Samenvatting
Linear and Dynamical Systems,
Optimization and Games
Hoofdstuk 1 t/m 6 (hele boek)
Wiskunde 2 – Bedrijfseconomie Tilburg University
,Hoofdstuk 1 – Matrices and applications
1.1 Matrices
Matrix van m x n.
M is het aantal rijen en N het aantal kolommen.
Identity matrix (I): vierkante matrix waarbij (i,i) nummer 1 bevat en alle andere
posities nullen
Vector: matrix met precies 1 kolom.
Eenheidsvector (e): vector met een 1 en op alle andere posities nullen
Equality of two matrices:
Voorbeeld:
A=
1 2
4 a
B=
b+a 2
4 3
A en B hebben dezelfde grootte, dus b+a=1 en a=3. Dan b = -2.
,1.2 Matrix operations
Transpose matrix (AT ): matrix wanneer je de rijen als kolommen en de kolommen als
rijen noteert.
Symmetrische matrix: wanneer een matrix gelijk is aan de transpose matrix. Dus A =
AT.
Som van twee matrices: A+B wanneer de matrices van dezelfde grootte (m x n) zijn.
Scalair product van een matrix: de hele matrix vermenigvuldigen met een getal c.
Ieder element in de matrix moet je dan vermenigvuldigen met dat getal.
Voorbeeld:
Product van een matrix en een vector:
dit kan alleen wanneer het aantal kolommen van de matrix gelijk is aan de
grootte (aantal rijen) van de vector.
, Eigenschappen van het matrix-vector product:
A is een m x n matrix
X en Y zijn vectoren van grootte m
C is een getal
A(X + Y) = AX + AY
A(cX) = cAX
Product van twee matrices: je kunt twee matrices (A en B) met elkaar
vermenigvuldigen wanneer het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal rijen van
B.
Voorbeeld:
Eigenschappen van het matrix-matrix product:
A, B, C, D, en E zijn matrices van een bepaalde grootte
C is een getal
Dan:
(A+B) C = AC + BC
A (C+D) = AC + AD
(cA)D = A(cD) = c(AD)
AC(E)=A(CE)
1.3 Input-output models
Voorbeeld:
Olie uit drie regio’s: Middle East, South America en de North Sea.
Worden gemaakt voor gasoline, diesel en lubricating oil.
Middle East:
5000 barrels
100% voor gasoline = 5000
South America:
9000 barrels
20% voor gasoline = 1800
80% voor diesel = 7200
North Sea:
1000 barrels
25% gasoline = 250
25% diesel = 250
50% lubricating oil = 500
Totaal gasoline: 7050
Diesel: 7450
Lubricating oil: 500
Linear and Dynamical Systems,
Optimization and Games
Hoofdstuk 1 t/m 6 (hele boek)
Wiskunde 2 – Bedrijfseconomie Tilburg University
,Hoofdstuk 1 – Matrices and applications
1.1 Matrices
Matrix van m x n.
M is het aantal rijen en N het aantal kolommen.
Identity matrix (I): vierkante matrix waarbij (i,i) nummer 1 bevat en alle andere
posities nullen
Vector: matrix met precies 1 kolom.
Eenheidsvector (e): vector met een 1 en op alle andere posities nullen
Equality of two matrices:
Voorbeeld:
A=
1 2
4 a
B=
b+a 2
4 3
A en B hebben dezelfde grootte, dus b+a=1 en a=3. Dan b = -2.
,1.2 Matrix operations
Transpose matrix (AT ): matrix wanneer je de rijen als kolommen en de kolommen als
rijen noteert.
Symmetrische matrix: wanneer een matrix gelijk is aan de transpose matrix. Dus A =
AT.
Som van twee matrices: A+B wanneer de matrices van dezelfde grootte (m x n) zijn.
Scalair product van een matrix: de hele matrix vermenigvuldigen met een getal c.
Ieder element in de matrix moet je dan vermenigvuldigen met dat getal.
Voorbeeld:
Product van een matrix en een vector:
dit kan alleen wanneer het aantal kolommen van de matrix gelijk is aan de
grootte (aantal rijen) van de vector.
, Eigenschappen van het matrix-vector product:
A is een m x n matrix
X en Y zijn vectoren van grootte m
C is een getal
A(X + Y) = AX + AY
A(cX) = cAX
Product van twee matrices: je kunt twee matrices (A en B) met elkaar
vermenigvuldigen wanneer het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal rijen van
B.
Voorbeeld:
Eigenschappen van het matrix-matrix product:
A, B, C, D, en E zijn matrices van een bepaalde grootte
C is een getal
Dan:
(A+B) C = AC + BC
A (C+D) = AC + AD
(cA)D = A(cD) = c(AD)
AC(E)=A(CE)
1.3 Input-output models
Voorbeeld:
Olie uit drie regio’s: Middle East, South America en de North Sea.
Worden gemaakt voor gasoline, diesel en lubricating oil.
Middle East:
5000 barrels
100% voor gasoline = 5000
South America:
9000 barrels
20% voor gasoline = 1800
80% voor diesel = 7200
North Sea:
1000 barrels
25% gasoline = 250
25% diesel = 250
50% lubricating oil = 500
Totaal gasoline: 7050
Diesel: 7450
Lubricating oil: 500
