Table des matières
Analyse numérique 1 2
1 Etude d’erreurs 3
1.1 Erreur absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Propagation des erreurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Notation decimales des nombres approchés . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Troncature d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Arrodissement d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Résolution d’équation non linéaires f(x)=0 12
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Séparation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Méthode graphique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Méthode de balayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Méthode de dichotomie (où bissection) . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Méthode de point …xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Points …xes attractifs et répulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Méthode de Newton-Raphson (ou Newton ou des tangantes) 23
2.4.5 Méthode de Newton modi…eé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.6 Critére d’arret pour la méthode du Newton . . . . . . . . . . . 25
1
, TABLE DES MATIÈRES
2.4.7 Ordre d’une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Résolution de systémes linéaires 28
3.1 Algèbre linéaire: Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Notion de préconditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Résolution d’un systéme par les méthodes de remontée ou de descente . . . . 35
3.5.1 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.2 Factorisation en un produit LU du systéme (3.4.1) . . . . . . . . . . . 37
3.5.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.4 Matices élémentaires de gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.5 Méthode de Gauss-Jordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Méthodes de résolution itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.1 Critére d’arrét: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bibliographie 51
2
, Chapitre 1
Etude d’erreurs
On a deux quantités :
p
Exemple 1.0.1 La quantité exacte: 2, 3/4, 2; e; ; log(3); sin(1); cos(3); :::::::
p
Exemple 1.0.2 La quantité approximative où valeur approchée: 3 ' 1:732; e '
2:718; ln(4) ' 1:386:::::
Dé…nition 1.0.1 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre.
1- si x >x, x est dite valeur approchée par excée.
2- si x <x, x est dite valeur approchée par défaut..
p p
Exemple 1.0.3 Considérons le nombre x = 2; on a 1:41 < 2 < 1:42; alors
x = 1:42 est une valeur approchée par excée, et x = 1:41 est une valeur approchée
par défaut.
1.1 Erreur absolue et relative
Dé…nition 1.1.1 On appelle erreur absolue, notée (x); d’un nombre approché x
d’une valeur exacte x, la valeur absolue de la di¤ érence :
(x) = jx xj (1.1.1)
3
, 1.1. Erreur absolue et relative
Si le nombre exact x est connu, on peut dé…nir l’erreur absolue, si x n’est pas
connu , l’erreur absolue n’est donc pas connue, et pour l’apprécier on introduit
la notion de majorant de l’erreur absolue.
Dé…nition 1.1.2 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre. On appelle majorant de l’erreur absolue (x) = jx x j tout nombre x
tel que :
x (x); i.e x x x x +x (1.1.2)
Exemple 1.1.1 soient x = le nombre exact et x = 3:14 le nombre approché de
x , trouver la borne d’erreur absolue?
puisque 3:14 < < 3:15, il vient j x j < 0:01; par conséquent ,on peut poser
x = 0:01; si l’on tient compte de ce qui 3:141 < < 3:142; une meillure estimation
est x = 0:001:
Remarque 1.1.1 1- Plus x est plus petite , plus l’approximation x est pré-
cise , donc toujour en pratique on prend la plus petite x possible (la bornne
supérieur).
2-on écrit : x = x x ou encore x ' x x , qui veut dire x 2 [x x; x +x ]
.
