Sumario Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
1.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Llamamos 𝑀𝑚×𝑛(𝑅)al conjunto de las matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)donde los elementos 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅.
Podemos definir las siguientes operaciones de matrices:
Suma: 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)
Producto de un número real por una matriz: 𝑎 · 𝐴 = (𝑎 · 𝑎𝑖𝑗)
𝑛
Producto de Matrices: 𝐴𝐵 = ( ∑ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗) ∈ 𝑀𝑚×𝑝(𝑅)
𝑘=1


Propiedades de las operaciones de matrices.
1. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
2. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴
3. 𝐴 + (− 𝐴) = (− 𝐴) + 𝐴 = 0
4. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
5. 𝑎 · (𝐴 + 𝐵) = 𝑎 · 𝐴 + 𝑎 · 𝐵
6. (𝑎 + 𝑏) · 𝐴 = 𝑎 · 𝐴 + 𝑏 · 𝐴
7. 𝑎 · (𝑏 · 𝐴) = (𝑎 · 𝑏) · 𝐴
8. 1 · 𝐴 = 𝐴
9. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶
10. 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴


Tipos especiales de matrices cuadradas.
−1
Una matriz cuadrada 𝐴 de tamaño 𝑛 se llama inversible, si existe otra matriz 𝐴 tal que
−1 −1
𝐴𝐴 = 𝐴 𝐴 = 𝐼𝑛. Las matrices cuadradas que no tienen inversa se llaman singulares.
Matriz diagonal: 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Matriz escalar 𝐴 = λ · 𝐼𝑛
Matriz triangular inferior 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗
Matriz triangular superior 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗
𝑇
Matriz simétrica 𝐴 = 𝐴
𝑇
Matriz antisimétrica 𝐴 =− 𝐴

Matriz escalonada por filas.
Diremos que una matriz es escalonada por filas reducida si los elementos que están en la
misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros.

Transformaciones elementales.
Tipo I: Cambiar dos filas
Tipo II: Multiplicar una fila por una constante 𝑐 ≠ 0 𝑑𝑒 𝐾
Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada por 𝑐 ∈ 𝐾
Dos matrices 𝐴 y 𝐵 son equivalentes por filas si una de ellas se puede obtener a partir de
la otra mediante transformaciones elementales por filas.

, Independencia y dependencia lineal.
Llamamos combinación lineal de filas (o columnas) a una expresión de la forma
𝑎1𝑓1 + 𝑎2𝑓2 +... + 𝑎𝑘𝑓𝑘 donde los 𝑎𝑖 son elementos del cuerpo 𝐾.
Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una matriz son linealmente
independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal de las
restantes, en el caso contrario se dice que es linealmente dependiente.

Rango de una matriz.
Llamamos rango por filas de una matriz al número máximo de filas linealmente
independientes. Asimismo, llamamos rango por columnas al número máximo de columnas
linealmente independientes.
Teorema 1. El rango por filas de cualquier matriz coincide con su rango por columnas. A
dicho número le llamamos simplemente rango de la matriz.
Teorema 2. Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango.
Teorema 3. El rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas distintas de
cero.
Teorema 4. Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.
Corolario 1. Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si es equivalente por filas a la matriz
identidad.

Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Método de Gauss y de Gauss-Jordan.
Teorema 5. Los sistemas 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑦 𝐵𝑥 = 𝑐 tienen las mismas soluciones si y sólo si sus
matrices ampliadas son equivalentes por filas.

Teorema de Rouché-Frobenius.
𝑚
Dado un sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏, donde 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(𝐾) y 𝑏 ∈ 𝐾 , representamos por
(𝐴|𝑏) la matriz ampliada obtenida añadiendo a la matriz 𝐴 la columna formada por los
elementos de 𝑏. Siendo 𝑛 el número de incógnitas, se tiene que:
- Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)el sistema es incompatible.
- Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) y
- 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑛, el sistema es compatible determinado.
- 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 < 𝑛, el sistema es compatible indeterminado.

1.2. Espacios vectoriales.
Definición 1. Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾 a un conjunto 𝑉 con dos
operaciones suma (+)(interna) y un producto (·)(externa) que verifican:
1. + verifica las siguientes operaciones:
a. (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
b. 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣
c. 𝑣 + (− 𝑣) = (− 𝑣) + 𝑣 = 0
d. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
2. · verifica:
a. λ(𝑣 + 𝑤) = λ𝑣 + λ𝑤
b. (λ + µ) 𝑣 = λ𝑣 + µ𝑣