Wiskende thema 1 1.1
Hoofdstuk 1 de cirkel
1.1 middellijn, koorde en apothema
Cirkel De cirkel met middelpunt M en straal r is de
verzameling van alle punten die op afstand r
van het punt M liggen
notatie C(M,r)
Koorde Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat 2
punten van de cirkel verbindt
Op de cirkel
Middellijn Een middellijn van een cirkel is een koorde van
de cirkel die het middelpunt bevat
Op de cirkel
Diameter De lengte van de middellijn
Het is het dubbel van de straal
Op de cirkel
Cirkelboog op de cirkel Een cirkelboog is een deel van een cirkel
begrensd door twee punten
Notatie kleine boog Tussen twee punten P en Q op de cirkel noteren
we als PQ
Op de cirkel
Notatie grote boog Met punt R op de cirkelboog PRQ
Op de cirkel
Apothema Het apothema van een koorde is de afstand van
het middelpunt van de cirkel tot die koorde
, Wiskende thema 1 1.1
Notatie Zo is │ MN │ het apothema van [ PQ ]
Op de cirkel
EIGENSCHAP Een middelloodlijn loodrecht op een koorde
deelt de koorde middendoor
BEWIJS : gegeven Cirkel c(M,r)
Koorde [ PQ ]
Middellijn m ⊥ PQ
m snijdt PQ in S
: Te bewijzen |PS|=|QS|
: bewijs Teken de stralen [ MP ] en [ MQ ]
Z |PM|=|QM | = r .
∆ PMS=∆QMS omdat Z |MS|=|MS|
gemeenschapelijke zijde
90° P^SM = Q^SM = 90°
Gegeven
⇓
|PS|=|QS|
tekening
Gevolg Een middellijn van een cirkel is een
symmetrieas van de cirkel
1.2 middelpuntshoek en omtrekshoek
Middelpuntshoek Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek
waarvan het hoekpunt samenvalt et het
middelpunt van de cirkel
omtrekshoek Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek
waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en
waarvan beide benen de cirkel snijden
EIGENSCHAP Een omtreksBhoek is de helft van de
middelpuntshoek die op dezelfde boog staat
BEWIJS : gegeven Cirkel c(M,r)
Cirkelboog AB
Middelpuntshoek A^MB en omtrekshoek A^PB
: te bewijzen A^PB = ½ A^MB
: bewijs : geval 1 : het middelpunt ligt op een ^P +¿ M 2+ ^B = 180° hoekensom in ∆ PMB
been van de omtrekshoek ⇓
2^P + ¿ M 2 = 180° ∆ PMB is gelijkbenig zodat ^B
= ^P
⇓
2^P = 180° - ¿ M 2
⇓
2^P = ¿ M 1
⇓
Hoofdstuk 1 de cirkel
1.1 middellijn, koorde en apothema
Cirkel De cirkel met middelpunt M en straal r is de
verzameling van alle punten die op afstand r
van het punt M liggen
notatie C(M,r)
Koorde Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat 2
punten van de cirkel verbindt
Op de cirkel
Middellijn Een middellijn van een cirkel is een koorde van
de cirkel die het middelpunt bevat
Op de cirkel
Diameter De lengte van de middellijn
Het is het dubbel van de straal
Op de cirkel
Cirkelboog op de cirkel Een cirkelboog is een deel van een cirkel
begrensd door twee punten
Notatie kleine boog Tussen twee punten P en Q op de cirkel noteren
we als PQ
Op de cirkel
Notatie grote boog Met punt R op de cirkelboog PRQ
Op de cirkel
Apothema Het apothema van een koorde is de afstand van
het middelpunt van de cirkel tot die koorde
, Wiskende thema 1 1.1
Notatie Zo is │ MN │ het apothema van [ PQ ]
Op de cirkel
EIGENSCHAP Een middelloodlijn loodrecht op een koorde
deelt de koorde middendoor
BEWIJS : gegeven Cirkel c(M,r)
Koorde [ PQ ]
Middellijn m ⊥ PQ
m snijdt PQ in S
: Te bewijzen |PS|=|QS|
: bewijs Teken de stralen [ MP ] en [ MQ ]
Z |PM|=|QM | = r .
∆ PMS=∆QMS omdat Z |MS|=|MS|
gemeenschapelijke zijde
90° P^SM = Q^SM = 90°
Gegeven
⇓
|PS|=|QS|
tekening
Gevolg Een middellijn van een cirkel is een
symmetrieas van de cirkel
1.2 middelpuntshoek en omtrekshoek
Middelpuntshoek Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek
waarvan het hoekpunt samenvalt et het
middelpunt van de cirkel
omtrekshoek Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek
waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en
waarvan beide benen de cirkel snijden
EIGENSCHAP Een omtreksBhoek is de helft van de
middelpuntshoek die op dezelfde boog staat
BEWIJS : gegeven Cirkel c(M,r)
Cirkelboog AB
Middelpuntshoek A^MB en omtrekshoek A^PB
: te bewijzen A^PB = ½ A^MB
: bewijs : geval 1 : het middelpunt ligt op een ^P +¿ M 2+ ^B = 180° hoekensom in ∆ PMB
been van de omtrekshoek ⇓
2^P + ¿ M 2 = 180° ∆ PMB is gelijkbenig zodat ^B
= ^P
⇓
2^P = 180° - ¿ M 2
⇓
2^P = ¿ M 1
⇓
