-1-
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1. Se consideran los sucesos A = { sacar un rey}, y B = {sacar una figura}. ¿Cuál de las dos afirmaciones
siguientes es cierta?
a) Siempre que se realiza A se realiza B.
b) Siempre que se realiza B se realiza A.
2. Calcular el número de resultados posibles de un experimento que consiste en la extracción de una carta de
una baraja española y el lanzamiento de un dado.
3. En el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado cúbico, consideramos los sucesos 𝐴=
{1,3} 𝑦 𝐵 = {4,6}. ¿Se pueden verificar A y B simultáneamente? ¿Son A y B contrarios? ¿Son A y B sucesos
incompatibles?
4. En una urna tenemos siete bolas numeradas del 1 al 7, y realizamos el experimento de sacar una bola y anotar
su número. Consideramos los sucesos A = {1,3,5,7} y B = {2,4,6,7}, determina los siguientes conjuntos:
1) 𝐴 ∩ 𝐵 4) 𝐴 ∩ 𝐵̄
2) 𝐴 ∪ 𝐵 5) (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐
3) 𝐴̄ ∩ 𝐵 6) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐
5. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera del espacio de sucesos S. Se pide expresar en función de los sucesos
A, B y C, y de sus contrarios, los siguientes sucesos:
a) Se realizan A y B.
b) Se realizan A y B, pero no C.
c) Se realiza al menos uno de los tres.
d) No se realiza ninguno de los tres sucesos.
e) Ocurren exactamente dos sucesos de los A, B y C.
6. Se lanzan dos dados simultáneamente. Se dice que se ha obtenido el suceso Sj si la suma de los puntos
obtenida es múltiplo de “j” . ¿Cuáles son los sucesos elementales de S 2? ¿Y de S4? ¿Y de S6?
a) Comprueba si S2 S4 o S4 S2 .
b) ¿Son compatibles o incompatibles S4 y S6? ¿ Y S2 y S6?
7. Una moneda se lanza tres veces consecutivas. Describir el espacio muestral:
a) Si sólo interesa el número total de casos.
b) Si interesa el resultado de cada lanzamiento.
8. Se lanzan dos dados al aire. Sea A = {la diferencia de puntos obtenida en los dos dados es 2} y
B = {obtener al menos un dos}.
Hallar los siguientes sucesos:
1) 𝐴 ∩ 𝐵 4) 𝐴̄ ∩ 𝐵̄
2) 𝐴 ∪ 𝐵
3) 𝐴̄ ∪ 𝐵̄
9. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras
superiores. Se pide:
a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos?
b) Formar el suceso A = {sacar al menos dos cincos}
c) Formar el suceso B = {sacar dos doses y un tres}
10. Se ha observado la distribución por sexo de los hijos en familias de tres hijos. Sean los sucesos
A = {el hijo mayor es varón} y B = {los dos hijos pequeños son varones}
¿Cuáles son los elementos de A y de B?
, -2-
11. Describe el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
𝑬 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕, 𝟏𝟖}
12. ¿Cuál de las siguientes funciones define una probabilidad en 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}?
1 1 1
1) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 2 N
4 3
1 1 1
2) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 2 S
6 3
2 −1 2
3) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 3 N
3 3
1 2
4) 𝑝({𝑎}) = 0, 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 3 S
3
13. Sea p una probabilidad definida en 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Encuentra p({𝑎}) en los casos:
1 1
1) 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 5/12
3 4
1
2) 𝑝({𝑎}) = 2 · 𝑝({𝑏}) 𝑦 𝑝({𝑐}) = 1/2
4
3) 𝑝({𝑐}) = 2 · 𝑝({𝑏}) 𝑦 𝑝({𝑏}) = 3 · 𝑝({𝑎}) 1/10
14. En la prueba final de una carrera de atletismo participan cuatro atletas que denotamos por M, N, R y C, y
solo uno de ellos puede ser el ganador. La probabilidad de que gane M es doble de la que gane C, la
probabilidad de que gane C es triple de la que gane R y la probabilidad de que gane C es la misma que la de
que gane R. ¿Cuál es la probabilidad de ganar C? 3/11
15. Un dado tetraédrico está trucado de modo que la probabilidad de obtener cualquier número es la misma
excepto la de obtener un cuatro que es doble de cualquiera de las demás. Halla la probabilidad de obtener un
cuatro. 2/5
16. Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un instituto, se sabe que el 40 % lee el
periódico y el 30 % lee alguna revista de información general.
