Hoofdstuk 4: Vectorruimten (p 58-69)
4.1 Definities
Het combineren van (een) verzameling(en) met (een) bewerking(en) kan
aanleiding geven tot bijzondere structuren, die een specifieke naam krijgen.
4.1.1 Commutatieve groep
Stel dat we in een verzameling V een bewerking invoeren, die we hier
bijvoorbeeld voorstellen door +¿ en de optelling noemen, die aan de
volgende eigenschappen voldoet:
1. De bewerking is inwendig, overal gedefinieerd
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2 ∈ V
2. De optelling is associatief
x
(¿ ¿ 2+ x3 )
∀ x 1 , x 2 , x3 ∈V : ( x 1+ x2 ) + x 3=x 1 +¿
3. Er is een neutraal element voor de optelling
∀ x ∈V : x+ 0=0+ x=x
4. Ieder element heeft een tegengesteld of invers element voor de
optelling
∀ x ∈V , ∃ (−x ) ∈V : x + (−x )=0
In dat geval noemen we de structuur V,+ een groep.
Geldt daarenboven:
5. De bewerking is commutatief
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2=x 2 + x 1
4.1.2 Veld
Een veld F,+,• is eveneens een verzameling van elementen, die we nu
scalairen noemen.
Om van die verzameling een veld te maken, hebben we 2 bewerkingen nodig:
een optelling + en een vermenigvuldiging • en wel zodanig dat F,+ een
¿
commutatieve groep vormt evenals F {0 ¿ ¿ , • . Het neutraal element r deze
laatste is 1.
We beperken ons tot het veld van de reële getallen en het veld van de
complexe getallen.
1
Algebra hoofdstuk 4
, 4.1.3 Vectorruimte
Om een vectorruimte te vormen hebben we nodig:
Een commutatieve groep V,+; de elementen ervan noemen we vectoren
(algemeen ⃗v )
Een veld F,+,•
Een bewerking van FxV naar V, scalaire vermenigvuldiging genaamd,
die aan de volgende eigenschappen voldoet
∀ r , s ∈ F , ∀ ⃗v , ⃗
w∈V : 1. ( rs ) ⃗v =r ( s ⃗v )
2. ( r + s ) ⃗v =r ⃗v +s ⃗v
3. r ( ⃗v +⃗
w )=r ⃗v +r ⃗
w
4. 1 ⃗v =⃗v
We spreken dan van de vectorruimte V,+,• over het veld F.
Wanneer geen twijfel mogelijk is over welk veld het gaat, hoeven we het niet te
vermelden.
4.2 Deelruimte van een vectorruimte
4.2.1 Voorbeeld
Zie p 60
4.2.2 Criterium voor deelruimte
Een deelverzameling W van een vectorruimte V,+,• over een veld F is zelf
een vectorruimte a.s.a. als
r⃗ w2 ∈ W 1
w1 +⃗ voor elke r ∈ F en voor alle
w 2 ∈W 1
w1, ⃗
⃗
Notatie: W ≺V
Dit betekent dat het volstaat enkel deze voorwaarde te checken om te weten of
een deelverzameling van een vectorruimte, zelf ook een vectorruimte is.
Als aan het criterium is voldaan, dan zijn ineens alle voorwaarden voor een
vectorruimte vervuld, en omgekeerd.
4.3 Basis en coördinaten
4.3.1 Lineaire combinaties
2
Algebra hoofdstuk 4
4.1 Definities
Het combineren van (een) verzameling(en) met (een) bewerking(en) kan
aanleiding geven tot bijzondere structuren, die een specifieke naam krijgen.
4.1.1 Commutatieve groep
Stel dat we in een verzameling V een bewerking invoeren, die we hier
bijvoorbeeld voorstellen door +¿ en de optelling noemen, die aan de
volgende eigenschappen voldoet:
1. De bewerking is inwendig, overal gedefinieerd
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2 ∈ V
2. De optelling is associatief
x
(¿ ¿ 2+ x3 )
∀ x 1 , x 2 , x3 ∈V : ( x 1+ x2 ) + x 3=x 1 +¿
3. Er is een neutraal element voor de optelling
∀ x ∈V : x+ 0=0+ x=x
4. Ieder element heeft een tegengesteld of invers element voor de
optelling
∀ x ∈V , ∃ (−x ) ∈V : x + (−x )=0
In dat geval noemen we de structuur V,+ een groep.
Geldt daarenboven:
5. De bewerking is commutatief
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2=x 2 + x 1
4.1.2 Veld
Een veld F,+,• is eveneens een verzameling van elementen, die we nu
scalairen noemen.
Om van die verzameling een veld te maken, hebben we 2 bewerkingen nodig:
een optelling + en een vermenigvuldiging • en wel zodanig dat F,+ een
¿
commutatieve groep vormt evenals F {0 ¿ ¿ , • . Het neutraal element r deze
laatste is 1.
We beperken ons tot het veld van de reële getallen en het veld van de
complexe getallen.
1
Algebra hoofdstuk 4
, 4.1.3 Vectorruimte
Om een vectorruimte te vormen hebben we nodig:
Een commutatieve groep V,+; de elementen ervan noemen we vectoren
(algemeen ⃗v )
Een veld F,+,•
Een bewerking van FxV naar V, scalaire vermenigvuldiging genaamd,
die aan de volgende eigenschappen voldoet
∀ r , s ∈ F , ∀ ⃗v , ⃗
w∈V : 1. ( rs ) ⃗v =r ( s ⃗v )
2. ( r + s ) ⃗v =r ⃗v +s ⃗v
3. r ( ⃗v +⃗
w )=r ⃗v +r ⃗
w
4. 1 ⃗v =⃗v
We spreken dan van de vectorruimte V,+,• over het veld F.
Wanneer geen twijfel mogelijk is over welk veld het gaat, hoeven we het niet te
vermelden.
4.2 Deelruimte van een vectorruimte
4.2.1 Voorbeeld
Zie p 60
4.2.2 Criterium voor deelruimte
Een deelverzameling W van een vectorruimte V,+,• over een veld F is zelf
een vectorruimte a.s.a. als
r⃗ w2 ∈ W 1
w1 +⃗ voor elke r ∈ F en voor alle
w 2 ∈W 1
w1, ⃗
⃗
Notatie: W ≺V
Dit betekent dat het volstaat enkel deze voorwaarde te checken om te weten of
een deelverzameling van een vectorruimte, zelf ook een vectorruimte is.
Als aan het criterium is voldaan, dan zijn ineens alle voorwaarden voor een
vectorruimte vervuld, en omgekeerd.
4.3 Basis en coördinaten
4.3.1 Lineaire combinaties
2
Algebra hoofdstuk 4
