EJERCICIOS DE LA RECTA Y DEL PLANO
1. Expresa de todas las formas posibles, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-2,5) y tiene
por vector director 𝑣⃗ = (3,1, −2).
2. Expresa, en todas las formas posibles, la ecuación que pasa por el punto P(1,-2,5) y por el punto
Q(-2,1,0). Halla las coordenadas de un punto alineado con P y Q.
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
3. Halla las ecuaciones de la recta 𝑟 ≡ { en forma paramétrica y continua. Encuentra dos
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
puntos de esta recta y uno de sus vectores directores.
𝑥 𝑦+2
4. Escribe, en todas las formas que conozcas, las ecuaciones de la recta 𝑟 ≡ = =𝑧
2 −3
5. Expresa las ecuaciones del plano determinado por el punto P(1,2,3) y los vectores
⃗⃗ = (1,1,0) 𝑦 𝑣⃗ = (1,0,1).
𝑢 x-y-z+4=0
6. Halla las ecuaciones del plano que contiene a los puntos P(3,2,-1), Q(0,-2,5) y R(-2,4,-1).
6x+15y+13z-35=0
7. Halla la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,-1) y Q(3,0,2), y tiene como vector
director 𝑣⃗ = (1,1, −1). x-5y-4z+5=0
8. Dado el plano 𝜋 ≡ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 6 = 0, halla:
1) Tres puntos del plano. A(0,0,6), B(0,2,0), C(3,0,0)
2) Dos vectores directores del plano. ⃗⃗ = (𝟎, 𝟐, −𝟔)
𝒖 𝒚 ⃗⃗ = (𝟑, 𝟎, −𝟔)
𝒗
𝑥 = 3 − 𝜆 + 2𝜇
9. Halla la ecuación general del plano de ecuaciones paramétricas 𝜋 ≡ {𝑦 = 1 + 𝜆 − 2𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅.
𝑧 =2−𝜇
10. Averigua si los siguientes sistemas de ecuaciones representan la ecuación de un plano y, en caso de
que así sea, indica un punto y dos vectores directores de cada uno:
𝑥 = 2 + 2𝜆 𝑥 = 2 + 3𝜆 − 6𝜇
1) { 𝑦 = 3 + 𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅 si 2) { 𝑦 = 7 − 𝜆 + 2𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅 𝒏𝒐
𝑧 = −5 + 4𝜆 − 8𝜇
𝑧 = 2 + 𝜆 + 3𝜇
11. Dado el plano 𝜋 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0, determina tres puntos del plano y una ecuación vectorial.
A(1,0,0), B(3,1,0), C(-2,0,1), (x,y,z)=(1,0,0)+λ(2,1,0)+μ(-3,0,1)
12. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), halla las coordenadas del punto C, perteneciente al plano OXY
de forma que A, B y C estén alineados. C(-11/4, 17/4, 0)
13. Calcula el valor de “a” para que los cuatro puntos estén en un mismo plano A(a,0,1), B(0,1,2), C(1,2,3)
y D(7,2,1). Calcula la ecuación del plano. x-4y+3z-2=0, a=-1
𝑥 = 2 + 𝜆 + 2𝜇
14. Averigua el valor de a para que el punto A(1,5,a) pertenezca al plano {𝑦 = 3 − 2𝜆 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅
𝑧 =1−𝜆−𝜇
𝑥+3 𝑦 𝑧−1 𝑥 𝑦−2
15. Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas 𝑟 ≡ = = y 𝑠≡ = = 𝑧 − 2.
−2 3 −1 2 −3
1. Expresa de todas las formas posibles, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-2,5) y tiene
por vector director 𝑣⃗ = (3,1, −2).
2. Expresa, en todas las formas posibles, la ecuación que pasa por el punto P(1,-2,5) y por el punto
Q(-2,1,0). Halla las coordenadas de un punto alineado con P y Q.
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
3. Halla las ecuaciones de la recta 𝑟 ≡ { en forma paramétrica y continua. Encuentra dos
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
puntos de esta recta y uno de sus vectores directores.
𝑥 𝑦+2
4. Escribe, en todas las formas que conozcas, las ecuaciones de la recta 𝑟 ≡ = =𝑧
2 −3
5. Expresa las ecuaciones del plano determinado por el punto P(1,2,3) y los vectores
⃗⃗ = (1,1,0) 𝑦 𝑣⃗ = (1,0,1).
𝑢 x-y-z+4=0
6. Halla las ecuaciones del plano que contiene a los puntos P(3,2,-1), Q(0,-2,5) y R(-2,4,-1).
6x+15y+13z-35=0
7. Halla la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,-1) y Q(3,0,2), y tiene como vector
director 𝑣⃗ = (1,1, −1). x-5y-4z+5=0
8. Dado el plano 𝜋 ≡ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 6 = 0, halla:
1) Tres puntos del plano. A(0,0,6), B(0,2,0), C(3,0,0)
2) Dos vectores directores del plano. ⃗⃗ = (𝟎, 𝟐, −𝟔)
𝒖 𝒚 ⃗⃗ = (𝟑, 𝟎, −𝟔)
𝒗
𝑥 = 3 − 𝜆 + 2𝜇
9. Halla la ecuación general del plano de ecuaciones paramétricas 𝜋 ≡ {𝑦 = 1 + 𝜆 − 2𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅.
𝑧 =2−𝜇
10. Averigua si los siguientes sistemas de ecuaciones representan la ecuación de un plano y, en caso de
que así sea, indica un punto y dos vectores directores de cada uno:
𝑥 = 2 + 2𝜆 𝑥 = 2 + 3𝜆 − 6𝜇
1) { 𝑦 = 3 + 𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅 si 2) { 𝑦 = 7 − 𝜆 + 2𝜇 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅 𝒏𝒐
𝑧 = −5 + 4𝜆 − 8𝜇
𝑧 = 2 + 𝜆 + 3𝜇
11. Dado el plano 𝜋 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0, determina tres puntos del plano y una ecuación vectorial.
A(1,0,0), B(3,1,0), C(-2,0,1), (x,y,z)=(1,0,0)+λ(2,1,0)+μ(-3,0,1)
12. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), halla las coordenadas del punto C, perteneciente al plano OXY
de forma que A, B y C estén alineados. C(-11/4, 17/4, 0)
13. Calcula el valor de “a” para que los cuatro puntos estén en un mismo plano A(a,0,1), B(0,1,2), C(1,2,3)
y D(7,2,1). Calcula la ecuación del plano. x-4y+3z-2=0, a=-1
𝑥 = 2 + 𝜆 + 2𝜇
14. Averigua el valor de a para que el punto A(1,5,a) pertenezca al plano {𝑦 = 3 − 2𝜆 𝑐𝑜𝑛 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅
𝑧 =1−𝜆−𝜇
𝑥+3 𝑦 𝑧−1 𝑥 𝑦−2
15. Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas 𝑟 ≡ = = y 𝑠≡ = = 𝑧 − 2.
−2 3 −1 2 −3