x1 +x2
3- si x1 et x2 sont tels que x1 x x2 , alors x = 2
est une approximation
de x avec un majorant
x2 x1
x = (1.1.3)
2
Dé…nition 1.1.3 L’erreur relative d’un nombre approchée x , notée (x) est le
rapport de l’erreur absolue et du module du nombre exact correspondant,
(x) jx x j
(x) = = (1.1.4)
jxj jxj
on a donc
(x) = jxj : (x) (1.1.5)
(x)
Dé…nition 1.1.4 Un majorant de l’erreur relative noté x (x) = jxj
donc
(x) jxj : x on peut prendre alors comme majorant de l’erreur absolue
x = jxj : x (1.1.6)
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Analyse numérique 1 2
1 Etude d’erreurs 3
1.1 Erreur absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Propagation des erreurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Notation decimales des nombres approchés . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Troncature d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Arrodissement d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Résolution d’équation non linéaires f(x)=0 12
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Séparation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Méthode graphique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Méthode de balayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Méthode de dichotomie (où bissection) . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Méthode de point …xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Points …xes attractifs et répulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Méthode de Newton-Raphson (ou Newton ou des tangantes) 23
2.4.5 Méthode de Newton modi…eé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.6 Critére d’arret pour la méthode du Newton . . . . . . . . . . . 25
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, TABLE DES MATIÈRES
2.4.7 Ordre d’une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Résolution de systémes linéaires 28
3.1 Algèbre linéaire: Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Notion de préconditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Résolution d’un systéme par les méthodes de remontée ou de descente . . . . 35
3.5.1 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.2 Factorisation en un produit LU du systéme (3.4.1) . . . . . . . . . . . 37
3.5.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.4 Matices élémentaires de gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.5 Méthode de Gauss-Jordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Méthodes de résolution itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.1 Critére d’arrét: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bibliographie 51
2
, Chapitre 1
Etude d’erreurs
On a deux quantités :
p
Exemple 1.0.1 La quantité exacte: 2, 3/4, 2; e; ; log(3); sin(1); cos(3); :::::::
p
Exemple 1.0.2 La quantité approximative où valeur approchée: 3 ' 1:732; e '
2:718; ln(4) ' 1:386:::::
Dé…nition 1.0.1 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre.
1- si x >x, x est dite valeur approchée par excée.
2- si x <x, x est dite valeur approchée par défaut..
p p
Exemple 1.0.3 Considérons le nombre x = 2; on a 1:41 < 2 < 1:42; alors
x = 1:42 est une valeur approchée par excée, et x = 1:41 est une valeur approchée
par défaut.
1.1 Erreur absolue et relative
Dé…nition 1.1.1 On appelle erreur absolue, notée (x); d’un nombre approché x
d’une valeur exacte x, la valeur absolue de la di¤ érence :
(x) = jx xj (1.1.1)
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, 1.1. Erreur absolue et relative
Si le nombre exact x est connu, on peut dé…nir l’erreur absolue, si x n’est pas
connu , l’erreur absolue n’est donc pas connue, et pour l’apprécier on introduit
la notion de majorant de l’erreur absolue.
Dé…nition 1.1.2 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre. On appelle majorant de l’erreur absolue (x) = jx x j tout nombre x
tel que :
x (x); i.e x x x x +x (1.1.2)
Exemple 1.1.1 soient x = le nombre exact et x = 3:14 le nombre approché de
x , trouver la borne d’erreur absolue?
puisque 3:14 < < 3:15, il vient j x j < 0:01; par conséquent ,on peut poser
x = 0:01; si l’on tient compte de ce qui 3:141 < < 3:142; une meillure estimation
est x = 0:001:
Remarque 1.1.1 1- Plus x est plus petite , plus l’approximation x est pré-
cise , donc toujour en pratique on prend la plus petite x possible (la bornne
supérieur).
2-on écrit : x = x x ou encore x ' x x , qui veut dire x 2 [x x; x +x ]
.
x1 +x2
3- si x1 et x2 sont tels que x1 x x2 , alors x = 2
est une approximation
de x avec un majorant
x2 x1
x = (1.1.3)
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Dé…nition 1.1.3 L’erreur relative d’un nombre approchée x , notée (x) est le
rapport de l’erreur absolue et du module du nombre exact correspondant,
(x) jx x j
(x) = = (1.1.4)
jxj jxj
on a donc
(x) = jxj : (x) (1.1.5)
(x)
Dé…nition 1.1.4 Un majorant de l’erreur relative noté x (x) = jxj
donc
(x) jxj : x on peut prendre alors comme majorant de l’erreur absolue
x = jxj : x (1.1.6)
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