Tema-10 SISTEMAS ECUACIONES 2ºBACH

TEMA-10 SISTEMAS DE ECUACIONES
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1.1 DEFINICIONES.

❑ Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben
verificarse para unos mismos valores de las incógnitas.

❑ Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas tiene la siguiente
forma
𝑎11 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 · 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
{ 𝑎 21 · 𝑥1 + 𝑎 22 · 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 · 𝑥𝑛 = 𝑏2 𝑏𝑖 ∈ 𝑅 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
………………………………………………..
𝑎𝑚1 · 𝑥1 + 𝑎𝑚2 · 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 · 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 𝑥𝑗 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠


En los coeficientes aij la “i” indica la ecuación y la “j” indica a qué incógnita acompaña.

❑ Se dice que (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛 es una solución del sistema si satisface todas las ecuaciones
del sistema, es decir, si se verifica que

𝑎11 · 𝛼1 + 𝑎12 · 𝛼2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 · 𝛼𝑛 = 𝑏1
𝑎21 · 𝛼1 + 𝑎22 · 𝛼2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 · 𝛼𝑛 = 𝑏2
………………………………………………..
𝑎𝑚1 · 𝛼1 + 𝑎𝑚2 · 𝛼2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 · 𝛼𝑛 = 𝑏𝑚


❑ Todo sistema que pueda transformarse en lineal se denomina sistema de ecuaciones
lineales.

❑ Resolver un sistema de ecuaciones es el proceso que tiene por objeto hallar las soluciones
del mismo.

1.2. EXPRESIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.

1.2.1. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA.

➢ Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede escribirse matricialmente de la siguiente
forma:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑥 𝑏
𝐴 · 𝑋 = 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = ( …21 …22 … 23
… 2𝑛… ) 𝑋 = ( 2) 𝑦 𝐵 = ( 2 )
… …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑥 2 𝑏
( …21 …22 … 23
… 2𝑛… ) · ( … ) = ( …2 )
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚
Siendo A la matriz de los coeficientes o del sistema, X la matriz de las incógnitas y B la
matriz de los términos independientes.
- 1 –TEORÍA DE SISTEMAS LINEALES

, 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 4
Ejemplo −4𝑦 + 3𝑥 + 𝑧 = 0}
𝑥−𝑦 = 8


❑ Si añadimos a la matriz de los coeficientes una columna formada por los términos
independientes, obtenemos la matriz ampliada del sistema.

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎 21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2
𝐴 = ( …21 𝑎…22 𝑎…
𝑎 23 … 𝑎2𝑛 )
… … 𝐴∗ = ( … …. … )
… …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

Matriz de los coeficientes Matriz ampliada del sistema

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟒 𝟐 −𝟏 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟑 𝟒
Ejemplo −𝟒𝒚 + 𝟑𝒙 + 𝒛 = 𝟎} 𝑨 = (𝟑 −𝟒 𝟏) 𝑨∗ = (𝟑 −𝟒 𝟏 ⋮ 𝟎)
𝒙−𝒚 = 𝟖 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟖


1.2.2. EXPRESIÓN VECTORIAL DE UN SISTEMA.

➢ Si llamamos 𝐴𝑗 , 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, a la columna “j” de la matriz de los coeficientes, el sistema
se puede escribir

𝐴1 · 𝑥1 + 𝐴2 · 𝑥2 + ⋯ + 𝐴𝑛 · 𝑥𝑛 = 𝐵
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎 𝑎 𝑎 𝑏
𝐴1 = ( 21 ) , 𝐴2 = ( 22 ) , … , 𝐴𝑛 = ( 2𝑛 ) 𝑦 𝐵 = ( 2 )
… … … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎 𝑎 𝑎 𝑏
( 21 ) · 𝑥1 + ( 22 ) · 𝑥2 + … + ( 2𝑛 ) · 𝑥𝑛 = ( 2 )
… … … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 4
Ejemplo −4𝑦 + 3𝑥 + 𝑧 = 0}
𝑥−𝑦 = 8




1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES.

❑ Según el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones, éstos pueden ser:

1) Incompatibles. Son aquellos que no tienen solución.
2) Compatibles. Son aquellos que tienen alguna solución.
2-1) Determinado. Son aquellos que tienen una única solución.
2-2) Indeterminado. Son aquellos que tienen un número infinito de soluciones.
- 2 –TEORÍA DE SISTEMAS LINEALES