EJERCICIOS DE APLICACIONES DE DERIVADAS
1. Estudia la monotonía de las siguientes funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5
𝑥+3
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4
2. Estudia la monotonía de las siguientes funciones definidas a trozos:
2
1) 𝑓(𝑥) = {𝑥 −25𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
2) 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1 𝑙𝑛(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 > 2
3. Determina los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥. Min rel (1,-2), Max rel (-1,2)
4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la función
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 f cóncava (𝟐, +∞) f convexa (−∞, 𝟐); PI (2,2)
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4 · 𝑙𝑛(𝑥) f convexa (0,1) f cóncava (1,+∞); PI (5, 50+4ln(5))
5) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9
2
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 24𝑥 2 + 80
5. Estudia la monotonía, extremos relativos, la curvatura y puntos de inflexión de la función
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1) · 𝑒 −𝑥 . f crec (-∞,2) f decrec (2,+∞); máx rel (2,e-2); f cóncava (3,+∞) f convexa (-∞,3) PI (3,2e-3)
6. Determina los puntos de inflexión de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥 5 − 2 (0,-2)
7. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 2 en su punto de inflexión.
y = x + 2
8. Halla los extremos relativos de la función:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑙𝑛(𝑥) mín rel (e-1,- e-1)
𝑥 2 +1
2) 𝑓(𝑥) = máx rel (-1,-2) ; mín rel (1,2)
𝑥
3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 15𝑥 2 − 36𝑥 + 12 4) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +2
8𝑥
𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
9. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = {−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 3
𝑥−3 𝑠𝑖 𝑥≥3
f dec (-∞, 0) ∪ (2,3) f crec (0,2) ∪ (3,+∞) min (0,-1); máx (2,1)
𝑥2
10. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
Crec (-∞,-2) ∪ (-2,0) decre (0,2) ∪ (2,+∞); máx (0,0) cóncava (-∞,-2) ∪ (2,+∞) convexa (-2,2)
𝑥2
11. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2
Cre (-∞,0) ∪ (2,+∞) decrec (0,1) ∪ (1,2); max (0,0); min (2,2);convexa (-∞,1);cóncava (1,∞)
𝑥+1
12. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +𝑥−2
decreciente en su dominio; convexa (-∞,-2) ∪ (-1,1) cóncava (-2,-1) ∪ (1,+∞); PI (0,0)
1. Estudia la monotonía de las siguientes funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5
𝑥+3
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4
2. Estudia la monotonía de las siguientes funciones definidas a trozos:
2
1) 𝑓(𝑥) = {𝑥 −25𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
2) 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1 𝑙𝑛(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 > 2
3. Determina los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥. Min rel (1,-2), Max rel (-1,2)
4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la función
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 f cóncava (𝟐, +∞) f convexa (−∞, 𝟐); PI (2,2)
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4 · 𝑙𝑛(𝑥) f convexa (0,1) f cóncava (1,+∞); PI (5, 50+4ln(5))
5) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 9
2
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 24𝑥 2 + 80
5. Estudia la monotonía, extremos relativos, la curvatura y puntos de inflexión de la función
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1) · 𝑒 −𝑥 . f crec (-∞,2) f decrec (2,+∞); máx rel (2,e-2); f cóncava (3,+∞) f convexa (-∞,3) PI (3,2e-3)
6. Determina los puntos de inflexión de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥 5 − 2 (0,-2)
7. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 2 en su punto de inflexión.
y = x + 2
8. Halla los extremos relativos de la función:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 · 𝑙𝑛(𝑥) mín rel (e-1,- e-1)
𝑥 2 +1
2) 𝑓(𝑥) = máx rel (-1,-2) ; mín rel (1,2)
𝑥
3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 15𝑥 2 − 36𝑥 + 12 4) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +2
8𝑥
𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
9. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) = {−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 3
𝑥−3 𝑠𝑖 𝑥≥3
f dec (-∞, 0) ∪ (2,3) f crec (0,2) ∪ (3,+∞) min (0,-1); máx (2,1)
𝑥2
10. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
Crec (-∞,-2) ∪ (-2,0) decre (0,2) ∪ (2,+∞); máx (0,0) cóncava (-∞,-2) ∪ (2,+∞) convexa (-2,2)
𝑥2
11. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2
Cre (-∞,0) ∪ (2,+∞) decrec (0,1) ∪ (1,2); max (0,0); min (2,2);convexa (-∞,1);cóncava (1,∞)
𝑥+1
12. Estudia la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +𝑥−2
decreciente en su dominio; convexa (-∞,-2) ∪ (-1,1) cóncava (-2,-1) ∪ (1,+∞); PI (0,0)
