EJERCICIOS DEL TEMA-2
1. Determina el término que se indica en los desarrollos:
10
𝑥2
1) Séptimo término de ( + 4)
2
2) Décimo término de (3𝑥 − 2)15
3 12
3) Término central de (3𝑥 + )
𝑥
2 10
4) Término que contiene 𝑥11 en ( − 𝑥 2 )
𝑥
2. El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1 792 𝑥 2 𝑦12 y 1 024 𝑥𝑦14 ,
respectivamente. Intenta descubrir de qué binomio hemos calculado una potencia.
3. ¿Cuánto vale “m” para que x = 2 sea una raíz del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑚?
4. Factoriza los siguientes polinomios:
1) 𝑃(𝑥) = 2 𝑥 3 + 𝑥 2 − 7𝑥 − 6
2) 𝑄(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 4𝑥 2 − 12𝑥
3) 𝑃(𝑥) = 18 − 16𝑥 2 − 2𝑥 4
1
5. Calcula el valor de “a” para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 6 sea múltiplo de (𝑥 − )
2
6. Halla el valor de “a” para que el resto de la división (𝑥 5 − 4𝑥 3 − 𝑎𝑥): (𝑥 + √3) sea 5√3.
7. Halla el valor del parámetro “a” para que al dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑝 por
(𝑥 + 2) se obtenga el mismo resto que al dividirlo por (𝑥 − 1).
𝑥2 + 𝑥 𝑥 2 − 3𝑥
8. Comprueba si estas dos fracciones algebraicas son equivalentes 𝑦
𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 − 5𝑥 + 6
9. Obtén la fracción algebraica irreducible:
𝑥 4 +2𝑥 3 +𝑥 2 +2𝑥 5𝑥 2 −15𝑥 𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥−2
1) 4) 8)
𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥−2 10𝑥 3 +15𝑥 2 𝑥 3 −3𝑥+2
𝑥 4 +𝑥 3 −2𝑥 2 2𝑥−4 𝑥 3 −𝑦 3
2) 5) 9)
𝑥 3 +2𝑥 2 −5𝑥−6 𝑥 2 −4𝑥+4 (𝑥 2 −𝑦 2 )·(𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦 2 )
2𝑥 3 −7𝑥 2 +8𝑥−3 6−𝑥−𝑥 2 𝑥𝑦−3𝑦+𝑥−3
3) 6) 10)
𝑥 4 −𝑥 3 −2𝑥 2 +3𝑥−1 𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥𝑦−3𝑦
𝑥 3 −𝑥 2 −8𝑥+12
7)
𝑥 3 −6𝑥 2 +2𝑥+12
10. Efectúa las siguientes operaciones y obtén la fracción irreducible:
1 3𝑥−10 2𝑥−7 1 1
1) 𝑥−3 + 𝑥 2 −6𝑥+8 − 𝑥−4
4) 𝑥−𝑦 ∶ 𝑥 2 +𝑦 2 −2𝑥𝑦
𝑥 2 −1 𝑥 2 −4 𝑥 2 −9 6 4 16
2) · · 5) 2+𝑥 − 2−𝑥 + 𝑥 2−4
𝑥+3 𝑥−1 𝑥+2
𝑥 3 −𝑥 4𝑥+4 𝑥+𝑦 𝑥 2 −𝑦 2 2𝑥𝑦
3) 2𝑥−4 ∶ 6) 𝑦−𝑥 + 𝑥 2+𝑦2−2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦−3𝑦2
3𝑥−6
, 2
2𝑥 2 −𝑥 2𝑥 12𝑥 1 1
7) + + 20) (𝑥 2 − 𝑦 2 ) ∶ ( + )
𝑥+3 𝑥−3 9−𝑥 2 𝑥 𝑦
𝑥2+ 𝑥 𝑥 1 8𝑥 3 −28𝑥 2 +24𝑥 4𝑥 2 −4𝑥−3
8) 𝑥2 +1
· (𝑥−1 − 𝑥+1) 21) ∶
𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 3 +3𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥2 𝑥 2𝑥+1
9) (𝑥 + 1 − 𝑥−1) : (1 − 𝑥−1)
𝑥−1
𝑥2 −2𝑥
22) 1+ 1 𝑥
𝑥 2 − 1+2𝑥 𝑥−1
