TOETSENDE STATISTIEK
- Aan de hand van de hoorcolleges (per week) en Howell (per hoofdstuk) zijn de statistische
toetsen die je voor het tentamen moet weten uitgewerkt. De toetsen zijn in stappen uitgelegd
met verschillende afbeeldingen, voorbeelden en effectmaten.
INHOUDSOPGAVE
Herhaling formules .................................................................................................................................3
Week 1 Steekproefverdeling en hypothese testen (Howell 4) .................................................................3
Hypothese test ............................................................................................................................................ 3
Kans op Error........................................................................................................................................... 3
Week 2 Basic concepts of probability (Howell 5) .....................................................................................4
Random variabelen en populatie parameters ............................................................................................ 4
Kansberekening .......................................................................................................................................... 5
Week 3: categoricale data en Chi-kwadraat (Howell 6)............................................................................6
Chi-Kwadraat toets for independence (kruistabel) ..................................................................................... 6
1: Hypothese ........................................................................................................................................... 6
2: Degrees of freedom ............................................................................................................................ 7
3: Expected frequencies for H0 (onafhankelijk) berekenen.................................................................... 7
4: Test statistiek ...................................................................................................................................... 7
5: Rejection ............................................................................................................................................. 7
Chi-kwadraat X2 test voor homogeniteit .................................................................................................... 8
Voorbeeld ............................................................................................................................................... 8
1: Hypothese ........................................................................................................................................... 8
2: Degrees of freedom ............................................................................................................................ 8
3: Expected frequencies berekenen........................................................................................................ 8
4: Test statistiek ...................................................................................................................................... 9
5: Rejection ............................................................................................................................................. 9
Substantive conclusion ........................................................................................................................... 9
Chi-kwadraat X2 test voor goodness-of fit .................................................................................................. 9
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 10
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 10
3: Expected frequencies ........................................................................................................................ 10
4: Test statistiek .................................................................................................................................... 10
5: Rejection ........................................................................................................................................... 10
5: Substantive conclusion ..................................................................................................................... 10
Effect Size X2 ............................................................................................................................................. 10
Measure of agreement Kappa (k) ............................................................................................................. 11
Voorbeeld ............................................................................................................................................. 11
Bereken Efo (som van geobserveerde frequenties op de diagonale scores) ......................................... 11
Bereken EfE (som van de verwachte frequenties op de diagonale scores) ........................................... 11
Bereken K met formule van Kappa ....................................................................................................... 11
Vuistregels Kappa.................................................................................................................................. 12
,Hoorcollege 4: Hypothese tests applied to Means (Howell 7) ................................................................ 12
Centrale limietstelling ............................................................................................................................... 12
Toepassen centrale limietstelling ......................................................................................................... 12
Een aantal aannames: ........................................................................................................................... 12
One sample Z-test (σ is bekend) ............................................................................................................. 13
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 13
2: Verkrijgen steekproevenverdeling .................................................................................................... 13
3: Test statistiek berekenen (z-score) ................................................................................................... 13
4: Rejection area of boundery .............................................................................................................. 14
5: Statistische conclusie ........................................................................................................................ 14
T-verdeling ................................................................................................................................................ 14
Testing means ....................................................................................................................................... 14
One Sample T-toets (σ is onbekend) ...................................................................................................... 15
1: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 15
2: Test statistiek .................................................................................................................................... 15
3: Rejection area ................................................................................................................................... 15
4: Statistische Conclusie ........................................................................................................................ 15
