LLG-Term Maths Expertes 2020-21 Chapitre 5 MATRICES 1 GÉNÉRALITÉS
MATRICES
1 G ÉNÉRALITÉS .
1.1 Définitions.
— Deux entiers naturels n et p étant donnés non nuls, on appelle matrice de format (n , p) tout tableau
rectangulaire de n × p éléments, disposés sur n lignes et p colonnes.
Dans les situations abordées ici, les éléments en question sont des nombres réels.
Une matrice de format (n , p) est également appelée matrice de format n × p, ou matrice de taille n × p,
ou matrice de dimension n × p.
a 11 a 12 . . . ... a1 j ... a 1p
a 21 a 22 . . . ... a2 j ...
a 2p
... ... ... ... ... ... ... ¡ ¢
— La matrice A = peut aussi être notée A = a i j 1Éi Én ,
ai 1 ai 2 . . . . . . ai j . . . ai p 1É j Ép
... ... ... ... ... ... ...
a n1 a n2 . . . . . . a n j . . . a np
¡ ¢ £ ¤
ou simplement A = a i j (s’il n’y a pas de risque de confusion), ou encore A = a i j (crochets sur les
calculatrices).
La notation a i j désigne le coefficient ou le terme ou l’élément situé à l’intersection de la i -ième ligne et
de la j -ième colonne de la matrice A.
On dit aussi que a i j est le coefficient générique de la matrice A.
— Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Deux matrices nulles qui n’ont
pas le même format ne sont pas égales, mais il n’existe qu’une matrice nulle de format n × p donné ; on
la note 0np ou simplement 0 s’il n’y a pas de risque de confusion.
— Une matrice colonne de dimension n ou vecteur colonne de dimension n est une matrice de format n×1.
a1
a2
Ses coefficients sont notés avec un seul indice au lieu d’un double indice : . .
..
an
— Une matrice ligne de dimension n ou vecteur ligne de dimension n est³une matrice de format ´ 1 × n. Ses
coefficients sont notés avec un seul indice au lieu d’un double indice : a 1 a2 ... an .
à !
¡ ¢ 2 −5 3
Exemple : La matrice A = a i j = est une matrice de format
0 4 1
Ses coefficients sont :
Les vecteurs colonnes de A sont :
1.2 Égalité de deux matrices.
Deux matrices sont égales si et seulement si :
— elles ont le même format ;
— leurs coefficients de mêmes indices sont égaux.
1
, LLG-Term Maths Expertes 2020-21 Chapitre 5 MATRICES 2 OPÉRATIONS
¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j 1Éi Én et B = b i j 1Éi Éq .
1É j Ép 1É j Ér
A = B équivaut à n = q , p = r et, pour tout 1 É i É n et tout 1 É j É p, a i j = b i j .
a d 1 −3
Exemple : b e = 5 2 équivaut à :
c f 0 6
1.3 Cas des matrices carrées.
— Une matrice carrée d’ordre n ou de taille n est une matrice comportant n lignes et n colonnes, c’est-à-
dire de format n × n.
— La diagonale principale ou simplement la diagonale d’une matrice carrée d’ordre n est l’ensemble des
coefficients a 11 , a 22 , . . . , a nn .
a 11 a 12 ... ... ... a 1n
a 21 a 22 ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
Sur la matrice A = , les éléments de la diagonale principale sont en
... ... ... ai i ... ...
... ... ... ... ... ...
a n1 ... ... ... ... a nn
gras.
— Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement
ceux de la diagonale principale.
¡ ¢
D = d i j est une matrice diagonale si et seulement si, quels que soient i et j : i 6= j ⇒ d i j = 0 .
— La matrice identité d’ordre n est la matrice diagonale d’ordre n dont tous les coefficients de la diagonale
principale sont égaux à 1. On la note souvent I n .
à !
1 3
Exemples A = est une matrice 2 × 2, matrice carrée d’ordre 2 ,
2 4
−1 0 1
B = 0 2 7 est une matrice 3 × 3, matrice carrée d’ordre 3 ,
4 6 4
1 0 0 0 0 0
D = 0 2 0 et E = 0 −3 0 sont des matrices diagonales d’ordre 3,
0 0 6 00 1
à ! 1 0 0
1 0
I2 = , I 3 = 0 1 0 .
0 1
0 0 1
2 O PÉRATIONS .
2.1 Addition et multiplication par un réel.
a. La somme de deux matrices A et B de même format n×p est la matrice notée A+B , également de format
n × p, obtenue en additionnant les termes de A et de B de mêmes indices.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j , B = b i j et C = A + B = c i j de format n × p.
Pour tout 1 É i É n et 1 É j É p , c i j = a i j + b i j .
b. Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice notée k A obtenue en multipliant tous les
coefficients de A par k.
¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j , k ∈ R et B = k A = b i j de format n × p.
2
MATRICES
1 G ÉNÉRALITÉS .
1.1 Définitions.
— Deux entiers naturels n et p étant donnés non nuls, on appelle matrice de format (n , p) tout tableau
rectangulaire de n × p éléments, disposés sur n lignes et p colonnes.
Dans les situations abordées ici, les éléments en question sont des nombres réels.
Une matrice de format (n , p) est également appelée matrice de format n × p, ou matrice de taille n × p,
ou matrice de dimension n × p.
a 11 a 12 . . . ... a1 j ... a 1p
a 21 a 22 . . . ... a2 j ...
a 2p
... ... ... ... ... ... ... ¡ ¢
— La matrice A = peut aussi être notée A = a i j 1Éi Én ,
ai 1 ai 2 . . . . . . ai j . . . ai p 1É j Ép
... ... ... ... ... ... ...
a n1 a n2 . . . . . . a n j . . . a np
¡ ¢ £ ¤
ou simplement A = a i j (s’il n’y a pas de risque de confusion), ou encore A = a i j (crochets sur les
calculatrices).
La notation a i j désigne le coefficient ou le terme ou l’élément situé à l’intersection de la i -ième ligne et
de la j -ième colonne de la matrice A.
On dit aussi que a i j est le coefficient générique de la matrice A.
— Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Deux matrices nulles qui n’ont
pas le même format ne sont pas égales, mais il n’existe qu’une matrice nulle de format n × p donné ; on
la note 0np ou simplement 0 s’il n’y a pas de risque de confusion.
— Une matrice colonne de dimension n ou vecteur colonne de dimension n est une matrice de format n×1.
a1
a2
Ses coefficients sont notés avec un seul indice au lieu d’un double indice : . .
..
an
— Une matrice ligne de dimension n ou vecteur ligne de dimension n est³une matrice de format ´ 1 × n. Ses
coefficients sont notés avec un seul indice au lieu d’un double indice : a 1 a2 ... an .
à !
¡ ¢ 2 −5 3
Exemple : La matrice A = a i j = est une matrice de format
0 4 1
Ses coefficients sont :
Les vecteurs colonnes de A sont :
1.2 Égalité de deux matrices.
Deux matrices sont égales si et seulement si :
— elles ont le même format ;
— leurs coefficients de mêmes indices sont égaux.
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, LLG-Term Maths Expertes 2020-21 Chapitre 5 MATRICES 2 OPÉRATIONS
¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j 1Éi Én et B = b i j 1Éi Éq .
1É j Ép 1É j Ér
A = B équivaut à n = q , p = r et, pour tout 1 É i É n et tout 1 É j É p, a i j = b i j .
a d 1 −3
Exemple : b e = 5 2 équivaut à :
c f 0 6
1.3 Cas des matrices carrées.
— Une matrice carrée d’ordre n ou de taille n est une matrice comportant n lignes et n colonnes, c’est-à-
dire de format n × n.
— La diagonale principale ou simplement la diagonale d’une matrice carrée d’ordre n est l’ensemble des
coefficients a 11 , a 22 , . . . , a nn .
a 11 a 12 ... ... ... a 1n
a 21 a 22 ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
Sur la matrice A = , les éléments de la diagonale principale sont en
... ... ... ai i ... ...
... ... ... ... ... ...
a n1 ... ... ... ... a nn
gras.
— Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement
ceux de la diagonale principale.
¡ ¢
D = d i j est une matrice diagonale si et seulement si, quels que soient i et j : i 6= j ⇒ d i j = 0 .
— La matrice identité d’ordre n est la matrice diagonale d’ordre n dont tous les coefficients de la diagonale
principale sont égaux à 1. On la note souvent I n .
à !
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Exemples A = est une matrice 2 × 2, matrice carrée d’ordre 2 ,
2 4
−1 0 1
B = 0 2 7 est une matrice 3 × 3, matrice carrée d’ordre 3 ,
4 6 4
1 0 0 0 0 0
D = 0 2 0 et E = 0 −3 0 sont des matrices diagonales d’ordre 3,
0 0 6 00 1
à ! 1 0 0
1 0
I2 = , I 3 = 0 1 0 .
0 1
0 0 1
2 O PÉRATIONS .
2.1 Addition et multiplication par un réel.
a. La somme de deux matrices A et B de même format n×p est la matrice notée A+B , également de format
n × p, obtenue en additionnant les termes de A et de B de mêmes indices.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j , B = b i j et C = A + B = c i j de format n × p.
Pour tout 1 É i É n et 1 É j É p , c i j = a i j + b i j .
b. Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice notée k A obtenue en multipliant tous les
coefficients de A par k.
¡ ¢ ¡ ¢
Soit A = a i j , k ∈ R et B = k A = b i j de format n × p.
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