EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Estudia la monotonía de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 .
3
4) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 5) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−3
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4
2. Halla los extremos relativos de las funciones:
𝑥
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 + 3) 6) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +1
2) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 15𝑥 2 − 36𝑥 + 12 𝑥 2 +2
7) 𝑓(𝑥) =
8𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 · ln(𝑥)
3
ln(𝑥) 8) 𝑓(𝑥) =
1−𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 · 𝑒 −𝑥
10) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 · (𝑥 2 − 3𝑥 + 1)
3. Estudia los extremos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) en [0,2𝜋]
4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 2 5) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 14) · 𝑒 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥. 6) 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 24𝑥 2 + 80 7) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9
𝑥 2 −1
4) 𝑓(𝑥) = 8) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)
𝑥+3
5. Halla los máximos y los mínimos relativos y los puntos de inflexión de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑒 −𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑙𝑛(𝑥) − 2𝑥 3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥−𝑎
6. Determina los valores de “a” para que sea creciente 𝑓(𝑥) = .
𝑥−1
7. Halla “a” y “b” para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 tenga un mínimo en el punto (-2,-7).
8. Determina a, b y c de manera que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 tenga un mínimo en el punto (2,-9/2)
y se anula en x = 5.
9. Obtén el valor de a, b, c y d sabiendo que la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 · 𝑥 + 𝑑 tiene extremos
relativos en los puntos (-1,6) y (2,-21).
10. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 5, halla el valor de “a” para que tenga un extremo relativo cuando
x = 2.
Encuentra, en este caso, todos los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, la
curvatura y puntos de inflexión.
11. Calcula a, b, c y d para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 · 𝑥 + 𝑑 pase por el punto A(0,-1) y en
B(1,3) tenga un punto de inflexión con tangente perpendicular a la recta de ecuación 𝑥 + 2𝑦 = 3.
12. La curva 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑎 · 𝑥 2 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 corta al eje de abscisas en el punto x =1 y tiene un punto de
inflexión en (3,2). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX.
1- EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
, 13. Entre los números, cuya suma sea 36, encuentra aquellos números positivos cuya suma de cuadrados
sea mínima. 18, 18
14. Halla tres números no negativos que sumen 14, tales que uno sea el doble que el otro y que la suma de
los cuadrados de los tres sea mínima.
15. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm 3. Para la tapa y
la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/cm 2 y para hacer la base un material un 50 %
más caro. Halla las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.
16. Determina, de entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6m, el que tiene área máxima.
17. Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 cm 2. Determina el radio de
la base y la altura del cilindro para que tenga volumen máximo.
18. Halla las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que se puede inscribir en un terreno
circular de 100 metros de radio. 𝟏𝟎𝟎√𝟐𝒎𝒙𝟏𝟎𝟎√𝟐𝒎
𝑥2
19. Dada la parábola 𝑦 = , y la recta y = 9, halla las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima
3
que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
20. Se divide la longitud de un alambre de 100 m en dos segmentos. Con la longitud del primer segmento
se construye un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. ¿Cuál ha de ser la longitud de cada
segmento para que la suma de las áreas de las figuras construidas sea mínima?
21. Inscribimos un triángulo isósceles en una circunferencia de radio R. Determina las dimensiones del
triángulo de área máxima. √3𝑅
22. La fabricación de un número “x” de tabletas gráficas supone un coste total dado por la función 𝑓(𝑥) =
1500𝑥 + 1000000. Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función 𝑃(𝑥) = 4000 − 𝑥.
Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, ¿Cuál es el número que hay que producir
para obtener el beneficio máximo?
23. En cierto experimento, la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está determinada
en función del tiempo t, medido en horas, por la expresión
2 10 240
𝐶(𝑡) = + 10𝑡 + + 3 𝑡 ∈ 𝑅
3 𝑡 𝑡
Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en
el intervalo comprendido entre t=1 hora y t = 10 horas.
24. Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en una finca. Sabe que si planta 24 árboles, la
producción media de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol adicional
plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
¿Cuál debe de ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea
máxima? ¿Cuál es esa producción?
25. Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge los datos meteorológicos.
Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento que está
situada a 4 metros de la base de poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire
o por el suelo.
El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3 000 € y
el metro de cable terrestre cuesta 1 000 €. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte
terrestre para que su coste sea mínimo?
26. Un hombre se encuentra en una lancha en el punto P que dista 5 km del punto A más próximo a una
costa AB recta. Desea ir a B que dista 6 km de A en el menor tiempo posible. ¿Qué dirección llevará
si puede navegar a 2 km/h y andar a 4 km/h?
27. Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro, su volumen es de
72cm3 y la razón de dos de sus dimensiones es 1/2.
28. Se desea construir una caja abierta, de base cuadrada y 864 dm 3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser
sus dimensiones para que su superficie sea mínima?
2- EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Estudia la monotonía de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 .
3
4) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 5) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥−3
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4
2. Halla los extremos relativos de las funciones:
𝑥
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 + 3) 6) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +1
2) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 15𝑥 2 − 36𝑥 + 12 𝑥 2 +2
7) 𝑓(𝑥) =
8𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 · ln(𝑥)
3
ln(𝑥) 8) 𝑓(𝑥) =
1−𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 · 𝑒 −𝑥
10) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 · (𝑥 2 − 3𝑥 + 1)
3. Estudia los extremos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) en [0,2𝜋]
4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 2 5) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 14) · 𝑒 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥. 6) 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 24𝑥 2 + 80 7) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9
𝑥 2 −1
4) 𝑓(𝑥) = 8) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)
𝑥+3
5. Halla los máximos y los mínimos relativos y los puntos de inflexión de las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑒 −𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑙𝑛(𝑥) − 2𝑥 3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥−𝑎
6. Determina los valores de “a” para que sea creciente 𝑓(𝑥) = .
𝑥−1
7. Halla “a” y “b” para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 tenga un mínimo en el punto (-2,-7).
8. Determina a, b y c de manera que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 tenga un mínimo en el punto (2,-9/2)
y se anula en x = 5.
9. Obtén el valor de a, b, c y d sabiendo que la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 · 𝑥 + 𝑑 tiene extremos
relativos en los puntos (-1,6) y (2,-21).
10. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 5, halla el valor de “a” para que tenga un extremo relativo cuando
x = 2.
Encuentra, en este caso, todos los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, la
curvatura y puntos de inflexión.
11. Calcula a, b, c y d para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 · 𝑥 + 𝑑 pase por el punto A(0,-1) y en
B(1,3) tenga un punto de inflexión con tangente perpendicular a la recta de ecuación 𝑥 + 2𝑦 = 3.
12. La curva 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑎 · 𝑥 2 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 corta al eje de abscisas en el punto x =1 y tiene un punto de
inflexión en (3,2). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX.
1- EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
, 13. Entre los números, cuya suma sea 36, encuentra aquellos números positivos cuya suma de cuadrados
sea mínima. 18, 18
14. Halla tres números no negativos que sumen 14, tales que uno sea el doble que el otro y que la suma de
los cuadrados de los tres sea mínima.
15. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm 3. Para la tapa y
la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/cm 2 y para hacer la base un material un 50 %
más caro. Halla las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.
16. Determina, de entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6m, el que tiene área máxima.
17. Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 cm 2. Determina el radio de
la base y la altura del cilindro para que tenga volumen máximo.
18. Halla las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que se puede inscribir en un terreno
circular de 100 metros de radio. 𝟏𝟎𝟎√𝟐𝒎𝒙𝟏𝟎𝟎√𝟐𝒎
𝑥2
19. Dada la parábola 𝑦 = , y la recta y = 9, halla las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima
3
que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
20. Se divide la longitud de un alambre de 100 m en dos segmentos. Con la longitud del primer segmento
se construye un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. ¿Cuál ha de ser la longitud de cada
segmento para que la suma de las áreas de las figuras construidas sea mínima?
21. Inscribimos un triángulo isósceles en una circunferencia de radio R. Determina las dimensiones del
triángulo de área máxima. √3𝑅
22. La fabricación de un número “x” de tabletas gráficas supone un coste total dado por la función 𝑓(𝑥) =
1500𝑥 + 1000000. Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función 𝑃(𝑥) = 4000 − 𝑥.
Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, ¿Cuál es el número que hay que producir
para obtener el beneficio máximo?
23. En cierto experimento, la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está determinada
en función del tiempo t, medido en horas, por la expresión
2 10 240
𝐶(𝑡) = + 10𝑡 + + 3 𝑡 ∈ 𝑅
3 𝑡 𝑡
Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en
el intervalo comprendido entre t=1 hora y t = 10 horas.
24. Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en una finca. Sabe que si planta 24 árboles, la
producción media de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol adicional
plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
¿Cuál debe de ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea
máxima? ¿Cuál es esa producción?
25. Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge los datos meteorológicos.
Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento que está
situada a 4 metros de la base de poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire
o por el suelo.
El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3 000 € y
el metro de cable terrestre cuesta 1 000 €. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte
terrestre para que su coste sea mínimo?
26. Un hombre se encuentra en una lancha en el punto P que dista 5 km del punto A más próximo a una
costa AB recta. Desea ir a B que dista 6 km de A en el menor tiempo posible. ¿Qué dirección llevará
si puede navegar a 2 km/h y andar a 4 km/h?
27. Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro, su volumen es de
72cm3 y la razón de dos de sus dimensiones es 1/2.
28. Se desea construir una caja abierta, de base cuadrada y 864 dm 3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser
sus dimensiones para que su superficie sea mínima?
2- EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