+ 𝑥+1
10) 𝑥·(𝑥−2) (𝑥−1)2 2−𝑥
1+ 1+2𝑥 23) (𝑥 + 2−𝑥
)· 2
𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥2
11) 2𝑥+6
∶
−3𝑥−9
𝑥−
𝑥−𝑦
𝑥 2 −6𝑥+5 2𝑥 2 −8 2𝑥−10
24) 𝑦2
12) 𝑥 2 +5𝑥+6
·
𝑥 2 −𝑥
∶
𝑥 2 +3𝑥
𝑦−
𝑥+𝑦
𝑥 𝑥 1
13) (𝑥 + 𝑥−1) ∶ (𝑥 − 𝑥−1) 1+𝑥 𝑥+1
𝑥 3 +9𝑥
25) 1 ∶
𝑥 3 1+ 𝑥+2
14) (3 − 𝑥 ) · 𝑥−3
𝑥+1
𝑥−2
1 𝑥 1+𝑥+2
− 26) −1
1+𝑥 1−𝑥2 𝑥+2
15) 𝑥−2𝑥2 𝑥−2
1−𝑥 2 1 3 2𝑥
𝑥−𝑎 𝑥2 +𝑎2
27) ·( + ) − 𝑥+2
− 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+1
𝑥+𝑎 𝑥2 −𝑎2 2 4𝑥 𝑥+3 2𝑥−5
16) 𝑥−𝑎 2 28) · − +
(𝑥+𝑎) −1 𝑥+2 𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥+1
2𝑥 2 +1 5 4
1 1 𝑥 2 +𝑥 29) 𝑥 2 −2𝑥−3
+ −
17) (𝑥 − 𝑥+1) · 𝑥−1
𝑥−3 3𝑥
𝑥 2 −4𝑥+4 𝑥−2
𝑥2 𝑥 30) ∶
18) ∶ 𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 3 +3𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥 3 −1 1−𝑥
1 2𝑥 3−𝑥
19) 𝑥−1
−
𝑥+1
−
1−𝑥 2
11. Descompón las siguientes fracciones algebraicas en suma de fracciones simples:
5𝑥−4 2𝑥 2 −10𝑥+20 3𝑥 2 −12𝑥−6
1) 7) 12)(𝑥+2)·(𝑥+1)2
𝑥 2 −𝑥−2 𝑥 3 −2𝑥 2 −4𝑥+8
𝑥 3 +8𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 +1 5𝑥 2 −𝑥+12
2) 8) 13)
𝑥 4 −𝑥 3 −𝑥 2 −𝑥−2 𝑥+1 𝑥 3 +4𝑥
5𝑥+2 2𝑥−1 𝑥+3
3) 9) 14)
3𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥 2 +1
4𝑥 2 +5 2𝑥 3 +𝑥 2 −2𝑥−2 𝑥+1
4) 10) 15)
𝑥 3 −𝑥 2 +2𝑥−2 𝑥 2 +𝑥 𝑥·(𝑥+2)2
−2𝑥 2 +2𝑥−4 2−𝑥−𝑥 2 3
5) 11) 16)(𝑥+1)·(𝑥−1)
𝑥 3 −4𝑥 𝑥 2 −2𝑥+1
2𝑥+10
6)
𝑥 3 −2𝑥 2 +3𝑥−6
1. Determina el término que se indica en los desarrollos:
10
𝑥2
1) Séptimo término de ( + 4)
2
2) Décimo término de (3𝑥 − 2)15
3 12
3) Término central de (3𝑥 + )
𝑥
2 10
4) Término que contiene 𝑥11 en ( − 𝑥 2 )
𝑥
2. El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1 792 𝑥 2 𝑦12 y 1 024 𝑥𝑦14 ,
respectivamente. Intenta descubrir de qué binomio hemos calculado una potencia.
3. ¿Cuánto vale “m” para que x = 2 sea una raíz del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑚?
4. Factoriza los siguientes polinomios:
1) 𝑃(𝑥) = 2 𝑥 3 + 𝑥 2 − 7𝑥 − 6
2) 𝑄(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 4𝑥 2 − 12𝑥
3) 𝑃(𝑥) = 18 − 16𝑥 2 − 2𝑥 4
1
5. Calcula el valor de “a” para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 6 sea múltiplo de (𝑥 − )
2
6. Halla el valor de “a” para que el resto de la división (𝑥 5 − 4𝑥 3 − 𝑎𝑥): (𝑥 + √3) sea 5√3.
7. Halla el valor del parámetro “a” para que al dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑝 por
(𝑥 + 2) se obtenga el mismo resto que al dividirlo por (𝑥 − 1).
