UNIDAD 2 INTEGRAL DE FUNCIONES TRASCENDENTALES
Hasta esta parte del curso se ha demostrado con amplitud la potencia del Cálculo Integral y
de su importancia para la obtención de las familias de curvas así como de las funciones
exactas bajo condiciones adicionales de estudio.
Aunque solo hemos escudriñado un poco de las integrales es necesario ahondar y extender
las funciones de estudio con las que podremos trabajar más adelante en sus aplicaciones y
desarrollos de las mismas, con los que éste sería el objetivo de la presente unidad.
Las funciones que no son consideradas como algebraicas y trigonométricas se denominan
Funciones Trascendentales, y las cuales son:
a) Funciones Trigonométricas Hiperbólicas
b) Funciones Trigonométricas Inversas
c) Funciones Logarítmicas
d) Funciones exponenciales
Comencemos nuestro estudio con este tipo de funciones importantes e ir desarrollando cada
una de las fórmulas de integración con el objetivo de que al término de la unidad tengamos el
conocimiento suficiente e importante de las funciones trascendentales.
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
En éste tema se verá brevemente una clase especial de funciones exponenciales llamadas
funciones Hiperbólicas. El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre
el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una hipérbola.
Fórmulas de Integración.
𝟏𝟔. ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟏𝟕. ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐
𝟏𝟖. ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟏𝟗. ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 + 𝑐
𝟐𝟎. ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟐𝟏. ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales o Determinar las anti derivadas.
𝟏. ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒉(𝟒 − 𝒙𝟑 ) 𝒅𝒙 ⟸ Usar jerarquia de funciones en integrando
= 6 ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4 − 𝑥 3 ) 𝑥 2 𝑑𝑥 ⟸ Aplicar fórmula 17
𝑢 = 4 − 𝑥3
𝑑𝑢 = −3𝑥 2 𝑑𝑥
1
, 6
= ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4 − 𝑥 3 ) − 𝟑𝑥 2 𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento Diferencial
−𝟑
= −2 𝑆𝑒𝑛ℎ(4 − 𝑥 3 ) + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝟓√𝒚
𝟐. ∫ 𝒅𝒚 ⟸ Usar jerarquia de funciones en integrando y aplicar fórmula 16
√𝒚
𝑢 = 5√𝑦
5 5 𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 = ⟸ Este diferencial debe estar en integrando, se ajusta
2√𝑦 2√𝑦
𝟐 𝟓 𝑑𝑦
= ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ5√𝑦 ⟸ Completar el elemento Diferencial
𝟓 𝟐 √𝑦
2
= 𝐶𝑜𝑠ℎ 5√𝑦 + 𝑐 ⟸ 𝑹
5
𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝟑𝒛 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝟒 𝟑𝒛 𝒅𝒛 ⟸ No hay directa, Usar jerarquia de funciones en integrando
= ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ 4 3𝑧 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 = ∫(𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Aplicar fórmula 5 de 𝒖𝒏
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧 𝑛=4
𝑑𝑢 = 3 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧
1
= ∫(𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4 𝟑𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Ajustar el elemento diferencial
𝟑
1 (𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4+1 1
= ∙ +𝑐 = 𝑆𝑒𝑛ℎ5 3𝑧 + 𝑐 ⟸𝑹
3 4+1 15
𝟏 𝟏
𝑪𝒔𝒄𝒉 ( 𝒕 ) 𝑪𝒐𝒕𝒉 ( 𝒕 )
𝟒. ∫ 𝒅𝒕 ⟸ No hay directa, Usar jerarquia de funciones en integrando
𝒕𝟐
1 1 𝑑𝑡
= ∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) 𝐶𝑜𝑡ℎ ( ) ⟸ Aplicar la fórmula 21
𝑡 𝑡 𝑡2
1
𝑢=
𝑡
1 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝑡 = − 2 ⟸ Este diferencial debe estar en integrando, se ajusta
𝑡 𝑡
1 1 𝑑𝑡
= (−) ∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) 𝐶𝑜𝑡ℎ ( ) − 2 ⟸ Ajustar del elemento diferencial, el signo negativo
𝑡 𝑡 𝑡
2
, 1 1
= − (− 𝐶𝑠𝑐ℎ ( )) + 𝑐 = 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) + 𝑐 ⟸𝑹
