Graad 11 Wiskunde Hersiening Vraestel 1 en 2

, Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Aard van Wortels
GETALLE AARD: Verwys na die tipe getalle wat die wortels is.
Nie-reëel (R’)
(word somtyds na verwys as denkbeeldige getalle) WORTELS: Die x-afsnitte/oplossings/nulpunte van die kwadratiese vergelyking.
Reëel (R) Twee reële wortels Een reële wortel Geen reële wortels

Rasionaal (Q) Irrasionaal (Q’) y y y
Heelgetalle en breuke
VOORBEELD:
Heelgetalle (Z)
Positiewe en negatiewe heelgetalle π
2
Heelgetalle (N0) x
0+N Alle desimale getalle x x
wat nie as ‘n breuk
Natuurlike getalle (N) geskryf kan word nie.
1, 2, 3...
OF OF OF
y y y

x
x x

KWADRATIESE FORMULE DIE DISKRIMINANT

−b ± b 2 − 4ac
x= −b ± b 2 − 4ac
2a x=
2a
a = die koëffisient van x2 BEPALING VAN DIE AARD VAN WORTELS
b = die koëffisient van x aangedui deur Δ .
c = die konstante term
Die DISKRIMINANT word gebruik om die aard van wortels te bepaal.
2
∴ Δ = b − 4ac
Dit word gebruik om kwadratiese vergelykings Δ
te faktoriseer.
VOORBEELD: VOORBEELD:
Δ<0 Δ≥0
Nie-reële Reële
3x 2 + 2x − 4 = 0 3x 2 + 2x − 4 = 0 wortels wortels
a = 3
a = 3
b = 2
b = 2
c = −4 c = −4 Δ>0 Δ=0
2 ongelyke 2 gelyke,
wortels reële wortels
−b ± b 2 − 4ac Δ = b 2 − 4a c
x =
2a Δ = (2)2 − 4(3)(−4)
−(2) ± (2) 2 − 4(3)(− 4) Bepaal die waarde van Δ Δ = volkome vierkant Δ ≠ volkome vierkant
x = rasionale wortels irrasionale wortels
2(3)
Los op vir x


l. 2

,Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Aard van Wortels
DISKRIMINANT b2 - 4 a c
VOORBEELDE AARD VAN WORTELS AANTAL REËLE WORTELS
(∆ = b2 - 4ac)
a>0 a<0

y y

x2 + x + 1 = 0 Δ= b2 – 4ac x
= (1)2 – 4(1)(1)
= 1–4 Nie-reëel 0
= –3
a b c Δ< 0 x



y y

x2 – 6x + 9 = 0 Δ= b2 – 4ac x
Reëel (Δ = +)
= (–6)2 – 4(1)(9)
Rasionaal (Δ = volkome
= 36 – 36 1 (2 van dieselfde)
vierkant)
= 0
Gelyk (Δ = 0)
a b c Δ= 0 x




x2 – 5x – 6 = 0 Δ= b2 – 4ac
Reëel (Δ = +)
= (–5)2 – 4(1)(–6)
Rasionaal (Δ = volkome y y
= 25 + 24 2
vierkant)
= 49
Ongelyk (Δ ≠ 0)
a b c Δ> 0 (volkome vierkant)
x

x
Δ = b2 – 4ac
2x2 + 3x – 7 = 0 = (3)2 – 4(2)(–7) Reëel (Δ = +)
= 9 + 56 Irrasionaal (Δ ≠
2
= 65 volkome vierkant)
Δ > 0 (nie volkome Ongelyk (Δ ≠ 0)
a b c
vierkant)


