Kurzklausur 2
Extrema unter Nebenbedingungen
am 07 . 06 .
bis Folie 52
Gegeben sei eine Funktion mit dem Definitionsbereich D=R
f(x ) Funktion
Gk=n
-> ->
x
y Nebenbedingungen
=
y Anzahl der
.
,
100 0
nebenbedingung
-
-
aber g(x y) 2x +
2y
=
,
:
=
Für umrandet werden
Beispiel Fläche soll
leingezäunt)
eine ist -
unser X .
y gegeben sie
:
·
umrandung
->
das Maximum ist dann erreicht, wenn der Flächeninhalt größtmöglich ist mit dem Umfang U =
100
A Maximalstelle 251 25 . 25 625
Fläche => (x y) (25;
=
:
, =
↳ 25+ 25 + 25 + 25 =
100
D
Nebenbedingungen
Wichtig :
grad(f(x, +I) =
0 funktioniert für Extrema unter NB nicht
M ist
aber :
Die NB-Menge häufig kompakt (sie ist automatisch abgeschlossen) .
Ist M kompakt, so
existiert auf jeden Fall ein Minimum und ein Maximum unter Nebenbedingungen .
Methoden zum bestimmen der Extrema unter
Nebenbedingungen
:
1 .
Methode
:
EINSETZEN :
Ziel ist es die NB nach einer Variablen aufzulösen :
An unserem Beispiel :
f(x, y) =
xy g(x y)
,
= 2x +
2y
-
100
=
0
100 2=
=> y = =
50 -
X
-
=> f(x 50
, x) x(50 x) 50x -
nurnach eine
variable
- -
= =
in
2
-
->
f(x) =
50 -
2x
=
0 => + = 25 => f(x ,
50 -
x) =
625 Maximum
2 Methode PARAMETRISIERUNG DER NEBENBEDINGUNG
:
.
:
f(x y) xxy , NB g(x y) x y2 1 0
=
, = :
, =
+ -
↳ hat parametrisierung :
U( =
( ! =
= f(x=cos(t)+ sin(t) -
Ableitung =o Setzen ~
&
maxt
Vl
fl(t)
es
sin(t)+cos(t)
-
=
I
-
T
( => f(x) =
(4) =- -
-
mi 1
V2
-
& (E) -2
E
Einsetzen :
((f ,) =
(E) +
=
f - ,
-
E) =
-
Vz darf gefolgert werden, weil Miste kompakt .
Maximalstelle Maximum Minimalstelle Minimum
Nachteil sowohl Methode anwendbar
:
Methode 1, als auch z sind nur
bedingt
=> Methode :
3
LAGRAGE MultiPLIKATOREN
Der Satz von
Lagrage besagt
:
gradf(x ... n) =
Mi
-gradgn(x . . .
n)
+
-gradge(x ... n) ...
+
An -gradgn ( ... n)
Außerdem :
gradgn( ,
...n ) ...
gradgn(x , ...n
) sind linear
unabhängige Vektoren
An einem "etwas längerem" Beispiel erklärt :
(E)
&
prüfen
1 .
Unabhängigkeit :
R gradgn(x z)
linear
unabhängig für
z)1
,
y,
außer
=
f: ex ,y ,
z) = ((x /
y, =
x2+yz 22-
+
= = o
wird
wy x=0 von B1
ausgeschlossen
(0)
mit NBn x2 y2
=
g(x y ,
z) 0
=
+ 1
=
: -
,
gradge(x y ,z) , =
=>
linear
unabhängig
NB2 z)
92(x ,y ,
x 0
- z
= =
:
2 Grad f(x z) +Satz von
. von y,
,
Lagro
gradf(z ,
y
, z) =
() =
(2) +
(4) /An und i sind für uns nebensächlich :
wir wollen +, y,
z
bestimmen
Fall
1
aufstellen NB
:
Gleichungen und einsetzen
MoglicheKanitate
3 in
ein
3
:
NBr:
.
y dann xEn = F
I
=
2x
=
: = 2
. 11 .
x +
dz
0,
I
:
= 2 4yEy 0 oder An
NBz : wenn x
=
En , dann z =
In, weil z =x (1: ;
0
1) 11 (1; :
0
-1)
2y
-
1
=
#I: 2z =
-
Mz
Mögliche Kandidaten
1
3
= 1 einsetzen :
2x = 2x + 1z 12 =
0
für Extrema :
0
# z
=
+ = 0 y21 y = + -
Co, 1, 0(0; - 1, 0
, Aus det Matrix
Vorlesungsnotizen 28 . 04 bestimmen jener
bedingungen
:
vom der .