𝑡 𝑡
𝑺𝒆𝒄𝒉𝟐 𝟔𝒙
𝟓. ∫ 𝟑 𝒅𝒙 ⟸ No hay directa, Usar álgebra y jerarquizar integrando
√ 𝟏𝟔 − 𝒕𝒂𝒏𝒉 𝟔𝒙
1
= ∫( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥)− 3 𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Usar fórmula 5 de 𝒖𝒏
1
𝑢 = 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥 𝑛=−
3
𝑑𝑢 = −6 𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Éste diferencial debe estar en integrando, se ajusta
1 1
= ∫( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥)− 3 − 𝟔𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento diferencial
−𝟔
1 3 2 3 3
= ∙ ( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥) 3 + 𝑐 = √( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥 ) 2 + 𝑐 ⟸𝑹
6 2 12
𝟔. ∫ 𝑪𝒔𝒄𝒉𝟐 𝟐𝒚 𝑺𝒆𝒏(𝑪𝒐𝒕𝒉 𝟐𝒚) 𝒅𝒚 ⟸ No hay fórmula directa, jerarquizar integrando
= ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) 𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Aplicar fórmula 6 que es ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖
𝑢 = 𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦
𝑑𝑢 = −2𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Éste diferencial debe existir en integrando, se ajusta
1
= ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) −𝟐𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Ajustar o completar del elemento diferencial
−𝟐
1 1
=− (− 𝐶𝑜𝑠 (𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦)) + 𝑐 = 𝐶𝑜𝑠 (𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) + 𝑐 ⟸𝑹
2 2
𝟕. ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐 𝟒𝒛 𝒅𝒛 ⟸ No hay fórmula directa, ni es 𝒖𝒏 ; usar álgebra(Identidades)
𝑡𝑎𝑛ℎ2 4𝑧 + 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 = 1 ⟹ 𝑡𝑎𝑛ℎ2 4𝑧 = 1 − 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 y sustituir identidad
= ∫( 1 − 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 ) 𝑑𝑧 ⟸ Separar en dos integrales sencillas
= ∫ 𝑑𝑧 − ∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Usar Fórmulas 1 y 18 respectivamente
𝑢 = 4𝑧
𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑧
1
= 𝑧− ∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 𝟒𝑑𝑧 ⟸ Ajustar el elemento diferencial
𝟒
3
Hasta esta parte del curso se ha demostrado con amplitud la potencia del Cálculo Integral y
de su importancia para la obtención de las familias de curvas así como de las funciones
exactas bajo condiciones adicionales de estudio.
Aunque solo hemos escudriñado un poco de las integrales es necesario ahondar y extender
las funciones de estudio con las que podremos trabajar más adelante en sus aplicaciones y
desarrollos de las mismas, con los que éste sería el objetivo de la presente unidad.
Las funciones que no son consideradas como algebraicas y trigonométricas se denominan
Funciones Trascendentales, y las cuales son:
a) Funciones Trigonométricas Hiperbólicas
b) Funciones Trigonométricas Inversas
c) Funciones Logarítmicas
d) Funciones exponenciales
Comencemos nuestro estudio con este tipo de funciones importantes e ir desarrollando cada
una de las fórmulas de integración con el objetivo de que al término de la unidad tengamos el
conocimiento suficiente e importante de las funciones trascendentales.
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
En éste tema se verá brevemente una clase especial de funciones exponenciales llamadas
funciones Hiperbólicas. El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre
el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una hipérbola.
Fórmulas de Integración.
𝟏𝟔. ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟏𝟕. ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐
𝟏𝟖. ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟏𝟗. ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 + 𝑐
𝟐𝟎. ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 𝟐𝟏. ∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales o Determinar las anti derivadas.
