Heilbronn, den 9.3.2021 Prof. Dr. V. Stahl SS 21
Übungen zu Mathematik 1
mit Musterlösungen
Blatt 1
Aufgabe 1. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung
(5x + 2)x = 3.
Lösung von Aufgabe 1. Umformen der Gleichung ergibt
5x2 + 2x − 3 = 0.
Mit der Mitternachtsformel erhält man
√
−2 ± 4 + 60
x1,2 =
10
−2 ± 8
=
10
−1 ± 4
=
5
Damit sind die Lösungen
3
x1 = , x2 = −1.
5
Aufgabe 2. Wiederholen Sie die Rechengesetze der e-Funktion wie z.B.
ex+y = ex ey
1
e−x =
ex
exy = (ex )y
e0 = 1.
Weiterhin sollten Sie wissen, dass die e-Funktion streng monoton steigend
ist und
ex → 0 für x → −∞ und
x
e →∞ für x → ∞.
Lösen Sie damit die Gleichung
1
ex+1 = .
ex−1
Lösung von Aufgabe 2. Umformen ergibt
ex−1 ex+1 = 1
(x−1)+(x+1)
e = 1
2x
e = 1.
1
, Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, ist diese Gleichung nur
erfüllt wenn
2x = 0.
Damit hat man nur eine Lösung
x = 0.
Aufgabe 3. Wiederholen Sie die Rechengesetze der Logarithmusfunktion wie
z.B.
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
n
ln(x ) = n ln(x)
ln(1/x) = ln(x−1 ) = − ln(x)
ln(x)
loga (x) = .
ln(a)
Weiterhin sollten Sie wissen, dass ln(x) nur für x > 0 definiert ist und
dass die ln-Funktion streng monoton steigend ist.
Lösen Sie hiermit die Gleichung
log3 (x + 1) = log9 (4x).
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass 9 = 32 .
Lösung von Aufgabe 3. Umformen ergibt
ln(x + 1) ln(4x)
=
ln(3) ln(32 )
ln(x + 1) ln(4x)
=
ln(3) 2 ln(3)
ln(4x)
ln(x + 1) =
2
2 ln(x + 1) = ln(4x)
ln((x + 1)2 ) = ln(4x).
Da die ln-Funktion streng monoton steigend ist, muss das Argument der
ln Funktion auf beiden Seiten gleich sein, d.h.
(x + 1)2 = 4x
sein. Umformen ergibt
x2 + 2x + 1 = 4x
x2 − 2x + 1 = 0
2
(x − 1) = 0.
Die Gleichung hat damit genau eine Lösung x = 1.
2
Übungen zu Mathematik 1
mit Musterlösungen
Blatt 1
Aufgabe 1. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung
(5x + 2)x = 3.
Lösung von Aufgabe 1. Umformen der Gleichung ergibt
5x2 + 2x − 3 = 0.
Mit der Mitternachtsformel erhält man
√
−2 ± 4 + 60
x1,2 =
10
−2 ± 8
=
10
−1 ± 4
=
5
Damit sind die Lösungen
3
x1 = , x2 = −1.
5
Aufgabe 2. Wiederholen Sie die Rechengesetze der e-Funktion wie z.B.
ex+y = ex ey
1
e−x =
ex
exy = (ex )y
e0 = 1.
Weiterhin sollten Sie wissen, dass die e-Funktion streng monoton steigend
ist und
ex → 0 für x → −∞ und
x
e →∞ für x → ∞.
Lösen Sie damit die Gleichung
1
ex+1 = .
ex−1
Lösung von Aufgabe 2. Umformen ergibt
ex−1 ex+1 = 1
(x−1)+(x+1)
e = 1
2x
e = 1.
1
, Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, ist diese Gleichung nur
erfüllt wenn
2x = 0.
Damit hat man nur eine Lösung
x = 0.
Aufgabe 3. Wiederholen Sie die Rechengesetze der Logarithmusfunktion wie
z.B.
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
n
ln(x ) = n ln(x)
ln(1/x) = ln(x−1 ) = − ln(x)
ln(x)
loga (x) = .
ln(a)
Weiterhin sollten Sie wissen, dass ln(x) nur für x > 0 definiert ist und
dass die ln-Funktion streng monoton steigend ist.
Lösen Sie hiermit die Gleichung
log3 (x + 1) = log9 (4x).
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass 9 = 32 .
Lösung von Aufgabe 3. Umformen ergibt
ln(x + 1) ln(4x)
=
ln(3) ln(32 )
ln(x + 1) ln(4x)
=
ln(3) 2 ln(3)
ln(4x)
ln(x + 1) =
2
2 ln(x + 1) = ln(4x)
ln((x + 1)2 ) = ln(4x).
Da die ln-Funktion streng monoton steigend ist, muss das Argument der
ln Funktion auf beiden Seiten gleich sein, d.h.
(x + 1)2 = 4x
sein. Umformen ergibt
x2 + 2x + 1 = 4x
x2 − 2x + 1 = 0
2
(x − 1) = 0.
Die Gleichung hat damit genau eine Lösung x = 1.
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