A First Course in Differential
Wi Wi Wi Wi Wi
Equations with Modeling Ap Wi Wi Wi
plications, 12th Edition by De Wi Wi Wi Wi
nnis G. Zill Wi Wi
Complete Chapter Solutions Manual ar
Wi Wi Wi Wi
e included (Ch 1 to 9)
Wi Wi Wi Wi Wi
** Immediate Download
Wi Wi
** Swift Response
Wi Wi
** All Chapters included
Wi Wi Wi
,SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1:
Solution and Answer Guide Wi Wi Wi
ZILL, DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MODELING APPLICATIONS 2024,
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
9780357760192; CHAPTER #1: INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS Wi Wi Wi Wi Wi Wi
TABLE OF CONTENTS WI WI
End of Section Solutions .................................................................................................................................... 1
Wi Wi Wi
Exercises 1.1 ........................................................................................................................................................ 1
Wi
Exercises 1.2 ......................................................................................................................................................14
Wi
Exercises 1.3 ......................................................................................................................................................22
Wi
Chapter 1 in Review Solutions ..................................................................................................................... 30
Wi Wi Wi Wi
END OF SECTION SOLUTIONS
WI WI WI
EXERCISES 1.1 WI
1. Second order; linear W i W i
4
2. Third order; nonlinear because of (dy/dx)
Wi Wi Wi Wi Wi
3. Fourth order; linear Wi Wi
4. Second order; nonlinear because of cos(r + u)
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
5. Second order; nonlinear because of (dy/dx)2 or 1 + (dy/dx)2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2
6. Second order; nonlinear because of R
Wi Wi Wi Wi Wi
7. Third order; linear Wi Wi
2
8. Second order; nonlinear because of ẋ
Wi Wi Wi Wi Wi
9. First order; nonlinear because of sin (dy/dx)
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
10. First order; linear Wi Wi
2
11. Writing the differential equation in the form x(dy/dx) + y = 1, we see that it is no
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
nlinear in y because of y . However, writing it in the form (y —
2 2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
1)(dx/dy) + x = 0, we see that it is linear in x.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
u
12. Writing the differential equation in the form u(dv/du) + (1 + u)v = ue we see th
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
at it is linear in v. However, writing it in the form (v + uv —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
ueu)(du/dv) + u = 0, we see that it is nonlinear in u.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
FromWiyWi=Wie− WiweWiobtainWiyjWi=Wi—W1 e−x/2.WiThenWi2yjWi+WiyWi=Wi—e−x/2Wi+Wie−x/2Wi=Wi0.
x/2 Wi
13. i
2
,SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1:
6 6 —
14. From y = Wi Wi — e we obtain dy/dt = 24e , so that
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
5 5
WiWi
dy −20t 6 6 Wi
— −20t
5 Wi
e
3x
15. From y = e Wi Wi cos 2x we obtain yj = 3e3x cos 2x—2e3x sin 2x and yjj = 5e3x cos 2x—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
12e 3x
Wi sin 2x, so that yjj — 6yj + 13y = 0.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
j
16. From y = — Wi Wi Wi = —1 + sin x ln(sec x + tan x) and
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
cos x ln(sec x + tan x) we obtain y
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
jj
y W i = tan x + cos x ln(sec x + tan x). Then y
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i + y = tan x.
Wi Wi Wi Wi
17. The domain of the function, found by solving x+2 ≥ 0, is [—2, ∞). From yj = 1+2(x+2)−
1/2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
we have Wi
j −
—x)y = (y — x)[1 + (2(x + 2) ]
W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2
= y — x + 2(y —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2
= y — x + 2[x + 4(x + 2)1/2 —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
= y — x + 8(x + 2)1/2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2W i =WiyW i — WixWi+Wi8.
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2, ∞) because yj is not defined at x = —2.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
18. Since tan x is not defined for x = π/2 + nπ, n an integer, the domain of y = 5 tan 5x is
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi
{x W i W i 5x /= π/2 + nπ}
Wi Wi Wi Wi
or {x Wi
W i
x /= π/10 + nπ/5}. Fromj y = 252 sec
Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi W i 5x we have Wi Wi
2 2 2
y .
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
π/10, π/10). An- other interval is (π/10, 3π/10), and so on.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
19. The domain of the function is {x
Wi 4 — x Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi /= 0} or {x
W i Wi Wi x /= —
W i W i
2 or x /= 2}. From y = 2x/(4 — x2)2 we have
Wi Wi W i W i Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi
W i W i 1
yj = 2x Wi Wi W i = 2xy2.
Wi
2
4 — x2 Wi Wi
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2, 2). Other inter- vals are (—∞, —2) and (2, ∞).
