Selectividad (PAU/EBAU) Matematicas CCSS II -
20 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: matrices y sistemas,
programacion lineal, probabilidad e inferencia estadistica
Material original de practica para preparar la prueba de acceso a la universidad (PAU/EBAU)
Introduccion: como usar este documento
• Encontraras 20 ejercicios originales de Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, del
nivel de la PAU/EBAU, cada uno con su solucion completa paso a paso: no solo el resultado,
tambien el razonamiento.
• Bloque 1 (ejercicios 1 a 7): algebra lineal: potencias de matrices, determinantes e inversa,
discusion de sistemas con parametro por el teorema de Rouche-Frobenius, metodo de Gauss,
ecuacion matricial y regla de Cramer.
• Bloque 2 (ejercicios 8 a 9): programacion lineal en dos variables: region factible, vertices y
optimizacion de la funcion objetivo.
• Bloque 3 (ejercicios 10 a 12): probabilidad: probabilidad condicionada, probabilidad total y
teorema de Bayes.
• Bloque 4 (ejercicios 13 a 15): distribucion normal: tipificacion, uso de la tabla y aproximacion
de la binomial por la normal.
• Bloque 5 (ejercicios 16 a 20): inferencia estadistica: intervalos de confianza para la media y
para la proporcion, tamano muestral y contrastes de hipotesis.
• Metodo recomendado: intenta cada ejercicio sin mirar, escribe tu procedimiento y despues
compara con la solucion paso a paso. Al final tienes una tabla de respuestas para una
correccion rapida.
• Notacion: escribimos sqrt(x) para indicar la raiz cuadrada de x; las matrices se escriben por
filas separadas con punto y coma, por ejemplo ((2, 1); (0, 3)). Fi(z) indica el valor de la funcion
de distribucion de la normal estandar N(0, 1); usaremos los valores de tabla Fi(1) = 0.8413,
Fi(1.5) = 0.9332, Fi(1.96) = 0.975, Fi(2) = 0.9772 y Fi(1.63) = 0.9484. Los valores criticos
habituales son z = 1.96 (95 %), z = 1.645 (90 %) y z = 2.575 (99 %).
Aviso: este es material original de practica creado con fines de estudio. No esta afiliado a
ninguna universidad ni a ningun organismo oficial, y los ejercicios no son examenes reales ni
preguntas filtradas de convocatorias anteriores.
Bloque 1. Algebra lineal
, Ejercicio 1. Potencia de una matriz
Enunciado. Sea A = ((1, 2); (0, 1)). Calcula A^2 y A^3, y describe el patron que observas.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (A^2 = A · A): fila 1 por columnas: (1 · 1 + 2 · 0, 1 · 2 + 2 · 1) = (1, 4). Fila 2: (0 · 1 + 1 · 0, 0
· 2 + 1 · 1) = (0, 1). Asi, A^2 = ((1, 4); (0, 1)).
• Paso 2 (A^3 = A^2 · A): fila 1: (1 · 1 + 4 · 0, 1 · 2 + 4 · 1) = (1, 6). Fila 2: (0, 1). Asi, A^3 = ((1, 6); (0,
1)).
• Paso 3 (patron): A^1 = ((1, 2); (0, 1)), A^2 = ((1, 4); (0, 1)), A^3 = ((1, 6); (0, 1)): el elemento (1, 2)
se multiplica por 2 en cada potencia, de modo que A^n = ((1, 2n); (0, 1)).
Resultado final: A^2 = ((1, 4); (0, 1)); A^3 = ((1, 6); (0, 1)).
Ejercicio 2. Determinante e inversa de una matriz 3x3
Enunciado. Sea A = ((2, 1, 1); (1, 2, 1); (1, 1, 2)). Calcula det(A) y la matriz inversa A^-1,
comprobando el resultado.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (determinante, desarrollando por la primera fila): det(A) = 2 · (2 · 2 - 1 · 1) - 1 · (1 · 2 - 1
· 1) + 1 · (1 · 1 - 2 · 1) = 2 · 3 - 1 · 1 + 1 · (-1) = 6 - 1 - 1 = 4. Como no es cero, la matriz tiene
inversa.
