.
Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Bewijzen
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Bewijzen
1. Logistische groei ................................................................................................................................................. 1
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ................................................................................................................................................ 2
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 ................................................................................................................................................. 2
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | .................................................................................................................................................. 2
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | .............................................................................................................................................. 3
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | ............................................................................................................................. 3
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | ............................................................................................................................. 4
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) .................................................. 4
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ...................................................... 5
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴............ 5
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................... 6
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 ..................................................................................................................................................... 7
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 ................................................................................................................................................. 7
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................... 8
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. ................................................................................................................................................................. 9
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 10
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ...................................................................................................................................................... 11
, Logistische groei
Bewijs
Punt van snelste aangroei
Uit D.V.
1 d𝑦 𝑦
= 𝑎 (1 − )
𝑦 d𝑡 𝑁
Volgt Buigpunt? Via tweede afgeleide → 𝑦 ′′ =? Stel = 0
d𝑦 𝑦 𝑌
= 𝑎 𝑦 (1 − ) 1. 𝑦 ′ = 𝑎 𝑦 (1 − ) 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙
d𝑡 𝑁 𝑁
′
𝑌 ↑ 𝑌 1
2. 𝑦 ′′ = [𝑎 𝑦 (1 − )] ⇒ 𝑎 [𝑦 ′ (1 − ) + 𝑦 (− ) 𝑦′]
En dus ook (via de productregel) 𝑁 𝑁 𝑁
𝑌 𝑌
= 𝑎 𝑦 ′ [(1 − ) − ]
𝑁 𝑁
d2 𝑦 d𝑦 2𝑦 2𝑌
2
=𝑎 (1 − ) ′
= 𝑎 𝑦 (1 − )
d𝑡 d𝑡 𝑁 𝑁
↓ ↓ ↓
1. 2. 3.
Wanneer is het buigpunt nu nul?
1. 𝑎 kan niet 0 zijn. Het is een evenredigheidsconstante
2. 𝑑𝑦/𝑑𝑡 is een functie en de afgeleide kan nooit 0 zijn want de functie stijgt altijd (zie grafiek)
3. Blijft over, dus
2𝑌 𝑁
1− =0 ⟺ 𝑦=
𝑁 2
Nuttige eigenschappen
1. Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant
gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
2. Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert
(d.w.z. eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
3. Als men 2 rijen (kolommen) onderling van plaats verwisselt, wijzigt de determinant van
teken.
Gevolg: Een determinant met twee identieke rijen (kolommen) is steeds gelijk aan nul.
4. Als men elk element van één rij (kolom) vermenigvuldigt met eenzelfde getal 𝜆, dan wordt
de volledige determinant met dit getal 𝜆 vermenigvuldigd.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan verandert de
determinant niet.
1
, Eigenschap 1
Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant gelijk
aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
Voorbeelden
𝑎 𝑏 𝑐
Bewijs
|0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel rij 3
𝑎 𝑏 𝑐
|0 𝑑 𝑒 | = 0 ∙ 𝐴31 + 0 ∙ 𝐴32 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 𝑏
| = 𝑎𝑑 − 0𝑏 = 𝑎𝑑 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑑 = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓 0 𝑑
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓
Bewijs
𝑑 𝑒 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel kolom 3
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 0 ∙ 𝐴13 + 0 ∙ 𝐴23 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 0
| = 𝑎𝑐 − 0𝑏 = 𝑎𝑐 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑐𝑓
𝑑 𝑒 𝑓 𝑏 𝑐
Deze eigenschap zegt specifiek dat dit enkel werkt met de hoofddiagonaal. (van linksboven naar
rechtsonder). Wat indien met de nevendiagonaal? (van rechtsboven naar linksonder).
0 0 3 ≠
Vb: |0 2 5| ≠ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
1 −2 6
0 3
Kolom 1: = 0 ∙ 𝐴11 + 0 ∙ 𝐴21 + 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ | | = −6
2 5
Eigenschap 2
Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert (d.w.z.
eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
Transponeren = je wisselt rijen met kolommen en kolommen met rijen.
Voorbeeld
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
| |=| |
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
Bewijs Bewijs:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
Bij andere ordes geldt dit ook, maar enkel van deze orde moet je het bewijs kennen.