Confidence interval ............................................................................................................................... 16
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 16
Hoorcollege 5: Hypothese toetsing voor gemiddelden (Howell 7).......................................................... 16
Paired-Samples T-test (dependant) (σ is onbekend) .............................................................................. 16
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 16
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 16
3: verschil scores berekenen ................................................................................................................. 16
4: T-statistiek......................................................................................................................................... 16
Confidence interval ............................................................................................................................... 16
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 16
Independent-samples T-test ..................................................................................................................... 17
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 17
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 17
3: Standaardfout ................................................................................................................................... 17
4: T-Statistiek ........................................................................................................................................ 17
Confidence interval ............................................................................................................................... 17
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 17
Hoorcollege 6 confidence intervals, Effect Sizes, and Power .................................................................. 17
Betrouwbaarheidsinterval voor u ............................................................................................................. 17
Effect maten ............................................................................................................................................. 18
Power ........................................................................................................................................................ 18
De invloed van effectsize d op Power ................................................................................................... 19
Invloed van Alpha op op power ............................................................................................................ 19
Invloed van variantie en steekproefomvang (N) op power .................................................................. 20
Hoorcollege 7: Niet-parametrische methoden....................................................................................... 20
Wilcoxon’s rank-sum test (independent) .................................................................................................. 20
Stap 1: Hypothese ................................................................................................................................. 20
Stap 2: Methode Ranken ...................................................................................................................... 20
Stap 3: Bereken Test statistiek W ......................................................................................................... 21
Stap 4: Standaardafwijking berekenen ................................................................................................. 21
, Stap 4: Z statistiek berekenen .............................................................................................................. 21
Stap 5: Rejection area ........................................................................................................................... 21
6: statistische conclusive....................................................................................................................... 21
Effect size .............................................................................................................................................. 21
Wilcoxon’s signed-rank test (dependent) ................................................................................................. 22
Stap 1: Hypothese ................................................................................................................................. 22
Stap 2: Methode Ranken ...................................................................................................................... 22
Stap 3: Test statistiek T+ berekenen ...................................................................................................... 22
Stap 4: De standaarddeviatie van T + berekenen ................................................................................. 22
Stap 5: Z-statistiek berekenen.............................................................................................................. 23
Stap 6: Rejection area ........................................................................................................................... 23
Effect size .............................................................................................................................................. 23
Samenvatting ........................................................................................................................................ 23
The Sign Test ............................................................................................................................................. 23
Sign Test met Chi-kwadraat goodness of fit ......................................................................................... 23
Overzicht testen.................................................................................................................................... 24
HERHALING FORMULES
Standaardafwijking
Variantie
WEEK 1 STEEKPROEFVERDELING EN HYPOTHESE TESTEN (HOWELL 4)
Hypothese test
1. Stel een hypothese op
2. Verzamel een steekproevenverdeling
3. Test statistiek berekenen, p-value: wat is de kans op X of
hoger?
3/100=0.03.
4. Rejection to region: het rejectionlevel van de nulhypothese is
wanneer de p-value van de teststatistiek onder een alfa van
0.05 valt. Deze grens kan je tekenen vanaf 5 stipjes, omdat
5/100=0.05. Je kan bij deze grens ook kijken naar het
bijbehorende getal, in dit geval 8.4.
5. Statistische conclusie, is de nulhypothese verwerpen of niet?
Verwerpen als: p-value≦a.
Verwerpen als: 𝑋" ≥ 𝑋a
Je kan een nulhypothese nooit ‘bewijzen’ alleen aannemen.
Kans op Error
Als we een beslissing nemen in een statistische test, is er altijd een kans dat we de verkeerde kiezen.
, Type 1= de nulhypothese afwijzen terwijl het waar is. Er is 5% kans dat je een nullhypothese afwijst terwijl
deze eigenlijk waar was. Deze kans wordt uitgedrukt in a alfa. Om de kans op een Type 1 error te
verkleinen, kunnen we het significantieniveau verkleinen naar .01. Hiermee vergroten we echter de kans
op een type 2 error.
Type 2= het aanhouden van een nulhypothese, terwijl deze onjuist is. De kans hierop is uitgedrukt in B
beta. Het lastige is dat we niet weten hoe de verdeling eruitziet als H0 onjuist en de alternatieve
hypothese juist is.
De juiste beslissing over hoe groot het significantieniveau moet zijn, hangt af van wat je onderzoekt. Wil je
type 1 voorkomen gebruik je een kleinere a. Wil je type 2 voorkomen dan moet de a groter.
