Selectividad (PAU/EBAU) Matemáticas II
20 ejercicios resueltos paso a paso: álgebra lineal, geometría en el espacio,
análisis y probabilidad
Material original de práctica para preparar la prueba de acceso a la universidad (PAU/EBAU)
Introducción: cómo usar este documento
• Encontrarás 20 ejercicios originales de Matemáticas II, del nivel de la PAU/EBAU, cada uno
con su solución completa paso a paso: no solo el resultado, también el razonamiento.
• Bloque 1 (ejercicios 1 a 5): matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
• Bloque 2 (ejercicios 6 a 9): geometría en el espacio: vectores, rectas, planos, distancias y
ángulos.
• Bloque 3 (ejercicios 10 a 16): análisis: límites, derivadas y aplicaciones, integrales y áreas.
• Bloque 4 (ejercicios 17 a 20): probabilidad y estadística: probabilidad condicionada, teorema
de Bayes, distribución binomial y distribución normal.
• Método recomendado: intenta cada ejercicio sin mirar, escribe tu procedimiento y después
compara con la solución paso a paso. Al final tienes una tabla de respuestas para una
corrección rápida.
• Notación: escribimos sqrt(x) para indicar la raíz cuadrada de x, y las matrices se escriben por
filas separadas con punto y coma, por ejemplo ((2, 1); (0, 3)).
Aviso: este es material original de práctica creado con fines de estudio. No está afiliado a
ninguna universidad ni a ningún organismo oficial, y los ejercicios no son exámenes reales ni
preguntas filtradas de convocatorias anteriores.
Bloque 1. Álgebra lineal
Ejercicio 1. Operaciones con matrices y determinantes
Enunciado. Sean las matrices A = ((2, 1); (0, 3)) y B = ((1, -1); (2, 1)). Calcula: a) A + B; b) A · B; c)
det(A), det(B) y det(A · B), comprobando que det(A · B) = det(A) · det(B).
Solución paso a paso.
• Paso 1 (suma): se suman los elementos que ocupan la misma posición. A + B = ((2 + 1, 1 +
(-1)); (0 + 2, 3 + 1)) = ((3, 0); (2, 4)).
• Paso 2 (producto): cada elemento de A · B es el producto escalar de una fila de A por una
columna de B. Fila 1: (2 · 1 + 1 · 2, 2 · (-1) + 1 · 1) = (4, -1). Fila 2: (0 · 1 + 3 · 2, 0 · (-1) + 3 · 1) = (6,
3). Así, A · B = ((4, -1); (6, 3)).
, • Paso 3 (determinantes): det(A) = 2 · 3 - 1 · 0 = 6. det(B) = 1 · 1 - (-1) · 2 = 1 + 2 = 3. det(A · B) = 4
· 3 - (-1) · 6 = 12 + 6 = 18.
• Paso 4 (comprobación): det(A) · det(B) = 6 · 3 = 18 = det(A · B). Se verifica la propiedad.
Resultado final: A + B = ((3, 0); (2, 4)); A · B = ((4, -1); (6, 3)); det(A) = 6, det(B) = 3, det(A · B) = 18.
Ejercicio 2. Matriz inversa
Enunciado. Calcula la matriz inversa de A = ((3, 1); (5, 2)) y comprueba el resultado
multiplicando A por su inversa.
Solución paso a paso.
• Paso 1: det(A) = 3 · 2 - 1 · 5 = 6 - 5 = 1. Como el determinante no es cero, A tiene inversa.
• Paso 2: para una matriz 2x2 ((a, b); (c, d)), la inversa es 1/(ad - bc) por la matriz ((d, -b); (-c, a)):
se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo de los otros dos.
Entonces A^-1 = 1/1 · ((2, -1); (-5, 3)) = ((2, -1); (-5, 3)).
• Paso 3 (comprobación): A · A^-1 = ((3 · 2 + 1 · (-5), 3 · (-1) + 1 · 3); (5 · 2 + 2 · (-5), 5 · (-1) + 2 · 3))
= ((1, 0); (0, 1)), la matriz identidad.
Resultado final: A^-1 = ((2, -1); (-5, 3)).
Ejercicio 3. Invertibilidad según un parámetro
Enunciado. Determina para qué valores del parámetro m la matriz A = ((1, 2, m); (2, 1, 0); (1, 0,
1)) es invertible.
Solución paso a paso.
• Paso 1: una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Desarrollamos det(A) por la primera fila:
• det(A) = 1 · (1 · 1 - 0 · 0) - 2 · (2 · 1 - 0 · 1) + m · (2 · 0 - 1 · 1) = 1 · 1 - 2 · 2 + m · (-1) = 1 - 4 - m = -3
- m.
• Paso 2: imponemos la condición det(A) distinto de 0: -3 - m distinto de 0, es decir, m distinto
de -3.
• Paso 3 (interpretación): si m = -3, el determinante vale 0, la matriz no tiene inversa y su
rango es menor que 3.
Resultado final: A es invertible para todo m distinto de -3.
Ejercicio 4. Sistema por la regla de Cramer
Enunciado. Resuelve el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer: 2x + y + z = 5; x - y + z =
0; x + 2y - 2z = 3.
Solución paso a paso.
