Apuntes Completos de Números Complejos: Teoría, Operaciones y Formas (Polar y Binómica)

pág. 1

, INDICE
1. DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Y FORMA BINÓMICA ................................................................. 3

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................... 3
Explicación simplificada ........................................................................................................... 4

2. EL CONJUGADO Y OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA .................................................................... 5

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................... 5
Explicación simplificada ........................................................................................................... 6

2. EL CONJUGADO Y OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA .................................................................... 8

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................... 8
Explicación simplificada ........................................................................................................... 9

3. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA, MÓDULO Y ARGUMENTO .............................................................. 11

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................. 11
Explicación simplificada ......................................................................................................... 11

4. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ................................................................... 14

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................. 14
Explicación simplificada ......................................................................................................... 14

5. FORMA EXPONENCIAL Y OPERACIONES DE POTENCIAS Y RAÍCES ...................................................... 16

DEFINICIÓN FORMAL (NIVEL MATEMÁTICO) ............................................................................................. 16
Explicación simplificada ......................................................................................................... 16




pág. 2

,Esta es la guía estructurada, con un formato el cual combinamos el rigor formal propio del
nivel de Ingeniería con explicaciones intuitivas y desarrollo detallado paso a paso para facilitar
su estudio.


1. Definición de Número Complejo y Forma Binómica
Definición formal (nivel matemático)

Un número complejo z se define como una expresión de la forma:
z=a+ib

donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑖 representa la unidad imaginaria, la cual satisface la propiedad fundamental:

i2 =-1 o bien ( i=√-1)

El número a se denomina parte real de z y se denota como 𝑹𝒆(𝒛) = 𝒂. El número 𝑏 se
denomina parte imaginaria de z y se denota como Im(z)=b.

El conjunto de todos los números complejos se representa con el símbolo ℂ.

Si Im(z)=0, el número se reduce a un número real puro (z=a);

Si Re(z)=0 y b≠0, se denomina imaginario puro (z=ib).
pág. 3

, Esta forma de representación se conoce como forma binómica.

Explicación simplificada
Imagina que hasta ahora solo conocías los números que se pueden medir en una línea recta (los
números reales).

Sin embargo, ecuaciones sencillas como x2 +1=0 no tienen solución en ese mundo porque ningún
número real multiplicado por sí mismo da negativo. Para solucionar esto, los matemáticos
"inventaron" una nueva entidad: la unidad imaginaria i, cuyo cuadrado es -1.

Un número complejo es como una coordenada o una combinación híbrida: tiene una parte
anclada en el mundo real (Re(z)) y otra parte en el mundo imaginario (Im(z)). Es una extensión
que da superpoderes al álgebra, permitiendo resolver cualquier ecuación polinómica.

Desglose de fórmulas

• z=a+ib

o z: El número complejo global.
o a: Un número real que representa la componente real.
o b: Un número real que acompaña a la 𝑖, representando la magnitud de la
componente imaginaria.

o i: La unidad imaginaria (√-1).
• Cuando y por qué se utiliza: Se utiliza siempre que necesitemos realizar sumas y restas
de forma directa, ya que permite operar por separado las componentes reales y las
imaginarias, actuando de forma análoga a los vectores en un plano binario.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1

Enunciado: Identifica la parte real e imaginaria del número complejo z=-3+4i, e indica qué tipo
de número es.

1. Observamos la estructura z=a+ib.

2. El término independiente de la unidad imaginaria es -3. Por lo tanto, Re(z)=-3.

3. El coeficiente real que multiplica a la unidad imaginaria i es 4. Por lo tanto, Im(z)=4.


pág. 4