• Paso 2 (matriz de cofactores): calculando cada menor con su signo: C11 = 3, C12 = -1, C13 =
-1; C21 = -1, C22 = 3, C23 = -1; C31 = -1, C32 = -1, C33 = 3.
• Paso 3 (adjunta e inversa): la matriz es simetrica, asi que la adjunta (traspuesta de
cofactores) coincide con la de cofactores. A^-1 = 1/4 · ((3, -1, -1); (-1, 3, -1); (-1, -1, 3)).
• Paso 4 (comprobacion): la primera fila de A por la primera columna de la inversa: (2 · 3 + 1 ·
(-1) + 1 · (-1)) / 4 = 4/4 = 1. La primera fila por la segunda columna: (2 · (-1) + 1 · 3 + 1 · (-1)) / 4 =
0/4 = 0. Por simetria se obtiene la identidad.
Resultado final: det(A) = 4; A^-1 = 1/4 · ((3, -1, -1); (-1, 3, -1); (-1, -1, 3)).
Ejercicio 3. Discusion de un sistema con parametro (Rouche-Frobenius)
Enunciado. Discute y resuelve, segun los valores del parametro a, el sistema: x + y + z = 1; x +
a·y + 2z = 3; 2x + y + 3z = 2.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (determinante de la matriz de coeficientes): desarrollando por la primera fila: det(A) =
1 · (a · 3 - 2 · 1) - 1 · (1 · 3 - 2 · 2) + 1 · (1 · 1 - a · 2) = (3a - 2) - (-1) + (1 - 2a) = a.
• Paso 2 (caso a distinto de 0): el determinante no es cero, asi que el rango de A y el de la
matriz ampliada valen 3, igual al numero de incognitas: el sistema es compatible
determinado. Para resolverlo restamos: Ec2 - Ec1 da (a - 1)·y + z = 2; Ec3 - 2·Ec1 da -y + z = 0, es
20 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: matrices y sistemas,
programacion lineal, probabilidad e inferencia estadistica
Material original de practica para preparar la prueba de acceso a la universidad (PAU/EBAU)
Introduccion: como usar este documento
• Encontraras 20 ejercicios originales de Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, del
nivel de la PAU/EBAU, cada uno con su solucion completa paso a paso: no solo el resultado,
tambien el razonamiento.
• Bloque 1 (ejercicios 1 a 7): algebra lineal: potencias de matrices, determinantes e inversa,
discusion de sistemas con parametro por el teorema de Rouche-Frobenius, metodo de Gauss,
ecuacion matricial y regla de Cramer.
• Bloque 2 (ejercicios 8 a 9): programacion lineal en dos variables: region factible, vertices y
optimizacion de la funcion objetivo.
• Bloque 3 (ejercicios 10 a 12): probabilidad: probabilidad condicionada, probabilidad total y
teorema de Bayes.
• Bloque 4 (ejercicios 13 a 15): distribucion normal: tipificacion, uso de la tabla y aproximacion
de la binomial por la normal.
• Bloque 5 (ejercicios 16 a 20): inferencia estadistica: intervalos de confianza para la media y
para la proporcion, tamano muestral y contrastes de hipotesis.
• Metodo recomendado: intenta cada ejercicio sin mirar, escribe tu procedimiento y despues
compara con la solucion paso a paso. Al final tienes una tabla de respuestas para una
correccion rapida.
• Notacion: escribimos sqrt(x) para indicar la raiz cuadrada de x; las matrices se escriben por
filas separadas con punto y coma, por ejemplo ((2, 1); (0, 3)). Fi(z) indica el valor de la funcion
de distribucion de la normal estandar N(0, 1); usaremos los valores de tabla Fi(1) = 0.8413,
Fi(1.5) = 0.9332, Fi(1.96) = 0.975, Fi(2) = 0.9772 y Fi(1.63) = 0.9484. Los valores criticos
habituales son z = 1.96 (95 %), z = 1.645 (90 %) y z = 2.575 (99 %).