WEEK 2 BASIC CONCEPTS OF PROBABILITY (HOWELL 5)
Random variabelen en populatie parameters
Aan een groep mensen is gevraagd hoeveel kinderen zij willen
Gemiddelde in populatie Variantie van random variabele
Kindere Absolute Proportie P*X(getal (x-ux)2 (x-ux)2*P
n Frequentie (f) (f/N) zelf)
0 16 0.07 0.00 4.88 0.36
1 3 0.01 0.01 1.46 0.02
2 128 0.59 1.19 0.04 0.03
3 58 0.27 0.81 0.63 0.17
4 11 0.05 0.20 3.21 0.16
Totaal: N=216 1.00 2.21 10.22 0.74 √𝟎. 𝟕𝟒
ux=𝚺𝒑 ∗ 𝒙 variantie = 𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒂𝒓𝒅
𝒂𝒇𝒘𝒊𝒋𝒌𝒊𝒏𝒈
ux=𝚺𝒑 ∗ 𝒙 ß Gemiddelde waarde van de populatie als we maar goed genoeg schatten
‘expected value of X’.
Q2x=𝚺(xi-ux)2 * piß Variantie van random variabele X. Je doet eerst (x-gemiddelde)2 en vermenigvuldig
je met de proportie. Je voert dit bij elke waarde van ‘X’ uit. De som hiervan is de variantie en de wortel
van de variantie is de standaardafwijking.
Law of large numers= hoe groter de groep mensen is die je bekijkt, hoe dichterbij het gemiddelde van de
sample bij het gemiddelde van de populatie komt.
Variabelen vermenigvuldigen
Nieuwe verwachte waarde: B(waarde waarmee je vermenigvuldigd) *ux (oude verwachte waarde)
Nieuwe variantie: Q2y= b2 * Q2x
Waarde toevoegen aan variabelen
Nieuwe verwachte waarde= a (wat je toevoegt) + ux (oude verwachte waarde)
Nieuwe variantie= zelfde als oude variantie
Liniaire transformatie van variabelen (combinatie bovenste 2 formules)
Nieuwe verwachte waarde= a+ (b*ux)
Nieuwe variantie= b2*Q2x
Som van random variabelen
Nieuwe verwachte waarden: som van twee gemiddelden
Nieuwe variantie: variantie + variantie + (2*correlatie *SDx* SDy)
- Aan de hand van de hoorcolleges (per week) en Howell (per hoofdstuk) zijn de statistische
toetsen die je voor het tentamen moet weten uitgewerkt. De toetsen zijn in stappen uitgelegd
met verschillende afbeeldingen, voorbeelden en effectmaten.
INHOUDSOPGAVE
Herhaling formules .................................................................................................................................3
Week 1 Steekproefverdeling en hypothese testen (Howell 4) .................................................................3
Hypothese test ............................................................................................................................................ 3
Kans op Error........................................................................................................................................... 3
Week 2 Basic concepts of probability (Howell 5) .....................................................................................4
Random variabelen en populatie parameters ............................................................................................ 4
Kansberekening .......................................................................................................................................... 5
Week 3: categoricale data en Chi-kwadraat (Howell 6)............................................................................6
Chi-Kwadraat toets for independence (kruistabel) ..................................................................................... 6
1: Hypothese ........................................................................................................................................... 6
2: Degrees of freedom ............................................................................................................................ 7
3: Expected frequencies for H0 (onafhankelijk) berekenen.................................................................... 7
4: Test statistiek ...................................................................................................................................... 7
5: Rejection ............................................................................................................................................. 7
Chi-kwadraat X2 test voor homogeniteit .................................................................................................... 8
Voorbeeld ............................................................................................................................................... 8
1: Hypothese ........................................................................................................................................... 8
2: Degrees of freedom ............................................................................................................................ 8
3: Expected frequencies berekenen........................................................................................................ 8
4: Test statistiek ...................................................................................................................................... 9
5: Rejection ............................................................................................................................................. 9
Substantive conclusion ........................................................................................................................... 9
Chi-kwadraat X2 test voor goodness-of fit .................................................................................................. 9
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 10
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 10
3: Expected frequencies ........................................................................................................................ 10
4: Test statistiek .................................................................................................................................... 10
5: Rejection ........................................................................................................................................... 10
5: Substantive conclusion ..................................................................................................................... 10
Effect Size X2 ............................................................................................................................................. 10
Measure of agreement Kappa (k) ............................................................................................................. 11
Voorbeeld ............................................................................................................................................. 11
Bereken Efo (som van geobserveerde frequenties op de diagonale scores) ......................................... 11
Bereken EfE (som van de verwachte frequenties op de diagonale scores) ........................................... 11
Bereken K met formule van Kappa ....................................................................................................... 11
Vuistregels Kappa.................................................................................................................................. 12
,Hoorcollege 4: Hypothese tests applied to Means (Howell 7) ................................................................ 12
Centrale limietstelling ............................................................................................................................... 12
Toepassen centrale limietstelling ......................................................................................................... 12
Een aantal aannames: ........................................................................................................................... 12
One sample Z-test (σ is bekend) ............................................................................................................. 13
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 13
2: Verkrijgen steekproevenverdeling .................................................................................................... 13
3: Test statistiek berekenen (z-score) ................................................................................................... 13
