Samenvatting Hoofdstuk 4 - Integralen

Hoofdstuk 4 Integralen



Primitieve en afgeleide

De afgeleide van de functie f ( x )=x 3 +6 vinden we door f ( x ) te differentiëren naar x. Dit geeft
f ' ( x )=3 x 2
Andersom kan de primitieve van de afgeleide f ' ( x )=3 x 2 gevonden worden door te integreren naar
x. Dit geeft F ( x )=x 3 +C

Bij het integreren van een functie is er een onbepaalde constante die bij de functie moet worden
opgeteld. Deze onbepaaldheid ontstaat doordat tijdens het differentiatieproces de constante
verloren is gegaan  f ( x )=x 3 +6 wordt f ' ( x )=3 x 2

De primitieve functie van een functie f ( x ) wordt ook wel het integraal van f ( x ) aangeduid met het
integraalteken ∫.
Algemeen geldt voor het integreren dus:

∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C  het onbepaalde integraal vanwege de onbepaalde constante
(integratieconstante)

De functie waarvan de primitieve wordt gezocht wordt het integrand genoemd.

dx geeft aan naar welke variabele wordt geïntegreerd, in dit geval is dat de variabele x ook wel de
integratievariabele.

Net zoals dat voor de afgeleiden standaardafgeleiden bestaan, bestaan er ook voor het integreren
standaardintegraties:

a
 f ( x )=ax n geeft F ( x )= ∙ x n+1
n+1
 f ( x )=e x geeft F ( x )=e x
1
 f ( x )= geeft F ( x )=ln ⁡( x )
x
 f ( x )=sin ⁡( x ) geeft F ( x )=−cos ⁡( x )
 f ( x )=cos ⁡( x ) geeft F ( x )=sin ⁡( x)
1
 f ( x )= 2 geeft F ( x )=tan ⁡( x )
cos ( x )
1
 f ( x )= geeft F ( x )=arcsin ( x )
√ 1−x 2
1
 f ( x )= geeft F ( x )=arctan ⁡( x )
1+ x 2


En ook gelden er natuurlijk net zoals de afgeleiden ook rekenregels voor het integreren:

 Constante factor  ∫ c f ( x ) dx=c ∫ f ( x ) dx=c F ( x ) +C