𝟏. ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒉(𝟒 − 𝒙𝟑 ) 𝒅𝒙 ⟸ Usar jerarquia de funciones en integrando
= 6 ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4 − 𝑥 3 ) 𝑥 2 𝑑𝑥 ⟸ Aplicar fórmula 17
𝑢 = 4 − 𝑥3
𝑑𝑢 = −3𝑥 2 𝑑𝑥
1
, 6
= ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4 − 𝑥 3 ) − 𝟑𝑥 2 𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento Diferencial
−𝟑
= −2 𝑆𝑒𝑛ℎ(4 − 𝑥 3 ) + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝟓√𝒚
𝟐. ∫ 𝒅𝒚 ⟸ Usar jerarquia de funciones en integrando y aplicar fórmula 16
√𝒚
𝑢 = 5√𝑦
5 5 𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 = ⟸ Este diferencial debe estar en integrando, se ajusta
2√𝑦 2√𝑦
𝟐 𝟓 𝑑𝑦
= ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ5√𝑦 ⟸ Completar el elemento Diferencial
𝟓 𝟐 √𝑦
2
= 𝐶𝑜𝑠ℎ 5√𝑦 + 𝑐 ⟸ 𝑹
5
𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝟑𝒛 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝟒 𝟑𝒛 𝒅𝒛 ⟸ No hay directa, Usar jerarquia de funciones en integrando
= ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ 4 3𝑧 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 = ∫(𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Aplicar fórmula 5 de 𝒖𝒏
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧 𝑛=4
𝑑𝑢 = 3 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧
1
= ∫(𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4 𝟑𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Ajustar el elemento diferencial
𝟑
1 (𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑧)4+1 1
= ∙ +𝑐 = 𝑆𝑒𝑛ℎ5 3𝑧 + 𝑐 ⟸𝑹
3 4+1 15
𝟏 𝟏
𝑪𝒔𝒄𝒉 ( 𝒕 ) 𝑪𝒐𝒕𝒉 ( 𝒕 )
𝟒. ∫ 𝒅𝒕 ⟸ No hay directa, Usar jerarquia de funciones en integrando
𝒕𝟐
1 1 𝑑𝑡
= ∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) 𝐶𝑜𝑡ℎ ( ) ⟸ Aplicar la fórmula 21
𝑡 𝑡 𝑡2
1
𝑢=
𝑡
1 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝑡 = − 2 ⟸ Este diferencial debe estar en integrando, se ajusta
𝑡 𝑡
1 1 𝑑𝑡
= (−) ∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) 𝐶𝑜𝑡ℎ ( ) − 2 ⟸ Ajustar del elemento diferencial, el signo negativo
𝑡 𝑡 𝑡
2
, 1 1
= − (− 𝐶𝑠𝑐ℎ ( )) + 𝑐 = 𝐶𝑠𝑐ℎ ( ) + 𝑐 ⟸𝑹
𝑡 𝑡
𝑺𝒆𝒄𝒉𝟐 𝟔𝒙
𝟓. ∫ 𝟑 𝒅𝒙 ⟸ No hay directa, Usar álgebra y jerarquizar integrando
√ 𝟏𝟔 − 𝒕𝒂𝒏𝒉 𝟔𝒙
1
= ∫( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥)− 3 𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Usar fórmula 5 de 𝒖𝒏
1
𝑢 = 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥 𝑛=−
3
𝑑𝑢 = −6 𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Éste diferencial debe estar en integrando, se ajusta
1 1
= ∫( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥)− 3 − 𝟔𝑆𝑒𝑐ℎ2 6𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento diferencial
−𝟔
1 3 2 3 3
= ∙ ( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥) 3 + 𝑐 = √( 16 − 𝑡𝑎𝑛ℎ 6𝑥 ) 2 + 𝑐 ⟸𝑹
6 2 12
𝟔. ∫ 𝑪𝒔𝒄𝒉𝟐 𝟐𝒚 𝑺𝒆𝒏(𝑪𝒐𝒕𝒉 𝟐𝒚) 𝒅𝒚 ⟸ No hay fórmula directa, jerarquizar integrando
= ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) 𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Aplicar fórmula 6 que es ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖
𝑢 = 𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦
𝑑𝑢 = −2𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Éste diferencial debe existir en integrando, se ajusta
1
= ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) −𝟐𝐶𝑠𝑐ℎ2 2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Ajustar o completar del elemento diferencial
−𝟐
1 1
=− (− 𝐶𝑜𝑠 (𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦)) + 𝑐 = 𝐶𝑜𝑠 (𝐶𝑜𝑡ℎ 2𝑦) + 𝑐 ⟸𝑹
2 2
𝟕. ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐 𝟒𝒛 𝒅𝒛 ⟸ No hay fórmula directa, ni es 𝒖𝒏 ; usar álgebra(Identidades)
𝑡𝑎𝑛ℎ2 4𝑧 + 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 = 1 ⟹ 𝑡𝑎𝑛ℎ2 4𝑧 = 1 − 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 y sustituir identidad
= ∫( 1 − 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 ) 𝑑𝑧 ⟸ Separar en dos integrales sencillas
= ∫ 𝑑𝑧 − ∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 𝑑𝑧 ⟸ Usar Fórmulas 1 y 18 respectivamente
𝑢 = 4𝑧
𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑧
1
= 𝑧− ∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2 4𝑧 𝟒𝑑𝑧 ⟸ Ajustar el elemento diferencial
𝟒
3