Aviso: este es material original de practica creado con fines de estudio. No esta afiliado a
ninguna universidad ni a ningun organismo oficial, y los ejercicios no son examenes reales ni
preguntas filtradas de convocatorias anteriores.
Bloque 1. Algebra lineal
, Ejercicio 1. Potencia de una matriz
Enunciado. Sea A = ((1, 2); (0, 1)). Calcula A^2 y A^3, y describe el patron que observas.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (A^2 = A · A): fila 1 por columnas: (1 · 1 + 2 · 0, 1 · 2 + 2 · 1) = (1, 4). Fila 2: (0 · 1 + 1 · 0, 0
· 2 + 1 · 1) = (0, 1). Asi, A^2 = ((1, 4); (0, 1)).
• Paso 2 (A^3 = A^2 · A): fila 1: (1 · 1 + 4 · 0, 1 · 2 + 4 · 1) = (1, 6). Fila 2: (0, 1). Asi, A^3 = ((1, 6); (0,
1)).
• Paso 3 (patron): A^1 = ((1, 2); (0, 1)), A^2 = ((1, 4); (0, 1)), A^3 = ((1, 6); (0, 1)): el elemento (1, 2)
se multiplica por 2 en cada potencia, de modo que A^n = ((1, 2n); (0, 1)).
Resultado final: A^2 = ((1, 4); (0, 1)); A^3 = ((1, 6); (0, 1)).
Ejercicio 2. Determinante e inversa de una matriz 3x3
Enunciado. Sea A = ((2, 1, 1); (1, 2, 1); (1, 1, 2)). Calcula det(A) y la matriz inversa A^-1,
comprobando el resultado.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (determinante, desarrollando por la primera fila): det(A) = 2 · (2 · 2 - 1 · 1) - 1 · (1 · 2 - 1
· 1) + 1 · (1 · 1 - 2 · 1) = 2 · 3 - 1 · 1 + 1 · (-1) = 6 - 1 - 1 = 4. Como no es cero, la matriz tiene
inversa.
• Paso 2 (matriz de cofactores): calculando cada menor con su signo: C11 = 3, C12 = -1, C13 =
-1; C21 = -1, C22 = 3, C23 = -1; C31 = -1, C32 = -1, C33 = 3.
• Paso 3 (adjunta e inversa): la matriz es simetrica, asi que la adjunta (traspuesta de
cofactores) coincide con la de cofactores. A^-1 = 1/4 · ((3, -1, -1); (-1, 3, -1); (-1, -1, 3)).
• Paso 4 (comprobacion): la primera fila de A por la primera columna de la inversa: (2 · 3 + 1 ·
(-1) + 1 · (-1)) / 4 = 4/4 = 1. La primera fila por la segunda columna: (2 · (-1) + 1 · 3 + 1 · (-1)) / 4 =
0/4 = 0. Por simetria se obtiene la identidad.
Resultado final: det(A) = 4; A^-1 = 1/4 · ((3, -1, -1); (-1, 3, -1); (-1, -1, 3)).
Ejercicio 3. Discusion de un sistema con parametro (Rouche-Frobenius)
Enunciado. Discute y resuelve, segun los valores del parametro a, el sistema: x + y + z = 1; x +
a·y + 2z = 3; 2x + y + 3z = 2.
Solucion paso a paso.
• Paso 1 (determinante de la matriz de coeficientes): desarrollando por la primera fila: det(A) =
1 · (a · 3 - 2 · 1) - 1 · (1 · 3 - 2 · 2) + 1 · (1 · 1 - a · 2) = (3a - 2) - (-1) + (1 - 2a) = a.
• Paso 2 (caso a distinto de 0): el determinante no es cero, asi que el rango de A y el de la
matriz ampliada valen 3, igual al numero de incognitas: el sistema es compatible
determinado. Para resolverlo restamos: Ec2 - Ec1 da (a - 1)·y + z = 2; Ec3 - 2·Ec1 da -y + z = 0, es
