1
EJERCICIOS DEL TEMA-3 TRIGONOMETRÍA
1. En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángulo central en grados y en
radianes.
2. Dibuja todos los ángulos posibles, menores que 360 o, que verifique:
1) Su seno valga 0,8. 2) Su coseno valga -2/5. 3) Su tangente valga ½.
3. Halla las razones trigonométricas del ángulo β, sin utilizar la calculadora:
4
1) cos(𝛽) = − , 𝑐𝑜𝑛 𝛽 < 𝜋 4) del 3er cuadrante tal que 𝑠𝑒𝑐(𝛽) = −
2√3
5
3
2
2) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) = , 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑔( 𝛽) < 0 5) del 2º cuadrante tal que 𝑐𝑜𝑡 𝑔 (𝛽) = −
√3
3 3
3) 𝑡𝑔( 𝛽) = −3, 𝑐𝑜𝑛 𝛽 > 𝜋 6) del 1er cuadrante tal que 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑐(𝛽) = √2
4. ¿Puede haber un ángulo que cumpla las igualdades tg()=5 y sen()=1/2?
5. De un triángulo se sabe que sus catetos miden 7 y 24 cm. Halla su hipotenusa y sus ángulos.
∆
6. De un triángulo rectángulo, , conocemos que 𝐶̂ = 62𝑜 y que la hipotenusa a mide 1 m. Halla sus
𝐴𝐵𝐶
elementos.
7. Sabiendo que la tangente de un ángulo es dos veces su seno, que el signo de éste es positivo y el del
coseno negativo, determina a qué cuadrante pertenece el ángulo y calcula sus restantes razones
trigonométricas.
8. Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
1) 𝑠𝑒𝑛(150𝑜 ) 4) 𝑐𝑜𝑠(225𝑜 ) 7) 𝑐𝑜𝑡𝑔(340𝑜 )
2) 𝑐𝑜𝑠(135𝑜 ) 5) 𝑠𝑒𝑛(315𝑜 ) 8) 𝑠𝑒𝑐(200𝑜 )
3) 𝑡𝑔(210𝑜 ) 6) 𝑡𝑔(120𝑜 ) 9) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(290𝑜 )
9. Si 𝑠𝑒𝑛(18𝑜 ) = 0,309 𝑦 𝑐𝑜𝑠(18𝑜 ) = 0,951, calcula:
1) 𝑠𝑒𝑛(72𝑜 ) 4) 𝑠𝑒𝑐(𝜋 + 18𝑜 ) 6) 𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
− 18𝑜 )
2
2) 𝑐𝑜𝑠(162𝑜 ) 𝜋
5) 𝑡𝑔 ( + 18𝑜 ) 3𝜋
2 7) 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( + 18𝑜 )
2
3) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(−72 𝑜)
1
10. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = y que 𝛼 es un ángulo agudo, determina estas razones trigonométricas:
4
1) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝛼) 4) 𝑐𝑜𝑡𝑔(720𝑜 − 𝛼) 6) 𝑠𝑒𝑐 ( + 𝛼)
𝜋
2
2) 𝑡𝑔(−𝛼) 𝜋
5) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ( − 𝛼) 7) 𝑠𝑒𝑛(1440𝑜 + 𝛼)
2
3) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼)
5 𝜋
11. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) = y que < 𝑥 < 𝜋, sin hallar previamente el valor de x, calcula:
2 2
1) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + )
𝜋
2) 𝑡𝑔 (𝑥 − )
𝜋
3) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
4 3
Expresa el resultado con radicales.
, 2
12. Halla el sen(3α) y cos(3α) en función de α.
𝜋
13. Demuestra que si 𝐴 + 𝐵 = , entonces (𝑠𝑒𝑛(𝐴) + 𝑠𝑒𝑛(𝐵)) ⋅ (𝑐𝑜𝑠(𝐴) + 𝑐𝑜𝑠(𝐵)) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝐴)
2
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
14. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠 ( ) = , calcula: 𝑎) 𝑠𝑒𝑛 ( )
√2
𝑏) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑐) 𝑡𝑔 ( ).
4 2 8 8 8
3 3𝜋
15. Sabiendo que 𝑡𝑔(𝑥) = y que > 𝑥 > 𝜋, sin hallar previamente el valor de x, calcula:
4 2
𝜋 𝜋 𝑥
1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + ) 2) 𝑡𝑔 (𝑥 + ) 3) 𝑐𝑜𝑠 ( )
4 6 2
Expresa el resultado con radicales.