Von können
indem (Determinantenmethode)
abgelesen werden man =o setzt .
det
I I O -
= 4xy
-
(4yz
-
Gxy) =
-Gyz 11-4yz = 0 =y=0 oder z
=
0
In B einsetzen :
Falln :
y
= 0 - NBn: x 1 +
=
1 11NB2 z = En
=( ,01);( 1
,
0,
-
1)
Fall
2
:
zo >
NBny Ey Il NB x Co ,, d
,
Co, n,
d
4 . in Funktion F einsetzen :
f(n q) , = +
1
21 f(-1 , ,
0
-1) =
(1 + -
11 =
2
f(0 , 1
, d) =
1 1
f(0 , 1
, d) =
1
Mist kompakt = Maximum von f,
m ist :
2
angenommen an den Stellen (1 ,01) (1 (-1 , 0,
-
1)
Minimum Stellen Co , 1 ,0 11 (0, -1 0
von ist angenommen den ,
1
f,
M an
:
Notiz zu Methode :
3
Spezialfall Für Nur Eine Nebenbedingung :
Sobald es nur eine
Nebenbedingung g(x) = 0 gibt :
gilt grad fläl =
gradg(al
->
Variante mit Matrix kann ebenfalls verwendet werden allerdings mussen Streichmatritzen gebildet
werden, von jenen die Determinanten =
o gesetzt werden .
EXTREMA Auf GEBIETEN MIT RAND
->
Tropologische Eigenschafften von
Mengen
~ zeichen für "mit
wiederholen .
Rand"
generell gilt :
D =
[Cx y) ,
ER IgCx yl ,
So oftmals kompakt - hat ein Minimum und ein Maximum
Beispielrechnung :
D =
{(x ,y)(x +
y =
13 g(x y) , = x+y2 -
n =
0
(abgeschlossener Einheitskreis ,
f(x y)
, =
x .
y
=>
Gesucht ist das Minimum und Maximum von f
auf D(g(x y) , (existiert da D
kompakt ist)
~ . Suche nach kandidaten im inneren von D (übliche "Gradientenmethode" wie in KK1 Kapit)
grad f(x y) , =
(y) =
(8) x =
y
=
0 Kandidat im inneren :
(a , 0
2 . Suche nach Kandidaten auf dem Rand M = (D =
Ex , y)/x+y =
13 x =
y = 0 wird
ausgeschlossen
=> NB
:
g(x y) , = x2+ y2 -
1 =
0
gradg(xy) =
(5) + (0) FlxyEM -
Lagrage Multiplikation
-> geht nicht
2y)
1
4
E
2x
R Fallz
:
y
.
Fall
=
-> + 1
2x 2x =
1
: :
= =
0,
+ =
.
x
=
x -
4
Fall 1
:
x =
0
Fall 2
:
3 . Maximum und Minimum berechnen :
Thin =
Max
Max Min
Kandidaten y)
(z F) El &r
--
(x,
(0 , 0 , F ,
-
I
f(x, y) ↑I
O . *
Zweidimensionales Integral und Volumen
Maß einer
Menge
:
MV :
n =n
Länge Il M: =z Fläche Il M3 :
n = 3 Volumen
wiederholung Mathe n
:
Integralrechnung :
~z auf anderer Seite auch
!
↓
Y
wie eine Fläche mit Rechtecken und
=>
f
Quadraten ausgefüllt wird, so wird ein Körper
Integralrechnung
:
würfeln
ausgefüllt
1
zweidimensional mit und Quadern .
