociados a las subálgebras descritas previamente. Por último, con el conjunto de estados
puros generamos el convex hull [14], y hacemos una descripción de la topologı́a no Hausdorff asociada
con este sistema.
V
, Índice
I
Agradecimientos III
Resumen V
Introducción 1
Motivación 1
Organización de la Tesis 12
Capı́tulo 1. Álgebras-C ? . 15
1. Conceptos Preliminares 16
2. Teorema de Gel’fand-Naimark y Espacios Conmutativos 25
3. Espacios No Conmutativos 27
4. Estados y Representaciones. 29
Capı́tulo 2. Esquemas de Cuantización y Formalismos de la Geometrı́a Noconmutativa 45
1. Formalismos en Gravedad Cuántica. 45
2. Cuantización por Deformación. 49
3. Geometrı́a Noconmutativa de Alain Connes 53
4. Introducción al Formalismo de la Geometrı́a Noconmutativa de Dubois-Violette 60
Capı́tulo 3. Grupos Cuánticos 75
1. Álgebras de Hopf y Grupos Cuánticos 75
2. El Grupo de Poincaré. 83
3. El Álgebra Deformada de Hopf-Poincaré 88
4. Grupo Cuántico de Poincaré 90
5. Producto Estrella y Espacios Cuánticos 93
6. Covariancia Bajo Simetrı́as Torcidas de Poincaré 96
Capı́tulo 4. Gravedad Inducida del Espacio Tiempo por la Deformación del Grupo Cuántico de
Poincaré 101
1. Construcción de la Métrica como un Elemento Central al Álgebra de Lie 102
2. Determinante Cuántico 115
3. Inversa Cuántica 119
4. Derivaciones y Curvatura Pseudo-Riemanniana 125
Capı́tulo 5. Espacio de Hilbert para el Álgebra-C ∗ torcida de Poincaré 137
1. La Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff 137
2. El Teorema de Segal para Subálgebras Conmutativas. 143
3. Construcción de Gel’fand-Naimark-Segal y Observables Fı́sicos 152
VII
, 4. Estructura Topológica 156
Conclusiones y Lı́neas de Investigación Futuras 161
Apéndice A. La Fórmula de Baker-Hausdorff-Campbell 165
Bibliografı́a 170
, Introducción
Iniciamos presentando una motivación histórica, en donde se describen algunos de los formalismos
matemáticos más importantes que se han desarrollado hasta la fecha a fin de construir una teorı́a de
la gravitación cuántica. Se mencionan las virtudes y defectos de cada teorı́a y se muestra que hay un
común denominador en todas ellas, la noconmutatividad. Se analizan de manera breve dos de las gene-
ralizaciones más importantes de una Geometrı́a Clásica a una Geometrı́a Noconmutativa; la primera
debida a Alain Connes y la segunda desarrollada por Dubois-Violette et al. poniendo especial énfasis
en ésta última que es la teorı́a que se ha usado para producir los resultados presentados en este trabajo.
En la segunda parte de esta introducción se presenta la forma en la que está organizada la tesis y se da
una breve descripción del contenido encontrado en cada uno de los capı́tulos que la conforman.
Motivación
La Gravedad Cuántica es el campo de la Fı́sica Teórica que intenta cuantizar la Relatividad General y
lograr como meta última su unificación con las teorı́as de campo asociadas con las fuerzas fundamentales.
Por un lado la Teorı́a Cuántica de Campos describe a tres de las interacciones fundamentales de la
naturaleza: electromagnética, débil y fuerte. Mientras que la Relatividad General es la teorı́a de la
cuarta fuerza fundamental, la gravedad. En el contexto de la filosofı́a reduccionista de la Fı́sica, en
la cual ha habido gran éxito en construir teorı́as de unificación que describen una vasta cantidad de
fenómenos con el menor número de conceptos, el objetivo es lograr establecer una base matemática
unificada que describa el comportamiento de todas las fuerzas de la naturaleza.
Una de las razones por las cuales la Relatividad General y la Teorı́a Cuántica de Campos no son
compatibles es que la primera es una teorı́a fundamentalmente geométrica en tanto que las teorı́as de
campos no lo son. Esto ha obligado a los fı́sicos teóricos del siglo pasado y aún a los del siglo actual a
buscar una solución a este gran problema. Pero, ¿cuál es exactamente esta incompatibilidad? ¿cuáles
son las alternativas que se han desarrollado? Si bien estas y otras preguntas están siendo estudiadas
en muchos lugares, trataremos de poner los elementos del rompecabezas en perspectiva para entender
el porqué de la situación actual de la Fı́sica Teórica en el intento de construir una teorı́a cuántica de la
gravedad.
Sin embargo, para dar respuesta a esta cuestión, debemos volver, en primer lugar, hasta 1948. En este
año Feynman termina la formulación de la Integral de Trayectoria de la Mecánica Cuántica [15]. Esta
formulación abandona la idea de la dualidad onda-partı́cula, que contiene problemas tanto conceptuales
como filosóficos, y la sustituye por una interpretación de historias multiples, la cual establece que cada
partı́cula recorre todos los caminos posibles para ir de un punto a otro, es decir, incluye la posibilidad
de que en su dinámica una partı́cula recorra todas las trayectorias posibles hasta llegar a su destino y
no sólo la trayectoria que observamos al medir. No obstante, la probabilidad de recorrer uno u otro
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