Tema-14 ECUACIÓN RECTA Y PLANO 2ºBACH

TEMA-14 ECUACIÓN DE LA RECTA Y DEL PLANO
EN EL ESPACIO

➢ En este tema consideramos el espacio real R3 y el sistema de referencia ortonormal
O, i, j, k
1. ECUACIÓN VECTORIAL Y PARAMÉTRICA DE LA RECTA.
➢ Una recta queda determinación por un punto y un vector.

➢ Para representar gráficamente una recta dada por un punto Po (xo, yo,zo) y un vector 𝑣⃗ ,
llamado vector director de la recta, tenemos que seguir estos pasos:
1) Representamos el punto Po y un representante de 𝑣⃗ con origen en el origen de
coordenadas.
2) Por el punto Po se traza una paralela a la dirección del vector 𝑣⃗ y la recta que resulta es la
buscada.

➢ La expresión 𝒓 ≡ (𝑷𝒐 , 𝒗
⃗⃗) se denomina determinación lineal de
Po
la recta.




1.1. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

➢ Quiero encontrar la ecuación de una recta, r, que pasa por el punto Po (xo, yo,zo) y tiene
como vector director 𝑣⃗ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 )

➢ Sea P (x, y, z) un punto cualquiera de la recta r.

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡 ∈ 𝑅 ̸ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑜 𝑃 = 𝑡 · 𝑣⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃𝑜 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑜 𝑃 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃𝑜 + 𝑡 · 𝑣⃗ 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅


❑ La ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto Po (xo, yo,zo) y que tiene por
vector director 𝑣⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) viene dada por la siguiente ecuación:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃𝑜 + 𝑡 · 𝑣⃗ 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) + 𝑡 · (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅

Ejemplo Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P o (2, 5, -1) y tiene por vector
director a 𝒗
⃗⃗ = (𝟏, −𝟑, 𝟒)




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,1.2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

➢ A partir de la ecuación vectorial de la recta expresada en coordenadas

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 ) + 𝑡 · (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅 ⇒
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑡 · 𝑣1
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑜 + 𝑡 · 𝑣1 , 𝑦𝑜 + 𝑡 · 𝑣2 , 𝑧𝑜 + 𝑡 · 𝑣3 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡 · 𝑣2 } 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑡 · 𝑣3


❑ Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto Po (xo, yo,zo) y que
tiene por vector director 𝑣⃗ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) vienen dadas por las siguientes ecuaciones:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑡 · 𝑣1
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡 · 𝑣2 } 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑡 · 𝑣3
Ejemplo Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P o (-1, 0,4) y tiene por
vector director a 𝒗
⃗⃗ = (−𝟏, 𝟐, 𝟑)




➢ Para determinar puntos de una recta cuando viene dada en ecuaciones paramétricas basta
con dar valores al parámetro t.
𝒙= 𝟐 − 𝒕
Ejemplo Halla dos puntos de la recta 𝒚 = −𝟑 + 𝟓 · 𝒕} 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ 𝑹
𝒛= −𝟒𝒕




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, 1.3. ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA.

➢ A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta:
𝑥 − 𝑥𝑜
𝑡=
𝑣1
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑡 · 𝑣1 𝑦 − 𝑦𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑦 − 𝑦𝑜 𝑧 − 𝑧𝑜
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡 · 𝑣2 } 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑡= ⇒ = =
𝑣1 ,𝑣2 ,𝑣3 ≠0 𝑣2 𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑡 · 𝑣3 𝑧 − 𝑧𝑜
𝑡=
𝑣3 }
❑ La ecuación continua de la recta r que pasa por el punto Po (xo, yo, zo) y que tiene por
vector director 𝑣⃗ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) , 𝑐𝑜𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ≠ 0, viene dada por la siguiente ecuación:

𝑥 − 𝑥𝑜 𝑦 − 𝑦𝑜 𝑧 − 𝑧𝑜
= =
𝑣1 𝑣2 𝑣3
Ejemplo Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto Po (-1, 7,0) y tiene por vector
director a 𝑣⃗ = (2, −3,1)




➢ No se puede utilizar la ecuación continua de la recta si alguna componente del vector
director es cero; tendríamos que dar la ecuación en forma paramétrica o implícita.
Ejemplo Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,-1,3) y tiene como vector
director 𝑣⃗ = (0,1, −3)




➢ Dos puntos, A y B, determinan una recta.
Para formar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B tomamos como
vector director, el vector 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y como punto por el que pasa la recta, o a A o a B.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑟𝐴𝐵 ≡ (𝐴; 𝐴𝐵 𝑜 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝑟𝐴𝐵 ≡ (𝐵; 𝐴𝐵

Ejemplo Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,0,4) y B(5,-2,1)




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