*
Y
Feldx a
=
F(b) -
F(a) x
>(f(x ,
y, (z) dx
dy(dz)
-> gibt kein klaren Satz
Stammfuktion)
Extrema unter Nebenbedingungen
am 07 . 06 .
bis Folie 52
Gegeben sei eine Funktion mit dem Definitionsbereich D=R
f(x ) Funktion
Gk=n
-> ->
x
y Nebenbedingungen
=
y Anzahl der
.
,
100 0
nebenbedingung
-
-
aber g(x y) 2x +
2y
=
,
:
=
Für umrandet werden
Beispiel Fläche soll
leingezäunt)
eine ist -
unser X .
y gegeben sie
:
·
umrandung
->
das Maximum ist dann erreicht, wenn der Flächeninhalt größtmöglich ist mit dem Umfang U =
100
A Maximalstelle 251 25 . 25 625
Fläche => (x y) (25;
=
:
, =
↳ 25+ 25 + 25 + 25 =
100
D
Nebenbedingungen
Wichtig :
grad(f(x, +I) =
0 funktioniert für Extrema unter NB nicht
M ist
aber :
Die NB-Menge häufig kompakt (sie ist automatisch abgeschlossen) .
Ist M kompakt, so
existiert auf jeden Fall ein Minimum und ein Maximum unter Nebenbedingungen .
Methoden zum bestimmen der Extrema unter
Nebenbedingungen
:
1 .
Methode
:
EINSETZEN :
Ziel ist es die NB nach einer Variablen aufzulösen :
An unserem Beispiel :
f(x, y) =
xy g(x y)
,
= 2x +
2y
-
100
=
0
100 2=
=> y = =
50 -
X
-
=> f(x 50
, x) x(50 x) 50x -
nurnach eine
variable
- -
= =
in
2
-
->
f(x) =
50 -
2x
=
0 => + = 25 => f(x ,
50 -
x) =
625 Maximum
2 Methode PARAMETRISIERUNG DER NEBENBEDINGUNG
:
.
:
f(x y) xxy , NB g(x y) x y2 1 0
=
, = :
, =
+ -
↳ hat parametrisierung :
U( =
( ! =
= f(x=cos(t)+ sin(t) -
Ableitung =o Setzen ~
&
maxt
Vl
fl(t)
es
sin(t)+cos(t)
-
=
I
-
T
( => f(x) =
(4) =- -
-
mi 1
V2
-
& (E) -2
E
Einsetzen :
((f ,) =
(E) +
=
f - ,
-
E) =
-
Vz darf gefolgert werden, weil Miste kompakt .
Maximalstelle Maximum Minimalstelle Minimum
Nachteil sowohl Methode anwendbar
:
Methode 1, als auch z sind nur
bedingt
=> Methode :
3
LAGRAGE MultiPLIKATOREN
Der Satz von
Lagrage besagt
:
gradf(x ... n) =
Mi
-gradgn(x . . .
n)
+
-gradge(x ... n) ...
+
An -gradgn ( ... n)
Außerdem :
gradgn( ,
...n ) ...
gradgn(x , ...n
) sind linear
unabhängige Vektoren
An einem "etwas längerem" Beispiel erklärt :
(E)
&
prüfen
1 .
Unabhängigkeit :
R gradgn(x z)
linear
unabhängig für
z)1
,
y,
außer
=
f: ex ,y ,
z) = ((x /
y, =
x2+yz 22-
+
= = o
wird
wy x=0 von B1
ausgeschlossen
(0)
mit NBn x2 y2
=
g(x y ,
z) 0
=
+ 1
=
: -
,
gradge(x y ,z) , =
=>
linear
unabhängig
NB2 z)
92(x ,y ,
x 0
- z
= =
:
2 Grad f(x z) +Satz von
. von y,
,
Lagro
gradf(z ,
y
, z) =
() =
(2) +
(4) /An und i sind für uns nebensächlich :
wir wollen +, y,
z
bestimmen
Fall
1
aufstellen NB
:
Gleichungen und einsetzen
MoglicheKanitate
3 in
ein
3
:
NBr:
.
y dann xEn = F
I
=
2x
=
: = 2
. 11 .
x +
dz
0,
I
:
= 2 4yEy 0 oder An
NBz : wenn x
=
En , dann z =
In, weil z =x (1: ;
0
1) 11 (1; :
0
-1)
2y
-
1
=
#I: 2z =
-
Mz
Mögliche Kandidaten
1
3
= 1 einsetzen :
2x = 2x + 1z 12 =
0
für Extrema :
0
# z
=
+ = 0 y21 y = + -
Co, 1, 0(0; - 1, 0
, Aus det Matrix
Vorlesungsnotizen 28 . 04 bestimmen jener
bedingungen
:
vom der .