Además, el 20 % lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante,
elegido al azar, lea el periódico o revistas? 0,5
17. En una bolsa hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Consideramos el experimento aleatorio: sacamos una bola y
anotamos el número, sin devolverla a la bolsa sacamos otra bola y anotamos su número y sin devolver esta a la
bolsa sacamos la tercera bola y anotamos su número.
Calcula la probabilidad de sacar los números en orden creciente o decreciente. 1/3
18. Se lanzan dos dados de seis caras. Halla:
1) La probabilidad de obtener un 8 al sumar las caras superiores. 5/36
2) La probabilidad de que los valores obtenidos en las caras superiores difieran en 3 unidades. 1/6
3 1 3
𝑝(𝐴) = 8 , 𝑝(𝐵) = 2 𝑦 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 4, halla
19. Si A y B son dos sucesos tales que
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) 𝑦 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅ ), 𝑝(𝐴/𝐵̅ ) 1/4 ;3/4; 1/2
3 1 3
20. Si A y B son dos sucesos tales que 𝑝(𝐴) = 8 , 𝑝(𝐵) = 2 𝑦 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 4, halla
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) 𝑦 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅ ) 1/4 ; ¼
21. Lanzamos un dado cúbico con las caras numeradas del uno al seis y leemos el número que aparece en la cara
superior. Consideramos los sucesos siguientes
𝐴 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} 𝐵 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2} 𝑦 𝐶 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3}
Estudia la independencia de los sucesos: 1) A y B 2) B y C no, si
22. Se consideran dos sucesos A y B independientes. Prueba que los sucesos 𝐴̅ 𝑦 𝐵̅ son independientes.
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1. Se consideran los sucesos A = { sacar un rey}, y B = {sacar una figura}. ¿Cuál de las dos afirmaciones
siguientes es cierta?
a) Siempre que se realiza A se realiza B.
b) Siempre que se realiza B se realiza A.
2. Calcular el número de resultados posibles de un experimento que consiste en la extracción de una carta de
una baraja española y el lanzamiento de un dado.
3. En el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado cúbico, consideramos los sucesos 𝐴=
{1,3} 𝑦 𝐵 = {4,6}. ¿Se pueden verificar A y B simultáneamente? ¿Son A y B contrarios? ¿Son A y B sucesos
incompatibles?
4. En una urna tenemos siete bolas numeradas del 1 al 7, y realizamos el experimento de sacar una bola y anotar
su número. Consideramos los sucesos A = {1,3,5,7} y B = {2,4,6,7}, determina los siguientes conjuntos:
1) 𝐴 ∩ 𝐵 4) 𝐴 ∩ 𝐵̄
2) 𝐴 ∪ 𝐵 5) (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐
3) 𝐴̄ ∩ 𝐵 6) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐
5. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera del espacio de sucesos S. Se pide expresar en función de los sucesos
A, B y C, y de sus contrarios, los siguientes sucesos:
a) Se realizan A y B.
b) Se realizan A y B, pero no C.
c) Se realiza al menos uno de los tres.
d) No se realiza ninguno de los tres sucesos.
e) Ocurren exactamente dos sucesos de los A, B y C.
6. Se lanzan dos dados simultáneamente. Se dice que se ha obtenido el suceso Sj si la suma de los puntos
obtenida es múltiplo de “j” . ¿Cuáles son los sucesos elementales de S 2? ¿Y de S4? ¿Y de S6?
a) Comprueba si S2 S4 o S4 S2 .
b) ¿Son compatibles o incompatibles S4 y S6? ¿ Y S2 y S6?
7. Una moneda se lanza tres veces consecutivas. Describir el espacio muestral:
a) Si sólo interesa el número total de casos.
b) Si interesa el resultado de cada lanzamiento.
