PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS:
figura 1
1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia
se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1)
T O1
Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra
circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última, O2
O1
lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el punto O2
de tangencia y prolongar. T
En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que
son tangentes a la primera. figura 2
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
TANGENTES EXTERIORES
O1O2 = r1-r2
O1O2 = r1+r2
2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a la tangente.
figura 3 figura 2
T
Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta por
O1
un punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar Se pueden hacer exteriores o interiores.
una perpendicular por este punto a la recta.
figura 4
Mediatriz PT
figura 3
figura 5 P figura 7
O1
figura 4
P
r
90º t t O1
T T T T
3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistan
de otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier Primer paso
circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo
forman. figura 5
figura 6
figura 7
4. El centro de cualquier circunferencia tangente
a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo O1 Mediatriz PT
que lo forman. figura 6
r P
t
O1
T
Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:
T
- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T de
tangencia de ésta y pon un punto P exterior. figura 7
1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T
2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatriz Segundo paso
con la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada.
ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas con
rectas, creando un enlace continuo o curva continua.
Posiciones relativas de dos circunferencias.
O1 O2
O1 O2
T T r2
r1 O1
O3 r r1 O1
r2 O2
Posiciones relativas de recta y circunferencia. t Exteriores
Secantes
B
r O1
O1
O1 r2
r1 r1
r O
r O1 r2 O2
t A
T
t Tangentes Secantes Interiores Interiores
Exteriores
Fecha Nombre alumno Curso:
N. lámina Nombre lámina Nota:
Posición relativa rectas y circunferencias. TANGENCIAS
figura 1
1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia
se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1)
T O1
Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra
circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última, O2
O1
lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el punto O2
de tangencia y prolongar. T
En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que
son tangentes a la primera. figura 2
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
TANGENTES EXTERIORES
O1O2 = r1-r2
O1O2 = r1+r2
2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a la tangente.
figura 3 figura 2
T
Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta por
O1
un punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar Se pueden hacer exteriores o interiores.
una perpendicular por este punto a la recta.
figura 4
Mediatriz PT
figura 3
figura 5 P figura 7
O1
figura 4
P
r
90º t t O1
T T T T
3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistan
de otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier Primer paso
circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo
forman. figura 5
figura 6
figura 7
4. El centro de cualquier circunferencia tangente
a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo O1 Mediatriz PT
que lo forman. figura 6
r P
t
O1
T
Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:
T
- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T de
tangencia de ésta y pon un punto P exterior. figura 7
1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T
2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatriz Segundo paso
con la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada.
ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas con
rectas, creando un enlace continuo o curva continua.
Posiciones relativas de dos circunferencias.
O1 O2
O1 O2
T T r2
r1 O1
O3 r r1 O1
r2 O2
Posiciones relativas de recta y circunferencia. t Exteriores
Secantes
B
r O1
O1
O1 r2
r1 r1
r O
r O1 r2 O2
t A
T
t Tangentes Secantes Interiores Interiores
Exteriores
Fecha Nombre alumno Curso:
N. lámina Nombre lámina Nota:
Posición relativa rectas y circunferencias. TANGENCIAS
