Résumé Équations différentielles ordinaires

Table des matières 1 Les équations différentielles linéaires 7 1.1 Quelques exemples d’équations ou de systèmes d’équations différentiels linéaires . . 8 1.1.1 Dynamique des populations : le modèle de Malthus . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Pharmacocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Équations différentielles scalaires linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Résolution des équations différentielles linéaires homogènes scalaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Résolution des équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre . 18 1.2.3 Comment trouver une solution particulière ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Résolution de systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Systèmes homogènes - structure de l’espace des solutions . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Équations différentielles linéaires scalaires homogènes d’ordre 2 . . . . . . . 27 1.3.4 Systèmes non-homogènes - structure de l’espace des solutions . . . . . . . . 28 1.3.5 Cas des systèmes différentiels à coefficients constants . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Approximation d’une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.3 Le schéma d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.4 Le schéma d’Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.5 Comportement des schémas en temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5 Appendice : primitives de fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Les équations différentielles non linéaires : existence et unicité 45 2.1 Quelques exemples de la vie courante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2 Equation d’un pendule pesant simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Quelques exemples simples plus académiques qui illustrent les difficultés inhérentes aux problèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.1 Exemple de non existence globale : y 0 = y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.2 Exemple de non unicité : y 0 = p |y| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Notion de solution d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 2.4 Théorèmes d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1 Notion d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2 Fonctions localement lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.3 Théorèmes de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.4 Cas particulier des systèmes autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.5 Cas f continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Théorèmes d’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 Approximation des solutions d’une EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.1 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.2 Etude d’un schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6.3 Le schéma d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6.4 Autres schémas à un pas - le schéma d’Euler implicite . . . . . . . . . . . . 66 3 Propriétés qualitatives des équations différentielles non linéaires 67 3.1 Quelques outils pour déterminer le caratère global des solutions . . . . . . . . . . . 67 3.2 Comportement des solutions de systèmes différentiels linéaires pour des temps longs 70 3.3 Comportement des solutions au voisinage des équilibres - cas autonome . . . . . . . 73 3.4 Comportement qualitatif des solutions en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Comportement qualitatif des solutions en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.1 Le théorème de Poincaré-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.2 Le système proie-prédateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76