• Paso 1 (determinante del sistema): D = det((2, 1, 1); (1, -1, 1); (1, 2, -2)) = 2 · ((-1)(-2) - 1 · 2) - 1 ·
20 ejercicios resueltos paso a paso: álgebra lineal, geometría en el espacio,
análisis y probabilidad
Material original de práctica para preparar la prueba de acceso a la universidad (PAU/EBAU)
Introducción: cómo usar este documento
• Encontrarás 20 ejercicios originales de Matemáticas II, del nivel de la PAU/EBAU, cada uno
con su solución completa paso a paso: no solo el resultado, también el razonamiento.
• Bloque 1 (ejercicios 1 a 5): matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
• Bloque 2 (ejercicios 6 a 9): geometría en el espacio: vectores, rectas, planos, distancias y
ángulos.
• Bloque 3 (ejercicios 10 a 16): análisis: límites, derivadas y aplicaciones, integrales y áreas.
• Bloque 4 (ejercicios 17 a 20): probabilidad y estadística: probabilidad condicionada, teorema
de Bayes, distribución binomial y distribución normal.
• Método recomendado: intenta cada ejercicio sin mirar, escribe tu procedimiento y después
compara con la solución paso a paso. Al final tienes una tabla de respuestas para una
corrección rápida.
• Notación: escribimos sqrt(x) para indicar la raíz cuadrada de x, y las matrices se escriben por
filas separadas con punto y coma, por ejemplo ((2, 1); (0, 3)).
Aviso: este es material original de práctica creado con fines de estudio. No está afiliado a
ninguna universidad ni a ningún organismo oficial, y los ejercicios no son exámenes reales ni
preguntas filtradas de convocatorias anteriores.
Bloque 1. Álgebra lineal
Ejercicio 1. Operaciones con matrices y determinantes
Enunciado. Sean las matrices A = ((2, 1); (0, 3)) y B = ((1, -1); (2, 1)). Calcula: a) A + B; b) A · B; c)
det(A), det(B) y det(A · B), comprobando que det(A · B) = det(A) · det(B).
Solución paso a paso.
• Paso 1 (suma): se suman los elementos que ocupan la misma posición. A + B = ((2 + 1, 1 +
(-1)); (0 + 2, 3 + 1)) = ((3, 0); (2, 4)).
• Paso 2 (producto): cada elemento de A · B es el producto escalar de una fila de A por una
columna de B. Fila 1: (2 · 1 + 1 · 2, 2 · (-1) + 1 · 1) = (4, -1). Fila 2: (0 · 1 + 3 · 2, 0 · (-1) + 3 · 1) = (6,
3). Así, A · B = ((4, -1); (6, 3)).
, • Paso 3 (determinantes): det(A) = 2 · 3 - 1 · 0 = 6. det(B) = 1 · 1 - (-1) · 2 = 1 + 2 = 3. det(A · B) = 4
· 3 - (-1) · 6 = 12 + 6 = 18.
• Paso 4 (comprobación): det(A) · det(B) = 6 · 3 = 18 = det(A · B). Se verifica la propiedad.
Resultado final: A + B = ((3, 0); (2, 4)); A · B = ((4, -1); (6, 3)); det(A) = 6, det(B) = 3, det(A · B) = 18.
Ejercicio 2. Matriz inversa
Enunciado. Calcula la matriz inversa de A = ((3, 1); (5, 2)) y comprueba el resultado
multiplicando A por su inversa.
Solución paso a paso.
• Paso 1: det(A) = 3 · 2 - 1 · 5 = 6 - 5 = 1. Como el determinante no es cero, A tiene inversa.
• Paso 2: para una matriz 2x2 ((a, b); (c, d)), la inversa es 1/(ad - bc) por la matriz ((d, -b); (-c, a)):
se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo de los otros dos.
Entonces A^-1 = 1/1 · ((2, -1); (-5, 3)) = ((2, -1); (-5, 3)).
• Paso 3 (comprobación): A · A^-1 = ((3 · 2 + 1 · (-5), 3 · (-1) + 1 · 3); (5 · 2 + 2 · (-5), 5 · (-1) + 2 · 3))
= ((1, 0); (0, 1)), la matriz identidad.
Resultado final: A^-1 = ((2, -1); (-5, 3)).
Ejercicio 3. Invertibilidad según un parámetro
Enunciado. Determina para qué valores del parámetro m la matriz A = ((1, 2, m); (2, 1, 0); (1, 0,
1)) es invertible.
Solución paso a paso.
• Paso 1: una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Desarrollamos det(A) por la primera fila:
• det(A) = 1 · (1 · 1 - 0 · 0) - 2 · (2 · 1 - 0 · 1) + m · (2 · 0 - 1 · 1) = 1 · 1 - 2 · 2 + m · (-1) = 1 - 4 - m = -3
- m.
• Paso 2: imponemos la condición det(A) distinto de 0: -3 - m distinto de 0, es decir, m distinto
de -3.
• Paso 3 (interpretación): si m = -3, el determinante vale 0, la matriz no tiene inversa y su
rango es menor que 3.
Resultado final: A es invertible para todo m distinto de -3.
Ejercicio 4. Sistema por la regla de Cramer
Enunciado. Resuelve el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer: 2x + y + z = 5; x - y + z =
0; x + 2y - 2z = 3.
Solución paso a paso.
• Paso 1 (determinante del sistema): D = det((2, 1, 1); (1, -1, 1); (1, 2, -2)) = 2 · ((-1)(-2) - 1 · 2) - 1 ·