4: Rejection area of boundery .............................................................................................................. 14
5: Statistische conclusie ........................................................................................................................ 14
T-verdeling ................................................................................................................................................ 14
Testing means ....................................................................................................................................... 14
One Sample T-toets (σ is onbekend) ...................................................................................................... 15
1: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 15
2: Test statistiek .................................................................................................................................... 15
3: Rejection area ................................................................................................................................... 15
4: Statistische Conclusie ........................................................................................................................ 15
Confidence interval ............................................................................................................................... 16
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 16
Hoorcollege 5: Hypothese toetsing voor gemiddelden (Howell 7).......................................................... 16
Paired-Samples T-test (dependant) (σ is onbekend) .............................................................................. 16
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 16
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 16
3: verschil scores berekenen ................................................................................................................. 16
4: T-statistiek......................................................................................................................................... 16
Confidence interval ............................................................................................................................... 16
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 16
Independent-samples T-test ..................................................................................................................... 17
1: Hypothese ......................................................................................................................................... 17
2: Degrees of freedom .......................................................................................................................... 17
3: Standaardfout ................................................................................................................................... 17
4: T-Statistiek ........................................................................................................................................ 17
Confidence interval ............................................................................................................................... 17
Cohen’s D .............................................................................................................................................. 17
Hoorcollege 6 confidence intervals, Effect Sizes, and Power .................................................................. 17
Betrouwbaarheidsinterval voor u ............................................................................................................. 17
Effect maten ............................................................................................................................................. 18
Power ........................................................................................................................................................ 18
De invloed van effectsize d op Power ................................................................................................... 19
Invloed van Alpha op op power ............................................................................................................ 19
Invloed van variantie en steekproefomvang (N) op power .................................................................. 20
Hoorcollege 7: Niet-parametrische methoden....................................................................................... 20
Wilcoxon’s rank-sum test (independent) .................................................................................................. 20
Stap 1: Hypothese ................................................................................................................................. 20
Stap 2: Methode Ranken ...................................................................................................................... 20
Stap 3: Bereken Test statistiek W ......................................................................................................... 21
Stap 4: Standaardafwijking berekenen ................................................................................................. 21
, Stap 4: Z statistiek berekenen .............................................................................................................. 21
Stap 5: Rejection area ........................................................................................................................... 21
6: statistische conclusive....................................................................................................................... 21
Effect size .............................................................................................................................................. 21
Wilcoxon’s signed-rank test (dependent) ................................................................................................. 22
Stap 1: Hypothese ................................................................................................................................. 22
Stap 2: Methode Ranken ...................................................................................................................... 22
Stap 3: Test statistiek T+ berekenen ...................................................................................................... 22
Stap 4: De standaarddeviatie van T + berekenen ................................................................................. 22
Stap 5: Z-statistiek berekenen.............................................................................................................. 23
Stap 6: Rejection area ........................................................................................................................... 23
Effect size .............................................................................................................................................. 23
Samenvatting ........................................................................................................................................ 23
The Sign Test ............................................................................................................................................. 23
Sign Test met Chi-kwadraat goodness of fit ......................................................................................... 23
Overzicht testen.................................................................................................................................... 24
HERHALING FORMULES
Standaardafwijking
Variantie
WEEK 1 STEEKPROEFVERDELING EN HYPOTHESE TESTEN (HOWELL 4)
Hypothese test
1. Stel een hypothese op
2. Verzamel een steekproevenverdeling
3. Test statistiek berekenen, p-value: wat is de kans op X of
hoger?