𝑥2 + 𝑥 𝑥 2 − 3𝑥
8. Comprueba si estas dos fracciones algebraicas son equivalentes 𝑦
𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 − 5𝑥 + 6
9. Obtén la fracción algebraica irreducible:
𝑥 4 +2𝑥 3 +𝑥 2 +2𝑥 5𝑥 2 −15𝑥 𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥−2
1) 4) 8)
𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥−2 10𝑥 3 +15𝑥 2 𝑥 3 −3𝑥+2
𝑥 4 +𝑥 3 −2𝑥 2 2𝑥−4 𝑥 3 −𝑦 3
2) 5) 9)
𝑥 3 +2𝑥 2 −5𝑥−6 𝑥 2 −4𝑥+4 (𝑥 2 −𝑦 2 )·(𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦 2 )
2𝑥 3 −7𝑥 2 +8𝑥−3 6−𝑥−𝑥 2 𝑥𝑦−3𝑦+𝑥−3
3) 6) 10)
𝑥 4 −𝑥 3 −2𝑥 2 +3𝑥−1 𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥𝑦−3𝑦
𝑥 3 −𝑥 2 −8𝑥+12
7)
𝑥 3 −6𝑥 2 +2𝑥+12
10. Efectúa las siguientes operaciones y obtén la fracción irreducible:
1 3𝑥−10 2𝑥−7 1 1
1) 𝑥−3 + 𝑥 2 −6𝑥+8 − 𝑥−4
4) 𝑥−𝑦 ∶ 𝑥 2 +𝑦 2 −2𝑥𝑦
𝑥 2 −1 𝑥 2 −4 𝑥 2 −9 6 4 16
2) · · 5) 2+𝑥 − 2−𝑥 + 𝑥 2−4
𝑥+3 𝑥−1 𝑥+2
𝑥 3 −𝑥 4𝑥+4 𝑥+𝑦 𝑥 2 −𝑦 2 2𝑥𝑦
3) 2𝑥−4 ∶ 6) 𝑦−𝑥 + 𝑥 2+𝑦2−2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦−3𝑦2
3𝑥−6
, 2
2𝑥 2 −𝑥 2𝑥 12𝑥 1 1
7) + + 20) (𝑥 2 − 𝑦 2 ) ∶ ( + )
𝑥+3 𝑥−3 9−𝑥 2 𝑥 𝑦
𝑥2+ 𝑥 𝑥 1 8𝑥 3 −28𝑥 2 +24𝑥 4𝑥 2 −4𝑥−3
8) 𝑥2 +1
· (𝑥−1 − 𝑥+1) 21) ∶
𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 3 +3𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥2 𝑥 2𝑥+1
9) (𝑥 + 1 − 𝑥−1) : (1 − 𝑥−1)
𝑥−1
𝑥2 −2𝑥
22) 1+ 1 𝑥
𝑥 2 − 1+2𝑥 𝑥−1
+ 𝑥+1
10) 𝑥·(𝑥−2) (𝑥−1)2 2−𝑥
1+ 1+2𝑥 23) (𝑥 + 2−𝑥
)· 2
𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥2
11) 2𝑥+6
∶
−3𝑥−9
𝑥−
𝑥−𝑦
𝑥 2 −6𝑥+5 2𝑥 2 −8 2𝑥−10
24) 𝑦2
12) 𝑥 2 +5𝑥+6
·
𝑥 2 −𝑥
∶
𝑥 2 +3𝑥
𝑦−
𝑥+𝑦
𝑥 𝑥 1
13) (𝑥 + 𝑥−1) ∶ (𝑥 − 𝑥−1) 1+𝑥 𝑥+1
𝑥 3 +9𝑥
25) 1 ∶
𝑥 3 1+ 𝑥+2
14) (3 − 𝑥 ) · 𝑥−3
𝑥+1
𝑥−2
1 𝑥 1+𝑥+2
− 26) −1
1+𝑥 1−𝑥2 𝑥+2
15) 𝑥−2𝑥2 𝑥−2
1−𝑥 2 1 3 2𝑥
𝑥−𝑎 𝑥2 +𝑎2
27) ·( + ) − 𝑥+2
− 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+1
𝑥+𝑎 𝑥2 −𝑎2 2 4𝑥 𝑥+3 2𝑥−5
16) 𝑥−𝑎 2 28) · − +
(𝑥+𝑎) −1 𝑥+2 𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥+1
2𝑥 2 +1 5 4
1 1 𝑥 2 +𝑥 29) 𝑥 2 −2𝑥−3
+ −
17) (𝑥 − 𝑥+1) · 𝑥−1
𝑥−3 3𝑥
𝑥 2 −4𝑥+4 𝑥−2
𝑥2 𝑥 30) ∶
18) ∶ 𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 3 +3𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥 3 −1 1−𝑥
1 2𝑥 3−𝑥
19) 𝑥−1
−
𝑥+1
−
1−𝑥 2
11. Descompón las siguientes fracciones algebraicas en suma de fracciones simples:
5𝑥−4 2𝑥 2 −10𝑥+20 3𝑥 2 −12𝑥−6
1) 7) 12)(𝑥+2)·(𝑥+1)2
𝑥 2 −𝑥−2 𝑥 3 −2𝑥 2 −4𝑥+8
𝑥 3 +8𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 +1 5𝑥 2 −𝑥+12
2) 8) 13)
𝑥 4 −𝑥 3 −𝑥 2 −𝑥−2 𝑥+1 𝑥 3 +4𝑥
5𝑥+2 2𝑥−1 𝑥+3
3) 9) 14)
3𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥 2 +1
4𝑥 2 +5 2𝑥 3 +𝑥 2 −2𝑥−2 𝑥+1
4) 10) 15)
𝑥 3 −𝑥 2 +2𝑥−2 𝑥 2 +𝑥 𝑥·(𝑥+2)2
−2𝑥 2 +2𝑥−4 2−𝑥−𝑥 2 3
5) 11) 16)(𝑥+1)·(𝑥−1)
𝑥 3 −4𝑥 𝑥 2 −2𝑥+1
2𝑥+10
6)
𝑥 3 −2𝑥 2 +3𝑥−6