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
√
20. The function is y = 1/ 1 — sin x , whose domain is obtained from 1 —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
sin x /= 0 or sin x /= 1.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
Thus, the domain is {x x /= π/2 + 2nπ}. From y =2 — (1 — sin x) (— cos x) we have
Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2yj = (1 — sin x)−3/2 cos x = [(1 — sin x)−1/2]3 cos x = y3 cos x.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
, SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1: AnWiintervalWiofWidefinitionWiforWitheWisolutionWiofWitheWidifferentialWiequationWiisWi(π/2,Wi5π/2).WiAnot
her one is (5π/2, 9π/2), and so on.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
Wi Wi Wi Wi Wi
Equations with Modeling Ap Wi Wi Wi
plications, 12th Edition by De Wi Wi Wi Wi
nnis G. Zill Wi Wi
Complete Chapter Solutions Manual ar
Wi Wi Wi Wi
e included (Ch 1 to 9)
Wi Wi Wi Wi Wi
** Immediate Download
Wi Wi
** Swift Response
Wi Wi
** All Chapters included
Wi Wi Wi
,SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1:
Solution and Answer Guide Wi Wi Wi
ZILL, DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MODELING APPLICATIONS 2024,
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
9780357760192; CHAPTER #1: INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS Wi Wi Wi Wi Wi Wi
TABLE OF CONTENTS WI WI
End of Section Solutions .................................................................................................................................... 1
Wi Wi Wi
Exercises 1.1 ........................................................................................................................................................ 1
Wi
Exercises 1.2 ......................................................................................................................................................14
Wi
Exercises 1.3 ......................................................................................................................................................22
Wi
Chapter 1 in Review Solutions ..................................................................................................................... 30
Wi Wi Wi Wi
END OF SECTION SOLUTIONS
WI WI WI
EXERCISES 1.1 WI
1. Second order; linear W i W i
4
2. Third order; nonlinear because of (dy/dx)
Wi Wi Wi Wi Wi
3. Fourth order; linear Wi Wi
4. Second order; nonlinear because of cos(r + u)
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
5. Second order; nonlinear because of (dy/dx)2 or 1 + (dy/dx)2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2
6. Second order; nonlinear because of R
Wi Wi Wi Wi Wi
7. Third order; linear Wi Wi
2
8. Second order; nonlinear because of ẋ
Wi Wi Wi Wi Wi
9. First order; nonlinear because of sin (dy/dx)
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
10. First order; linear Wi Wi
2
11. Writing the differential equation in the form x(dy/dx) + y = 1, we see that it is no
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
nlinear in y because of y . However, writing it in the form (y —
2 2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
1)(dx/dy) + x = 0, we see that it is linear in x.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
u
12. Writing the differential equation in the form u(dv/du) + (1 + u)v = ue we see th
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
at it is linear in v. However, writing it in the form (v + uv —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
ueu)(du/dv) + u = 0, we see that it is nonlinear in u.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
FromWiyWi=Wie− WiweWiobtainWiyjWi=Wi—W1 e−x/2.WiThenWi2yjWi+WiyWi=Wi—e−x/2Wi+Wie−x/2Wi=Wi0.
x/2 Wi
13. i
2
,SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1:
6 6 —
14. From y = Wi Wi — e we obtain dy/dt = 24e , so that
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
5 5
WiWi
dy −20t 6 6 Wi
— −20t
5 Wi
e
3x
15. From y = e Wi Wi cos 2x we obtain yj = 3e3x cos 2x—2e3x sin 2x and yjj = 5e3x cos 2x—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
12e 3x
Wi sin 2x, so that yjj — 6yj + 13y = 0.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
j
16. From y = — Wi Wi Wi = —1 + sin x ln(sec x + tan x) and
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
cos x ln(sec x + tan x) we obtain y
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
jj
y W i = tan x + cos x ln(sec x + tan x). Then y
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i + y = tan x.
Wi Wi Wi Wi
17. The domain of the function, found by solving x+2 ≥ 0, is [—2, ∞). From yj = 1+2(x+2)−
1/2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
we have Wi
j −
—x)y = (y — x)[1 + (2(x + 2) ]
W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2
= y — x + 2(y —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2
= y — x + 2[x + 4(x + 2)1/2 —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
= y — x + 8(x + 2)1/2
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
−1/2W i =WiyW i — WixWi+Wi8.
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2, ∞) because yj is not defined at x = —2.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
18. Since tan x is not defined for x = π/2 + nπ, n an integer, the domain of y = 5 tan 5x is
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi
{x W i W i 5x /= π/2 + nπ}
Wi Wi Wi Wi
or {x Wi
W i
x /= π/10 + nπ/5}. Fromj y = 252 sec
Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi W i 5x we have Wi Wi
2 2 2
y .
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
π/10, π/10). An- other interval is (π/10, 3π/10), and so on.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
19. The domain of the function is {x
Wi 4 — x Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi /= 0} or {x
W i Wi Wi x /= —
W i W i
2 or x /= 2}. From y = 2x/(4 — x2)2 we have
Wi Wi W i W i Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi
W i W i 1
yj = 2x Wi Wi W i = 2xy2.
Wi
2
4 — x2 Wi Wi
An interval of definition for the solution of the differential equation is (—
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2, 2). Other inter- vals are (—∞, —2) and (2, ∞).
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
√
20. The function is y = 1/ 1 — sin x , whose domain is obtained from 1 —
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
sin x /= 0 or sin x /= 1.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
Thus, the domain is {x x /= π/2 + 2nπ}. From y =2 — (1 — sin x) (— cos x) we have
Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi W i Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
2yj = (1 — sin x)−3/2 cos x = [(1 — sin x)−1/2]3 cos x = y3 cos x.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
, SolutionWiandWiAnswerWiGuide:WiZill,WiDIFFERENTIALWiEQUATIONSWiWithWiMODELINGWiAPPLICATIONSWi2024,Wi9780357760192;WiChapte
rWi#1: AnWiintervalWiofWidefinitionWiforWitheWisolutionWiofWitheWidifferentialWiequationWiisWi(π/2,Wi5π/2).WiAnot
her one is (5π/2, 9π/2), and so on.
Wi Wi Wi Wi Wi Wi Wi
