CHAPITRE 4
ÉTUDE QUANTIQUE DE L’ATOME
D’HYDROGENE
PHISIQUE ATOMIQUE
MASTER (MEFSPC)
, CHAPITRE 4 : ÉTUDE QUANTIQUE DE L’ATOME D’HYDROGENE
CHAPITRE 4 : ÉTUDE QUANTIQUE DE L’ATOME
D’HYDROGENE
4.1 Équation de Schrödinger :
Considérons l'atome d'hydrogène constitué d'un proton de masse M et d'un électron de masse
m. L'étude classique du système montre que l'énergie du système est sous la forme :
1 2 Mm
H=E= μ . v P +V (r ) ; Avec : μ= = masse de la particule relative.
2 M +m
La position de la particule relative P est : ⃗
OP=r u⃗r ;⟹ ⃗
v P =ṙ u⃗r +r θ̇ ⃗
uθ. Étant donné que le
2 ⃗
mouvement est plan ( = 0) ; le moment cinétique s’écrit : ⃗
L=⃗r ∧ μ ⃗v =μ r θ̇ k=cte .
1 P2r L2
2
On aura donc : E= μ . v P +V ( r )= + +V (r ) : (r,,) coordonnées sphériques.
2 2 μ 2 μ r2
En appliquant les quantifications, l'opérateur hamiltonien représentant l'énergie du système s'écrit :
−ℏ 2
H= △ +V ( r) ; L'équation en valeurs propres s'écrit : Hψ ( r⃗ , t )=Eψ (⃗r ,t ).
2μ
4.1.1 Séparation des variables :
2
e
Nous avons le potentiel, V( r⃗ ) =−k , ne dépend que de r (il ne dépond ni de ni de ni
r
de t). Donc, on peut écrire : ψ ( ⃗r ,t )=R ( r ) . Υ (θ ,φ ) . χ ( t).
Dans le système de coordonnées sphérique (r,,), nous avons le LAPLACIEN est tel
que :
( )
2 2 2
1 ∂ 1 ∂ . 1 ∂. 1 ∂.
△= 2
( r . )+ 2 2
+ + 2 2 .
r ∂r r ∂ θ tan (θ) ∂θ sin (θ) ∂ φ
L'équation de Schrödinger devient :
−ℏ2
2 μr
∂2
Υ (θ , φ) . χ (t ) 2 ( r . R (r ))−
∂r
ℏ2
2 μr 2
R ( r ) . χ ( t )
(∂2
+
1 ∂
+
1 ∂2
∂θ 2 tan ( θ ) ∂ θ sin 2 ( θ ) ∂ φ 2 )
Υ ( θ , φ ) +V ( r ) . R ( r ) . Υ ( θ , φ ) . χ ( t )=E . R (
( )
2 2
2 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂
On définit l'opérateur moment cinétique par : L =−ℏ + + 2 2 .
∂θ tan ( θ ) ∂ θ sin ( θ ) ∂ φ
2
L'équation de Schrödinger des états stationnaires devient :
2 2
−ℏ ( ∂ 1
Υ θ , φ ) 2 ( r . R ( r ) ) −R ( r ) .
2
2
L Υ ( θ , φ )+ V ( r ) . R ( r ) .Υ ( θ , φ ) =E . R ( r ) . Υ (θ ,φ ).
2 μr ∂r 2 μr
Or, l'équation en valeurs propres du moment cinétique s’écrit : L2 Υ ( θ , φ )=ℏ2 l( l+1).Υ ( θ , φ ) .
On obtient l'équation radiale :
2 2 2
−ℏ ∂
( r . R ( r ) ) + ℏ 2 l ( l+1 ) . R ( r )+ V ( r ) . R ( r )=E . R ( r ).
2 μr ∂ r 2
2 μr
Cette équation ne dépend que de r. Pour chaque valeur de l correspond des solutions
linéairement indépendantes.
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ÉTUDE QUANTIQUE DE L’ATOME
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PHISIQUE ATOMIQUE
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CHAPITRE 4 : ÉTUDE QUANTIQUE DE L’ATOME
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4.1 Équation de Schrödinger :
Considérons l'atome d'hydrogène constitué d'un proton de masse M et d'un électron de masse
m. L'étude classique du système montre que l'énergie du système est sous la forme :
1 2 Mm
H=E= μ . v P +V (r ) ; Avec : μ= = masse de la particule relative.
2 M +m
La position de la particule relative P est : ⃗
OP=r u⃗r ;⟹ ⃗
v P =ṙ u⃗r +r θ̇ ⃗
uθ. Étant donné que le
2 ⃗
mouvement est plan ( = 0) ; le moment cinétique s’écrit : ⃗
L=⃗r ∧ μ ⃗v =μ r θ̇ k=cte .
1 P2r L2
2
On aura donc : E= μ . v P +V ( r )= + +V (r ) : (r,,) coordonnées sphériques.
2 2 μ 2 μ r2
En appliquant les quantifications, l'opérateur hamiltonien représentant l'énergie du système s'écrit :
−ℏ 2
H= △ +V ( r) ; L'équation en valeurs propres s'écrit : Hψ ( r⃗ , t )=Eψ (⃗r ,t ).
2μ
4.1.1 Séparation des variables :
2
e
Nous avons le potentiel, V( r⃗ ) =−k , ne dépend que de r (il ne dépond ni de ni de ni
r
de t). Donc, on peut écrire : ψ ( ⃗r ,t )=R ( r ) . Υ (θ ,φ ) . χ ( t).
Dans le système de coordonnées sphérique (r,,), nous avons le LAPLACIEN est tel
que :
( )
2 2 2
1 ∂ 1 ∂ . 1 ∂. 1 ∂.
△= 2
( r . )+ 2 2
+ + 2 2 .
r ∂r r ∂ θ tan (θ) ∂θ sin (θ) ∂ φ
L'équation de Schrödinger devient :
−ℏ2
2 μr
∂2
Υ (θ , φ) . χ (t ) 2 ( r . R (r ))−
∂r
ℏ2
2 μr 2
R ( r ) . χ ( t )
(∂2
+
1 ∂
+
1 ∂2
∂θ 2 tan ( θ ) ∂ θ sin 2 ( θ ) ∂ φ 2 )
Υ ( θ , φ ) +V ( r ) . R ( r ) . Υ ( θ , φ ) . χ ( t )=E . R (
( )
2 2
2 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂
On définit l'opérateur moment cinétique par : L =−ℏ + + 2 2 .
∂θ tan ( θ ) ∂ θ sin ( θ ) ∂ φ
2
L'équation de Schrödinger des états stationnaires devient :
2 2
−ℏ ( ∂ 1
Υ θ , φ ) 2 ( r . R ( r ) ) −R ( r ) .
2
2
L Υ ( θ , φ )+ V ( r ) . R ( r ) .Υ ( θ , φ ) =E . R ( r ) . Υ (θ ,φ ).
2 μr ∂r 2 μr
Or, l'équation en valeurs propres du moment cinétique s’écrit : L2 Υ ( θ , φ )=ℏ2 l( l+1).Υ ( θ , φ ) .
On obtient l'équation radiale :
2 2 2
−ℏ ∂
( r . R ( r ) ) + ℏ 2 l ( l+1 ) . R ( r )+ V ( r ) . R ( r )=E . R ( r ).
2 μr ∂ r 2
2 μr
Cette équation ne dépend que de r. Pour chaque valeur de l correspond des solutions
linéairement indépendantes.
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