2
Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Bewijzen
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Bewijzen
1. Logistische groei ................................................................................................................................................. 1
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ................................................................................................................................................ 2
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 ................................................................................................................................................. 2
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | .................................................................................................................................................. 2
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | .............................................................................................................................................. 3
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | ............................................................................................................................. 3
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | ............................................................................................................................. 4
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) .................................................. 4
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ...................................................... 5
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴............ 5
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................... 6
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 ..................................................................................................................................................... 7
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 ................................................................................................................................................. 7
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................... 8
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. ................................................................................................................................................................. 9
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 10
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ...................................................................................................................................................... 11
, Logistische groei
Bewijs
Punt van snelste aangroei
Uit D.V.
1 d𝑦 𝑦
= 𝑎 (1 − )
𝑦 d𝑡 𝑁
Volgt Buigpunt? Via tweede afgeleide → 𝑦 ′′ =? Stel = 0
d𝑦 𝑦 𝑌
= 𝑎 𝑦 (1 − ) 1. 𝑦 ′ = 𝑎 𝑦 (1 − ) 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑟𝑒𝑔𝑒𝑙
d𝑡 𝑁 𝑁
′
𝑌 ↑ 𝑌 1
2. 𝑦 ′′ = [𝑎 𝑦 (1 − )] ⇒ 𝑎 [𝑦 ′ (1 − ) + 𝑦 (− ) 𝑦′]
En dus ook (via de productregel) 𝑁 𝑁 𝑁
𝑌 𝑌
= 𝑎 𝑦 ′ [(1 − ) − ]
𝑁 𝑁
d2 𝑦 d𝑦 2𝑦 2𝑌
2
=𝑎 (1 − ) ′
= 𝑎 𝑦 (1 − )
d𝑡 d𝑡 𝑁 𝑁
↓ ↓ ↓
1. 2. 3.
Wanneer is het buigpunt nu nul?
1. 𝑎 kan niet 0 zijn. Het is een evenredigheidsconstante
2. 𝑑𝑦/𝑑𝑡 is een functie en de afgeleide kan nooit 0 zijn want de functie stijgt altijd (zie grafiek)
3. Blijft over, dus
2𝑌 𝑁
1− =0 ⟺ 𝑦=
𝑁 2
Nuttige eigenschappen
1. Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant
gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
2. Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert
(d.w.z. eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
3. Als men 2 rijen (kolommen) onderling van plaats verwisselt, wijzigt de determinant van
teken.
Gevolg: Een determinant met twee identieke rijen (kolommen) is steeds gelijk aan nul.
4. Als men elk element van één rij (kolom) vermenigvuldigt met eenzelfde getal 𝜆, dan wordt
de volledige determinant met dit getal 𝜆 vermenigvuldigd.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan verandert de
determinant niet.
1
, Eigenschap 1
Zijn alle elementen onder (boven) de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan is de determinant gelijk
aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
Voorbeelden
𝑎 𝑏 𝑐
Bewijs
|0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel rij 3
𝑎 𝑏 𝑐
|0 𝑑 𝑒 | = 0 ∙ 𝐴31 + 0 ∙ 𝐴32 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 𝑏
| = 𝑎𝑑 − 0𝑏 = 𝑎𝑑 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑑 = 𝑎𝑑𝑓
0 0 𝑓 0 𝑑
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓
Bewijs
𝑑 𝑒 𝑓
Bewijs: ⟶ ontwikkel kolom 3
𝑎 0 0
|𝑏 𝑐 0| = 0 ∙ 𝐴13 + 0 ∙ 𝐴23 + 𝑓 ∙ 𝐴33 ⟶ |𝑎 0
| = 𝑎𝑐 − 0𝑏 = 𝑎𝑐 ⟶ 𝑓 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑐𝑓
𝑑 𝑒 𝑓 𝑏 𝑐
Deze eigenschap zegt specifiek dat dit enkel werkt met de hoofddiagonaal. (van linksboven naar
rechtsonder). Wat indien met de nevendiagonaal? (van rechtsboven naar linksonder).
0 0 3 ≠
Vb: |0 2 5| ≠ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
1 −2 6
0 3
Kolom 1: = 0 ∙ 𝐴11 + 0 ∙ 𝐴21 + 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ 𝐴31 = 1 ∙ | | = −6
2 5
Eigenschap 2
Een determinant verandert niet als men het onderliggend getallenschema transponeert (d.w.z.
eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom enz.)
Transponeren = je wisselt rijen met kolommen en kolommen met rijen.
Voorbeeld
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
| |=| |
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
Bewijs Bewijs:
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
Bij andere ordes geldt dit ook, maar enkel van deze orde moet je het bewijs kennen.
2