16. Calcula las razones trigonométricas de 76 o y 19o, sabiendo que 𝑠𝑒𝑛(38𝑜 ) = 0,6157 𝑦 𝑐𝑜𝑠(38𝑜 ) = 0,788
17. Simplifica las siguientes expresiones:
2 𝑐𝑜𝑠(45+𝑥) ·𝑐𝑜𝑠(45−𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥)
1) 6)
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
7) 𝑠𝑒𝑐(𝑥)[𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)] − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
2) 2𝑡𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 ( ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
3) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 120𝑜 ) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 120𝑜 ) 8) 𝑠𝑒𝑛4 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 4 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)
[1+ cos (𝑥)]2 +[1− cos (𝑥)]2
4) 2 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 9)
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5)
1−2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
18. Demuestra las siguientes igualdades:
𝑐𝑜𝑠(𝑎+𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎−𝑏) 1 2𝑡𝑔(𝑥)
1) = 6) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑎+𝑏)+ 𝑠𝑒𝑛(𝑎−𝑏) 𝑡𝑔(𝑎) 1 + 𝑡𝑔2 (𝑥)
2𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1 −𝑐𝑜𝑠(𝛼) 7) 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)
2) =
2𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1+𝑐𝑜𝑠(𝛼) 1 1
8) + = 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)
𝛼 1−𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
3) 2𝑡𝑔(𝛼) · 𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼)
2
2 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
9) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) · 𝑡𝑔(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑡𝑔(2𝑥)
4) · 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
10) − = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
5)
1−2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
3
19. Si 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = − 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝛼) < 0, calcula:
5
1) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝛼) 3) 𝑡𝑔(𝛼/2) 5) 𝑡𝑔(𝜋 − 𝛼)
2) 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 𝜋
4) 𝑠𝑒𝑛 ( − 𝛼) 6) 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + )
𝜋
2 6
20. Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛿 son los tres ángulos de un triángulo, demuestra las siguientes igualdades:
1) 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛿) = 0
2) 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) + 𝑡𝑔(𝛿) = 0
3) 𝑡𝑔(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛽) + 𝑡𝑔(𝛿) = 𝑡𝑔(𝛼) · 𝑡𝑔(𝛽) · 𝑡𝑔(𝛿)
EJERCICIOS DEL TEMA-3 TRIGONOMETRÍA
1. En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángulo central en grados y en
radianes.
2. Dibuja todos los ángulos posibles, menores que 360 o, que verifique:
1) Su seno valga 0,8. 2) Su coseno valga -2/5. 3) Su tangente valga ½.
3. Halla las razones trigonométricas del ángulo β, sin utilizar la calculadora:
4
1) cos(𝛽) = − , 𝑐𝑜𝑛 𝛽 < 𝜋 4) del 3er cuadrante tal que 𝑠𝑒𝑐(𝛽) = −
2√3
5
3
2
2) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) = , 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑔( 𝛽) < 0 5) del 2º cuadrante tal que 𝑐𝑜𝑡 𝑔 (𝛽) = −
√3
3 3
3) 𝑡𝑔( 𝛽) = −3, 𝑐𝑜𝑛 𝛽 > 𝜋 6) del 1er cuadrante tal que 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑐(𝛽) = √2
4. ¿Puede haber un ángulo que cumpla las igualdades tg()=5 y sen()=1/2?
5. De un triángulo se sabe que sus catetos miden 7 y 24 cm. Halla su hipotenusa y sus ángulos.
∆
6. De un triángulo rectángulo, , conocemos que 𝐶̂ = 62𝑜 y que la hipotenusa a mide 1 m. Halla sus
𝐴𝐵𝐶
elementos.
7. Sabiendo que la tangente de un ángulo es dos veces su seno, que el signo de éste es positivo y el del
coseno negativo, determina a qué cuadrante pertenece el ángulo y calcula sus restantes razones
trigonométricas.
8. Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
1) 𝑠𝑒𝑛(150𝑜 ) 4) 𝑐𝑜𝑠(225𝑜 ) 7) 𝑐𝑜𝑡𝑔(340𝑜 )
2) 𝑐𝑜𝑠(135𝑜 ) 5) 𝑠𝑒𝑛(315𝑜 ) 8) 𝑠𝑒𝑐(200𝑜 )
3) 𝑡𝑔(210𝑜 ) 6) 𝑡𝑔(120𝑜 ) 9) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(290𝑜 )
9. Si 𝑠𝑒𝑛(18𝑜 ) = 0,309 𝑦 𝑐𝑜𝑠(18𝑜 ) = 0,951, calcula:
1) 𝑠𝑒𝑛(72𝑜 ) 4) 𝑠𝑒𝑐(𝜋 + 18𝑜 ) 6) 𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
− 18𝑜 )
2
2) 𝑐𝑜𝑠(162𝑜 ) 𝜋
5) 𝑡𝑔 ( + 18𝑜 ) 3𝜋
2 7) 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( + 18𝑜 )
2
3) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(−72 𝑜)
1
10. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = y que 𝛼 es un ángulo agudo, determina estas razones trigonométricas:
4
1) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝛼) 4) 𝑐𝑜𝑡𝑔(720𝑜 − 𝛼) 6) 𝑠𝑒𝑐 ( + 𝛼)
𝜋
2
2) 𝑡𝑔(−𝛼) 𝜋
5) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ( − 𝛼) 7) 𝑠𝑒𝑛(1440𝑜 + 𝛼)
2
3) 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼)
5 𝜋
11. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) = y que < 𝑥 < 𝜋, sin hallar previamente el valor de x, calcula:
2 2
1) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + )
𝜋
2) 𝑡𝑔 (𝑥 − )
𝜋
3) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
4 3
Expresa el resultado con radicales.
, 2
12. Halla el sen(3α) y cos(3α) en función de α.
𝜋
13. Demuestra que si 𝐴 + 𝐵 = , entonces (𝑠𝑒𝑛(𝐴) + 𝑠𝑒𝑛(𝐵)) ⋅ (𝑐𝑜𝑠(𝐴) + 𝑐𝑜𝑠(𝐵)) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝐴)
2
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
14. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠 ( ) = , calcula: 𝑎) 𝑠𝑒𝑛 ( )
√2
𝑏) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑐) 𝑡𝑔 ( ).
4 2 8 8 8
3 3𝜋
15. Sabiendo que 𝑡𝑔(𝑥) = y que > 𝑥 > 𝜋, sin hallar previamente el valor de x, calcula:
4 2
𝜋 𝜋 𝑥
1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + ) 2) 𝑡𝑔 (𝑥 + ) 3) 𝑐𝑜𝑠 ( )
4 6 2
Expresa el resultado con radicales.
16. Calcula las razones trigonométricas de 76 o y 19o, sabiendo que 𝑠𝑒𝑛(38𝑜 ) = 0,6157 𝑦 𝑐𝑜𝑠(38𝑜 ) = 0,788
17. Simplifica las siguientes expresiones:
2 𝑐𝑜𝑠(45+𝑥) ·𝑐𝑜𝑠(45−𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥)
1) 6)
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
7) 𝑠𝑒𝑐(𝑥)[𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)] − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
2) 2𝑡𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 ( ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
3) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 120𝑜 ) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 120𝑜 ) 8) 𝑠𝑒𝑛4 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 4 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)
[1+ cos (𝑥)]2 +[1− cos (𝑥)]2
4) 2 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 9)
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5)
1−2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
18. Demuestra las siguientes igualdades:
𝑐𝑜𝑠(𝑎+𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎−𝑏) 1 2𝑡𝑔(𝑥)
1) = 6) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑎+𝑏)+ 𝑠𝑒𝑛(𝑎−𝑏) 𝑡𝑔(𝑎) 1 + 𝑡𝑔2 (𝑥)
2𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1 −𝑐𝑜𝑠(𝛼) 7) 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) · 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)
2) =
2𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1+𝑐𝑜𝑠(𝛼) 1 1
8) + = 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)
𝛼 1−𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
3) 2𝑡𝑔(𝛼) · 𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼)
2
2 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
9) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) · 𝑡𝑔(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑡𝑔(2𝑥)
4) · 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
10) − = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
5)
1−2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
3
19. Si 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = − 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝛼) < 0, calcula:
5
1) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝛼) 3) 𝑡𝑔(𝛼/2) 5) 𝑡𝑔(𝜋 − 𝛼)
2) 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 𝜋
4) 𝑠𝑒𝑛 ( − 𝛼) 6) 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + )
𝜋
2 6
20. Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛿 son los tres ángulos de un triángulo, demuestra las siguientes igualdades:
1) 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛿) = 0
2) 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) + 𝑡𝑔(𝛿) = 0
3) 𝑡𝑔(𝛼) + 𝑡𝑔(𝛽) + 𝑡𝑔(𝛿) = 𝑡𝑔(𝛼) · 𝑡𝑔(𝛽) · 𝑡𝑔(𝛿)