l. 3

, Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Aard van Wortels
BEPALING VAN DIE AARD VAN VIR WATTER WAARDES VAN k SAL BEWYS DIE AARD VAN DIE WORTELS
DIE WORTELS SONDER OM DIE VERGELYKING GELYKE Die aard van die wortels sal gegee word en die diskriminant kan gebruik word om die aard, met óf een óf geen
DIE VERGELYKING OP TE LOS WORTELS HÊ? onbekende waardes te bewys,
Die aard van die wortels van ‘n Die diskriminant (Δ) kan gebruik word om die
vergelyking kan bepaal word deur die onbekende waarde van k te bepaal. (bv vra Stappe om die aard van die wortels Stappe om die aard van die wortels te bewys
waarde van die diskriminant (Δ) te jouself, vir watter waardes van k sal die (GEEN onbekende) te bewys. (EEN onbekende):
bereken. diskriminant nul wees?) 1. Skryf die vergelyking in standaardvorm 1. Skryf die vergelyking in standard vorm
Stappe om die wortels te bepaal 2. Vervang die korrekte waardes en bereken die waarde 2. Vervang die korekte waardes en bereken die waarde
Stappe om die waardes van k te bepaal
deur die diskriminant te gebruik: van die diskriminant van die diskriminant
deur die diskriminant te gebruik:
3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is 3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is
1. Skryf die vergelyking in die standaard- 1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm
vorm
2. Vervang die korrekte waardes en bereken VOORBEELD: VOORBEELD:
2. Vervang die korrekte waardes en die diskriminant Bewys dat die vergelyking twee ongelyke, irrasionale Bewys dat die wortels van die vergelyking
bereken die diskriminant
3. Stel die diskriminant gelyk aan 0 en los k op wortels het: x2 = 2x + 9 x(6x – 7m) = 5m2, reëel, rasionaal en ongelyk is as
3. Bepaal die aard van die wortels van (kwadratiese vergelyking). m>0
die vergelyking
VOORBEELD: 1. Standaardvorm 1. Standaardvorm
2
x – 2x – 9 = 0 6x2 – 7mx – 5m2 = 0
VOORBEELD: Vir watter waardes van k sal die vergelyking
(x2 + 2kx = –4x – 9k) gelyke wortels hê? a b c a b c
Bepaal die aard van die wortels vir
x2 = 2x + 1 sonder om die vergelyking ONTHOU: Δ = 0 vir gelyke wortels 2. Bereken die diskriminant 2. Bereken die diskriminant
op te los.
Δ = 2
b – 4ac Δ = b2 – 4ac
1. Standaardvorm Δ = (–2)2 – 4(1)(–9) Δ = (–7m)2 – 4(6)(– 5m2)
1. Standaardvorm
x2 + 2kx = –4x – 9k Δ = 4 + 36 Δ = 49m2 + 120m2
x2 = 2x +1 Δ = 40 Δ = 169m2
x2 + 2kx + 4x + 9k = 0
x2 – 2x – 1 = 0

a b c a b c 3. Bepaal die aard van die wortels 3. Bepaal die aard van die wortels
Die wortels is: Die wortels is:
2. Bereken die diskriminant Reëel (Δ > 0) Reëel (Δ > 0)
2. Bereken die diskriminant
Δ = b2 – 4ac Ongelyk (Δ ≠ 0) Ongelyk (Δ ≠ 0)
Δ = b2 – 4ac Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) Rasionaal (Δ = volkome vierkant)
Δ = (2k + 4)2 – 4(1)(9k)
Δ = (–2)2 – 4(1)(–1)
Δ = 4k2 +16k +16 – 36k
Δ = 4+4
Δ = 4k2 – 20k + 16
Δ = 8

3. Stel gelyk aan nul (0) en los k op.
3. Bepaal die aard van die wortels
0 = 4k2 – 20k + 16 (÷ 4)
Die wortels is:
0 = k2 – 5k + 4
Reëel (Δ > 0)
0 = (k – 1)(k – 4)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
dus k = 1 of k = 4
Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant)
k moet 1 of 4 wees om te verseker dat die
diskriminant van die vergelyking nul (0) sal
wees (die diskriminant moet nul wees om
gelyke wortels te verseker).




l. 4