CALCULUS
HS I: INLEIDING TOT LOGISCH REDENEREN IN BEWIJSVOERING
- Tautologische implicaties:
Modus ponens: directe redenering
Modus tollens: indirecte redenering
- Tautologische equivalenties:
Predikaten = om eigenschappen van systemen te omschrijven, dat een toepassing aan bepaalde vereisten voldoet
Variabelen = reiken over een bepaald domein vb. N, R
Kwantoren = laten toe variabelen te binden
: er bestaat een
: voor alle ( )
,Inductief = trekken van conclusies zonder berekeningen
Deductief = het bewijzen van onze vermoedens
1. HET RECHTSSTREEKSE BEWIJS:
2. HET HEWIJS DOOR CONTRAPOSITIE:
3. BEWIJS UIT HET ONGERIJMDE:
4. BEWIJS VOOR VOLLEDIGE INDUCTIE:
Zie extra blad
HS 1: DE GETALLENVERZAMELING
- ∅: lege verzameling
- Doorsnede:
- Unie
- Verschil:
- Cartesisch product:
- Natuurlijke getallen: 0,1,2,3,4
somteken Σ, productteken ∏
- Gehele getallen: -2,-1,0,1,2
- Rationale getallen: breuken
3 definiërende voorwaarden om tot R te behoren:
1. Het is een veld wegens + en x
Optelling moet voldaan aan: associatief, neutraal element (0), tegengesteld element (-x), commutatief
=> alles ok: (R,+) = commutatieve groep
Vermenigvuldiging moet voldaan aan: associatief, commutatief, neutraal element (1), invers element, distributief
=> alles ok: (R,+,x) = veld
2. Het is totaal geordend ≤ (p.35)
Eigenschappen orderelatie: reflexief (x≤x), antisymmetrisch, transitief, totaal, ordening blijft behouden bij optellen en
vermenigvuldigen met pos reële getallen
, 3. Volledigheid: onderscheid Q en R
! het supremum en infimum van een begrensde
verzameling W, behoren niet steeds tot deze
verzameling en zijn niet het zelfde als het max en min
die wel tot de verzameling horen !
- Q bezit niet steeds een infimum en supremum, R wel => R is dus volledig
‘stelling van de kleinste bovengrens’ = elke niet-lege naar boven begrensde verzameling in R heeft een supremum, terwijl
een niet-lege -naar boven begrensde verzameling in Q geen supremum heeft
Eigenschap van Archimedes
Dichtheid van Q in R
Het Binomium van Newton
De driehoeksongelijkheid: |3+5|≤|3|+|5| -> allebei 8
|-3+5| ≤ |3|+|5| -> 2 ≤ 8 => afstand
, afstand voldoet aan eig:
1. Pos definiet
2. Symmetrisch
3. Driehoeksongelijkheid geldt
(gesloten interval bevat eindpunten)
R bevat geen infimum en supremum maar wel
B(a, δ) is het open interval ]a − δ, a + δ[. Het
bevat alle punten waarvan de afstand
tot a kleiner is dan δ
C
HS2: FUNCTIES, RIJEN, LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT
= hoogstens 1 x voor elke y
= als elk getal uit de doelverzameling
bereikt wordt
= voor elke x is juist 1 y
HS I: INLEIDING TOT LOGISCH REDENEREN IN BEWIJSVOERING
- Tautologische implicaties:
Modus ponens: directe redenering
Modus tollens: indirecte redenering
- Tautologische equivalenties:
Predikaten = om eigenschappen van systemen te omschrijven, dat een toepassing aan bepaalde vereisten voldoet
Variabelen = reiken over een bepaald domein vb. N, R
Kwantoren = laten toe variabelen te binden
: er bestaat een
: voor alle ( )
,Inductief = trekken van conclusies zonder berekeningen
Deductief = het bewijzen van onze vermoedens
1. HET RECHTSSTREEKSE BEWIJS:
2. HET HEWIJS DOOR CONTRAPOSITIE:
3. BEWIJS UIT HET ONGERIJMDE:
4. BEWIJS VOOR VOLLEDIGE INDUCTIE:
Zie extra blad
HS 1: DE GETALLENVERZAMELING
- ∅: lege verzameling
- Doorsnede:
- Unie
- Verschil:
- Cartesisch product:
- Natuurlijke getallen: 0,1,2,3,4
somteken Σ, productteken ∏
- Gehele getallen: -2,-1,0,1,2
- Rationale getallen: breuken
3 definiërende voorwaarden om tot R te behoren:
1. Het is een veld wegens + en x
Optelling moet voldaan aan: associatief, neutraal element (0), tegengesteld element (-x), commutatief
=> alles ok: (R,+) = commutatieve groep
Vermenigvuldiging moet voldaan aan: associatief, commutatief, neutraal element (1), invers element, distributief
=> alles ok: (R,+,x) = veld
2. Het is totaal geordend ≤ (p.35)
Eigenschappen orderelatie: reflexief (x≤x), antisymmetrisch, transitief, totaal, ordening blijft behouden bij optellen en
vermenigvuldigen met pos reële getallen
, 3. Volledigheid: onderscheid Q en R
! het supremum en infimum van een begrensde
verzameling W, behoren niet steeds tot deze
verzameling en zijn niet het zelfde als het max en min
die wel tot de verzameling horen !
- Q bezit niet steeds een infimum en supremum, R wel => R is dus volledig
‘stelling van de kleinste bovengrens’ = elke niet-lege naar boven begrensde verzameling in R heeft een supremum, terwijl
een niet-lege -naar boven begrensde verzameling in Q geen supremum heeft
Eigenschap van Archimedes
Dichtheid van Q in R
Het Binomium van Newton
De driehoeksongelijkheid: |3+5|≤|3|+|5| -> allebei 8
|-3+5| ≤ |3|+|5| -> 2 ≤ 8 => afstand
, afstand voldoet aan eig:
1. Pos definiet
2. Symmetrisch
3. Driehoeksongelijkheid geldt
(gesloten interval bevat eindpunten)
R bevat geen infimum en supremum maar wel
B(a, δ) is het open interval ]a − δ, a + δ[. Het
bevat alle punten waarvan de afstand
tot a kleiner is dan δ
C
HS2: FUNCTIES, RIJEN, LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT
= hoogstens 1 x voor elke y
= als elk getal uit de doelverzameling
bereikt wordt
= voor elke x is juist 1 y