8. Se lanzan dos dados al aire. Sea A = {la diferencia de puntos obtenida en los dos dados es 2} y
B = {obtener al menos un dos}.
Hallar los siguientes sucesos:
1) 𝐴 ∩ 𝐵 4) 𝐴̄ ∩ 𝐵̄
2) 𝐴 ∪ 𝐵
3) 𝐴̄ ∪ 𝐵̄
9. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras
superiores. Se pide:
a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos?
b) Formar el suceso A = {sacar al menos dos cincos}
c) Formar el suceso B = {sacar dos doses y un tres}
10. Se ha observado la distribución por sexo de los hijos en familias de tres hijos. Sean los sucesos
A = {el hijo mayor es varón} y B = {los dos hijos pequeños son varones}
¿Cuáles son los elementos de A y de B?
, -2-
11. Describe el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
𝑬 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕, 𝟏𝟖}
12. ¿Cuál de las siguientes funciones define una probabilidad en 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}?
1 1 1
1) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 2 N
4 3
1 1 1
2) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 2 S
6 3
2 −1 2
3) 𝑝({𝑎}) = , 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 3 N
3 3
1 2
4) 𝑝({𝑎}) = 0, 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 3 S
3
13. Sea p una probabilidad definida en 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Encuentra p({𝑎}) en los casos:
1 1
1) 𝑝({𝑏}) = , 𝑝({𝑐}) = 5/12
3 4
1
2) 𝑝({𝑎}) = 2 · 𝑝({𝑏}) 𝑦 𝑝({𝑐}) = 1/2
4
3) 𝑝({𝑐}) = 2 · 𝑝({𝑏}) 𝑦 𝑝({𝑏}) = 3 · 𝑝({𝑎}) 1/10
14. En la prueba final de una carrera de atletismo participan cuatro atletas que denotamos por M, N, R y C, y
solo uno de ellos puede ser el ganador. La probabilidad de que gane M es doble de la que gane C, la
probabilidad de que gane C es triple de la que gane R y la probabilidad de que gane C es la misma que la de
que gane R. ¿Cuál es la probabilidad de ganar C? 3/11
15. Un dado tetraédrico está trucado de modo que la probabilidad de obtener cualquier número es la misma
excepto la de obtener un cuatro que es doble de cualquiera de las demás. Halla la probabilidad de obtener un
cuatro. 2/5
16. Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un instituto, se sabe que el 40 % lee el
periódico y el 30 % lee alguna revista de información general.
Además, el 20 % lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante,
elegido al azar, lea el periódico o revistas? 0,5
17. En una bolsa hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Consideramos el experimento aleatorio: sacamos una bola y
anotamos el número, sin devolverla a la bolsa sacamos otra bola y anotamos su número y sin devolver esta a la
bolsa sacamos la tercera bola y anotamos su número.
Calcula la probabilidad de sacar los números en orden creciente o decreciente. 1/3
18. Se lanzan dos dados de seis caras. Halla:
1) La probabilidad de obtener un 8 al sumar las caras superiores. 5/36
2) La probabilidad de que los valores obtenidos en las caras superiores difieran en 3 unidades. 1/6
3 1 3
𝑝(𝐴) = 8 , 𝑝(𝐵) = 2 𝑦 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 4, halla
19. Si A y B son dos sucesos tales que
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) 𝑦 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅ ), 𝑝(𝐴/𝐵̅ ) 1/4 ;3/4; 1/2
3 1 3
20. Si A y B son dos sucesos tales que 𝑝(𝐴) = 8 , 𝑝(𝐵) = 2 𝑦 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 4, halla
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) 𝑦 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅ ) 1/4 ; ¼
21. Lanzamos un dado cúbico con las caras numeradas del uno al seis y leemos el número que aparece en la cara
superior. Consideramos los sucesos siguientes
𝐴 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} 𝐵 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2} 𝑦 𝐶 = {𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3}
Estudia la independencia de los sucesos: 1) A y B 2) B y C no, si
22. Se consideran dos sucesos A y B independientes. Prueba que los sucesos 𝐴̅ 𝑦 𝐵̅ son independientes.