3/100=0.03.
4. Rejection to region: het rejectionlevel van de nulhypothese is
wanneer de p-value van de teststatistiek onder een alfa van
0.05 valt. Deze grens kan je tekenen vanaf 5 stipjes, omdat
5/100=0.05. Je kan bij deze grens ook kijken naar het
bijbehorende getal, in dit geval 8.4.
5. Statistische conclusie, is de nulhypothese verwerpen of niet?
Verwerpen als: p-value≦a.
Verwerpen als: 𝑋" ≥ 𝑋a
Je kan een nulhypothese nooit ‘bewijzen’ alleen aannemen.
Kans op Error
Als we een beslissing nemen in een statistische test, is er altijd een kans dat we de verkeerde kiezen.
, Type 1= de nulhypothese afwijzen terwijl het waar is. Er is 5% kans dat je een nullhypothese afwijst terwijl
deze eigenlijk waar was. Deze kans wordt uitgedrukt in a alfa. Om de kans op een Type 1 error te
verkleinen, kunnen we het significantieniveau verkleinen naar .01. Hiermee vergroten we echter de kans
op een type 2 error.
Type 2= het aanhouden van een nulhypothese, terwijl deze onjuist is. De kans hierop is uitgedrukt in B
beta. Het lastige is dat we niet weten hoe de verdeling eruitziet als H0 onjuist en de alternatieve
hypothese juist is.
De juiste beslissing over hoe groot het significantieniveau moet zijn, hangt af van wat je onderzoekt. Wil je
type 1 voorkomen gebruik je een kleinere a. Wil je type 2 voorkomen dan moet de a groter.
WEEK 2 BASIC CONCEPTS OF PROBABILITY (HOWELL 5)
Random variabelen en populatie parameters
Aan een groep mensen is gevraagd hoeveel kinderen zij willen
Gemiddelde in populatie Variantie van random variabele
Kindere Absolute Proportie P*X(getal (x-ux)2 (x-ux)2*P
n Frequentie (f) (f/N) zelf)
0 16 0.07 0.00 4.88 0.36
1 3 0.01 0.01 1.46 0.02
2 128 0.59 1.19 0.04 0.03
3 58 0.27 0.81 0.63 0.17
4 11 0.05 0.20 3.21 0.16
Totaal: N=216 1.00 2.21 10.22 0.74 √𝟎. 𝟕𝟒
ux=𝚺𝒑 ∗ 𝒙 variantie = 𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒂𝒓𝒅
𝒂𝒇𝒘𝒊𝒋𝒌𝒊𝒏𝒈
ux=𝚺𝒑 ∗ 𝒙 ß Gemiddelde waarde van de populatie als we maar goed genoeg schatten
‘expected value of X’.
Q2x=𝚺(xi-ux)2 * piß Variantie van random variabele X. Je doet eerst (x-gemiddelde)2 en vermenigvuldig
je met de proportie. Je voert dit bij elke waarde van ‘X’ uit. De som hiervan is de variantie en de wortel
van de variantie is de standaardafwijking.
Law of large numers= hoe groter de groep mensen is die je bekijkt, hoe dichterbij het gemiddelde van de
sample bij het gemiddelde van de populatie komt.
Variabelen vermenigvuldigen
Nieuwe verwachte waarde: B(waarde waarmee je vermenigvuldigd) *ux (oude verwachte waarde)
Nieuwe variantie: Q2y= b2 * Q2x
Waarde toevoegen aan variabelen
Nieuwe verwachte waarde= a (wat je toevoegt) + ux (oude verwachte waarde)
Nieuwe variantie= zelfde als oude variantie
Liniaire transformatie van variabelen (combinatie bovenste 2 formules)
Nieuwe verwachte waarde= a+ (b*ux)
Nieuwe variantie= b2*Q2x
Som van random variabelen
Nieuwe verwachte waarden: som van twee gemiddelden
Nieuwe variantie: variantie + variantie + (2*correlatie *SDx* SDy)