Von können
indem (Determinantenmethode)
abgelesen werden man =o setzt .
det
I I O -
= 4xy
-
(4yz
-
Gxy) =
-Gyz 11-4yz = 0 =y=0 oder z
=
0
In B einsetzen :
Falln :
y
= 0 - NBn: x 1 +
=
1 11NB2 z = En
=( ,01);( 1
,
0,
-
1)
Fall
2
:
zo >
NBny Ey Il NB x Co ,, d
,
Co, n,
d
4 . in Funktion F einsetzen :
f(n q) , = +
1
21 f(-1 , ,
0
-1) =
(1 + -
11 =
2
f(0 , 1
, d) =
1 1
f(0 , 1
, d) =
1
Mist kompakt = Maximum von f,
m ist :
2
angenommen an den Stellen (1 ,01) (1 (-1 , 0,
-
1)
Minimum Stellen Co , 1 ,0 11 (0, -1 0
von ist angenommen den ,
1
f,
M an
:
Notiz zu Methode :
3
Spezialfall Für Nur Eine Nebenbedingung :
Sobald es nur eine
Nebenbedingung g(x) = 0 gibt :
gilt grad fläl =
gradg(al
->
Variante mit Matrix kann ebenfalls verwendet werden allerdings mussen Streichmatritzen gebildet
werden, von jenen die Determinanten =
o gesetzt werden .
EXTREMA Auf GEBIETEN MIT RAND
->
Tropologische Eigenschafften von
Mengen
~ zeichen für "mit
wiederholen .
Rand"
generell gilt :
D =
[Cx y) ,
ER IgCx yl ,
So oftmals kompakt - hat ein Minimum und ein Maximum
Beispielrechnung :
D =
{(x ,y)(x +
y =
13 g(x y) , = x+y2 -
n =
0
(abgeschlossener Einheitskreis ,
f(x y)
, =
x .
y
=>
Gesucht ist das Minimum und Maximum von f
auf D(g(x y) , (existiert da D
kompakt ist)
~ . Suche nach kandidaten im inneren von D (übliche "Gradientenmethode" wie in KK1 Kapit)
grad f(x y) , =
(y) =
(8) x =
y
=
0 Kandidat im inneren :
(a , 0
2 . Suche nach Kandidaten auf dem Rand M = (D =
Ex , y)/x+y =
13 x =
y = 0 wird
ausgeschlossen
=> NB
:
g(x y) , = x2+ y2 -
1 =
0
gradg(xy) =
(5) + (0) FlxyEM -
Lagrage Multiplikation
-> geht nicht
2y)
1
4
E
2x
R Fallz
:
y
.
Fall
=
-> + 1
2x 2x =
1
: :
= =
0,
+ =
.
x
=
x -
4
Fall 1
:
x =
0
Fall 2
:
3 . Maximum und Minimum berechnen :
Thin =
Max
Max Min
Kandidaten y)
(z F) El &r
--
(x,
(0 , 0 , F ,
-
I
f(x, y) ↑I
O . *
Zweidimensionales Integral und Volumen
Maß einer
Menge
:
MV :
n =n
Länge Il M: =z Fläche Il M3 :
n = 3 Volumen
wiederholung Mathe n
:
Integralrechnung :
~z auf anderer Seite auch
!
↓
Y
wie eine Fläche mit Rechtecken und
=>
f
Quadraten ausgefüllt wird, so wird ein Körper
Integralrechnung
:
würfeln
ausgefüllt
1
zweidimensional mit und Quadern .
*
Y
Feldx a
=
F(b) -
F(a) x
>(f(x ,
y, (z) dx
dy(dz)
-> gibt kein klaren Satz
Stammfuktion)
