Sumario Guía para estudiar matemáticas

GuíadeEstudioTema3




Tema 3: Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable y sus
aplicaciones.
Presentacióndeltema
Uno de los principales problemas que dio origen al Cálculo Diferencial fue el de la
determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
Lapalabratangenteprovienedellatíntangens,quesignifica“tocar”
Este problema tiene antecedentes en la Grecia Antigua donde ya se había
determinado la forma de trazar una tangente a una circunferencia, definida por
Euclides, como “la única recta que interseca a una circunferencia sólo en un
punto P de la misma”
Esteconcepto,comocriterioparaladefiniciónderectatangente,esparaotrascurvas
demasiado amplio y restrictivo a la vez.




Observe que en la figura 1 la curva es una circunferencia y por tanto la definición de
recta tangente dada por Euclides es satisfactoria.
Sin embargo para las curvas de las figuras restantes la definición dada no es
adecuada, ya queunamisma recta queestangenteala curva enun puntopuedeno
setangenteenotropuntodedichacurva(Figura2),opuedeocurrirqueporunmismo punto
de la curva pasen infinitas rectas tangentes (Figura 3)
De esta problemáticasurge la necesidad deencontrar unaforma generalde resolver el
problema de la tangente. Muchos matemáticos trabajaron en ello.
Arquímedes: Fue capaz de determinar la recta tangente a varias curvas, en especial
a la hoy llamada “Espiral de Arquímedes”(se desconoce cómo obtuvo estos
resultados)



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Fermat(1629): Realizótrabajos fructíferosrelacionadoscon el trazadodelarecta
tangente a una curva.
Descartes:Sedistingueporsustrabajosdecarácteralgebraico.
Isaac Barrow 1630-1677 (maestro de Newton) Es el que por primera vez resolvió el
problema de la determinación de la tangente a una curva en un punto.




Aquí hay implícito un límite el cual Barrow no utilizó, pero preparó el camino para el
surgimiento del Cálculo, mérito reservado para Newton y Leibniz, los cuales llegaron
al mismo de forma independiente.




IsaacNewton,enladécadade1660,fueelprimeroenformularexplícitamentelaidea de la
derivada, basándose en los métodos aplicados para hallar rectas tangentes a una
curva de su maestro Isaac Barrow (1630-1677) y de Pierre Fermat (1601-1665).
Enlaactualidadelmodelodeladerivadaesampliamenteutilizado,nosolopara determinar la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, sino también
paracalcularlarapidezdecambiodeunamagnitudrespectoaotraendiferentes


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fenómenosdelaingeniería,laeconomía,procesosbiológicosyotrasramas dela
ciencia.
Objetivos específicos.
1. Interpretarelconceptodederivadadeunafunciónenun punto.
2. Interpretargeométricayfísicamenteelconceptodederivada.
3. Interpretar propiedades, teoremas y reglas de derivación de funciones reales
de una variable.
4. Calcular derivadas sencillas utilizandolosteoremas fundamentales,
propiedades y reglas de derivación de funciones de una variable.
5. Interpretar el concepto de diferencial y su relación con el incremento de la
función
6. Calcular límites aplicando la regla de L´Hospital para la evaluación de formas
indeterminadas.
7. Modelar y/o resolver problemas sencillos de tipos físicos, geométricos y
técnicos relacionados con la especialidad,aplicando conceptos, teoremas y
métodos del cálculo diferencial, evaluando críticamente los resultados
obtenidos.
8. Interpretarelconceptodeextremodeunafunción.
9. Identificarlospuntosdeextremosdeunafunciónapartirdeunanálisisgráfico y
clasificarlos en absolutos, relativos, ordinarios y extraordinarios.
10. Calcularextremosdefuncionesrealesdeuna variable.
11. Determinarlosintervalosdemonotoníadeunafunción.
12. Resolverproblemasdeoptimizaciónutilizandolateoríadeextremosde funciones
reales de una variable.
13. Interpretar el concepto de punto de inflexión de la gráfica de una función real
de una variable.
14. Calcularlospuntosdeinflexióndelagráficadeunafunciónrealdeunavariable.
15. Determinarlosintervalosdeconcavidaddeunafunciónrealdeunavariable.
16. Analizarelcomportamientolocalyglobal,defuncionesrealesdeunavariable,
utilizando derivadas ordinarias y de orden superior.
17. Graficarfuncionesdeunavariableapartir de ladeterminacióndesus
propiedades fundamentales.
Requisitosprevios


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Para este tema se requiere el dominio de la mayoría de los contenidos matemáticos
aprendidos en la enseñanza precedente (funciones, geometría, trigonometría y
tecnicismo algebraico)
Actividades.
Actividad1.Conferenciaorientadoradondeseabordanlosconceptosfundamentales del
tema.
Título:Derivadasdefuncionesrealesdeuna variable
Sumario:
 Definicióndederivadadeunafunciónenunpunto.
 Interpretacióngeométricayfísicadeladerivada.
 Reglasde derivación.
 Derivadasdefuncioneselementales.
 Derivadasdefuncionesinversas,compuestasyenforma paramétrica.
 Derivadasdeordensuperior.
 Diferencial.
 Aplicacionesdelasderivadas.
Objetivosespecíficos.
1. Interpretarelconceptodederivadadeunafunciónenunpunto.
2. Interpretargeométricayfísicamenteelconceptodederivada.
3. Interpretar propiedades, teoremasy reglas de derivación de funciones
reales de una variable.
4. Calcularderivadasaplicandopropiedades,teoremasyreglasdederivación de
funciones reales de una variable.
5. Interpretar el concepto de diferencial y su relación con el incremento de la
función.
6. Modelar y/o resolver problemas sencillos de tipos físicos, geométricos y
técnicos relacionados con la especialidad,aplicando conceptos, teoremas
y métodos del cálculo diferencial, evaluando críticamente los resultados
obtenidos.
Bibliografía:
“CálculoconTrascendentesTempranas”JamesStewartParte1
OrientacióndeloscontenidosbásicosDesarr
ollo del contenido


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