Tema-9.2 APLICACIONES DERIVADAS, MATEMÁTICAS 1ºBACH

9. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.
❑ Una función f es creciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par de puntos
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es decreciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par de puntos
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es estrictamente creciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par
de puntos 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es estrictamente decreciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par
de puntos 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
y y
y
Ejemplo


x x x




TEOREMA

✓ Si f es derivable en cada punto del intervalo I = (a, b ) , entonces:
1) Si f es creciente en I, f (x )  0 para cada x.
2) Si f es decreciente en I, f (x )  0 para cada x.
3) Si f es constante en I, f (x ) = 0 para cada x.

❑ Una función f es estrictamente creciente (decreciente) en el punto x = xo, si es
estrictamente creciente (estrictamente decreciente) en un entorno del punto.

➢ Por lo tanto, para determinar los puntos en los que una función crece o decrece bastará con
estudiar el signo de la derivada en cada punto (si la función derivada está definida en ese
punto).
1) f ( x 0 )  0  f es estrictamente creciente en x = x0.
2) f ( x 0 )  0  f es estrictamente decreciente en x = x0.

Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
➢ El sentido del crecimiento de una función variará con el de signo de f  (si existe). Los puntos
en los que posiblemente la derivada cambiará de signo son:

▪ Puntos de discontinuidad de la función f.
▪ Puntos en los que se anula la primera derivada de f o no existe.

estos puntos dividen el dominio de f en intervalos y/o semirrectas en los que el signo de f 
es constante.

- 17- –TEORÍA DE DERIVADAS

, y


y




x
b x
a b a c




f creciente (-∞,a)  (a,b)
f decreciente (b, +∞) f creciente (-∞,a)  (b,c)
f es discontinua en x =a f decreciente (a,b)  (c,+ ∞)
La derivada de f en x = b es cero, f’(b) = 0 f no es derivable en x =a,
f es discontinua en x = c

1
Ejemplo Estudia la monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 4 − 2𝑥 2

1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥
2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula
𝑥=0
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ { 2
𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2
3) Estudio el signo de la función derivada f 
f es creciente en (−2, 0) ∪ (2, +∞)
f es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 2)




𝟐𝒙 − 𝟏
Ejemplo Estudia la monotonía de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟗

𝑓 ′ (𝑥) = (3𝑥+9)2
21
1) Calculo la primera derivada de la función




2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula.

f (x )  0 para cualquier punto del dominio.
Por lo tanto, la función es creciente en su dominio.




- 18- –TEORÍA DE DERIVADAS

, Ejemplo Estudia la monotonía de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝒍𝒏(𝒙)

𝑓 ′ (𝑥) = 1 − 𝑥 =
1 𝑥−1
1) Calculo la primera derivada de la función
𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒
𝑥−1
2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula =0⇒𝑥−1=0⇒
𝑥
𝑥=1
3) Estudio el signo de la función derivada f 

f es creciente en (1, +)
f es decreciente en (0, 1)




𝒙
Ejemplo Estudia la monotonía de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 −𝟔𝒙−𝟏𝟔

−𝑥 2 −16
1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 2
−6𝑥−16)2




2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula f ( x ) = 0 ; la función derivada no se
anula en ningún punto, ya que − x − 16  0 para cualquier número real.
2



3) Calculo los puntos en los que la función es discontinua, es decir, en los que se anula el

denominador x 2 − 6 x − 16 = 0  x = 8 y x = −2
4) Estudio el signo de la función derivada f 

f es decreciente en todo su dominio.




- 19- –TEORÍA DE DERIVADAS