Sumario Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 5. Ecuaciones diferenciales lineales.
P1. Tasa relativa de crecimiento.
Si x(t) representa alguna cantidad fisica como el volumen de una sustancia, la población de
ciertas especies, o el número de euros invertidos en acciones, su derivada x’(t) proporciona
la tasa de crecimiento. Con frecuencia es más interesante la llamada tasa relativa de
crecimiento definida por:
𝑥'(𝑡)
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑥(𝑡)


P2. Ecuación diferencial para tasa relativa constante.
Si la tasa relativa de crecimiento es constante, tenemos:
𝑥'(𝑡)
𝑎= 𝑥(𝑡)
→ 𝑥'(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)
Esta ecuación se denomina ecuación diferencial porque incluye una derivada. Trivialmente
𝑎𝑡
se comprueba que 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑒 son las soluciones de la ecuación diferencial dada. El valor
de c se calcula a partir de una condición inicial.

P3. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
Trabajaremos con sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:




Matricialmente nos queda como 𝑋'(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡), siendo:




P4. Resolución mediante la exponencial de una matriz.
𝐴
Definición. Dada una matriz cuadrada A, se define la matriz cuadrada del mismo tamaño 𝑒 ,
2 3 4 ∞ 𝑘
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴
como sigue: 𝑒 = 𝐼 + 𝐴 + 2!
+ 3!
+ 4!
+... = ∑ 𝑘!
𝑘=0
𝐴𝑡
Teorema. Para cualquier vector constante c, 𝑋(𝑡) = 𝑒 𝑐 es una solución de la ecuación
𝐴𝑡
𝑋'(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Además, 𝑋(𝑡) = 𝑒 𝑥0es una solución que verifica la condición inicial
𝑋(0) = 𝑥0.

𝐷𝑡
P5. Cálculo de 𝑒 cuando D es una matriz diagonal.
Teorema. Si D es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son 𝑑1,..., 𝑑𝑛entonces
𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑡
𝑒 es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal son 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 .